Théorème des valeurs intermédiaires

Illustration du théorème des valeurs intermédiaires : si f est une fonction continue sur l'intervalle [a ; b], alors elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) au moins une fois. Ici la valeur s est prise trois fois.

En mathématiques, le théorème des valeurs intermédiaires (abrégé en TVI), parfois appelé théorème de Bolzano, est un résultat important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle. Il indique que si une fonction continue sur un intervalle prend deux valeurs m et n, alors elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre m et n.

Ce théorème donne dans certains cas l'existence de solutions d'équations et est à la base de techniques de résolutions approchées comme la méthode de dichotomie.

Approche intuitive

Profil de l'étape Pau-Hautacam du Tour de France 2008.

La 10^e étape du Tour de France 2008 était une course cycliste de 156 km de long partant de Pau (altitude : 200 m) et arrivant à Hautacam (1 520 m).

Le profil de l'étape est une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 156] et à valeurs réelles. À tout nombre x de [0 ; 156], elle associe l'altitude du point situé à x kilomètres du départ. Puisque les altitudes s'échelonnent de 200 à 1 520 m, il paraît évident que les coureurs ayant terminé l'étape ont dû passer au moins une fois par toutes les altitudes intermédiaires, c'est-à-dire les altitudes entre 200 et 1520m. Par exemple, le coureur passera au moins une fois par l'altitude 1 000 m. Cependant, cette constatation s'appuie sur deux hypothèses :

• le parcours est un intervalle, ce qui suppose que l'espace est un « continuum » – les mathématiciens parlent d'espace connexe – c'est-à-dire qu'il n'y a pas de « trou » entre 0 et 156.
• la fonction altitude est continue, ce qui signifie qu'une variation infinitésimale du kilométrage entraîne une variation infinitésimale de l'altitude. En d'autres termes, un coureur ne peut pas se téléporter instantanément d'une altitude à une autre.

Remarquons que le raisonnement n'est plus valable si le profil n'est plus défini sur un intervalle, par exemple si l'on ne s'intéresse qu'aux points de contrôle marqués sur le graphique ci-contre : il se peut qu'aucun de ces points, si nombreux soient-ils, ne se trouve à 1 000 m d'altitude.

Le théorème des valeurs intermédiaires formalise ce raisonnement empirique.

Énoncé

Pour toute fonction f définie et continue sur un intervalle I de ℝ et à valeurs réelles, l'image f(I) est un intervalle de ℝ.

Énoncé équivalent  :

Pour toute application continue f : [a, b] → ℝ et tout réel u compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = u.

Cas particulier (Théorème de Bolzano) :

Si f(a)f(b) ≤ 0, il existe au moins un réel c ∈ [a, b] tel que f(c) = 0 (car « f(a)f(b) ≤ 0 » signifie que 0 est compris entre f(a) et f(b)).

Remarques

• Il faut prendre garde au fait que le théorème n'affirme pas que l'image de l'intervalle [a, b] par f est l'intervalle [f(a);f(b)]. C'est faux, comme le montre le contre-exemple de la fonction f(x) = sin(x) avec a = 0 et b = π ; dans ce cas, f([a, b]) = [0, 1] mais [f(0), f(π)] = {0}.
• Le théorème amène à se poser la question : n'y a-t-il pas équivalence entre la propriété de la valeur intermédiaire et la continuité ? La réponse est négative (voir la section Note historique). Un contre exemple est donné par la fonction réelle de la variable réelle f définie par :$f(x)=\sin \!\left({\frac {1}{x}}\right){\text{ si }}x\neq 0{\text{ et }}f(0)=0.$Cette fonction n'est pas continue en 0 mais elle satisfait bien la propriété de la valeur intermédiaire pour chaque couple de réels. Un contre-exemple plus élaboré est la fonction de Conway en base 13, qui est discontinue en tout point.
• Il y a équivalence entre :

f est continue sur [a, b]

et

Pour tout sous-intervalle [c, d] inclus dans [a,b] et tout y élément de [f(c), f(d)], l'ensemble $\{x\in [c,d],f(x)=y\}$ est une partie non vide et fermée de [a,b].

• Ce théorème est essentiel à l'élaboration de la théorie de l'analyse élémentaire, il permet la démonstration du théorème de la bijection et la construction de nombreuses fonctions élémentaires comme la fonction racine carrée.
• Ce théorème est faux sur le corps des nombres rationnels. Il faut nécessairement utiliser les propriétés du corps des nombres réels. Par exemple, la fonction f(x) = x² – 2 de ℚ dans ℚ est continue sur [0, 2] et vérifie f(0) = –2, f(2) = 2. Cependant, il n'y a pas de nombre rationnel x tel que f(x) = 0.
• Ce théorème met en valeur une propriété topologique des nombres réels. Il se démontre simplement à l'aide de la topologie ou de manière plus laborieuse si l'on procède « manuellement ».
• Lorsque de plus f est strictement monotone, elle est injective donc la solution c est unique.
• Soient –∞ ≤ a < b ≤ +∞ et f : ]a, b[ → ℝ continue et possédant en a et b des limites L_a et L_b (éventuellement infinies). Alors, pour tout réel u strictement compris entre L_a et L_b, il existe un réel c dans ]a, b[ tel que f(c) = u.

Applications

• On utilise souvent ce théorème pour montrer que deux fonctions continues sur un même intervalle et dont la différence change de signe dans cet intervalle prennent la même valeur en au moins un point de cet intervalle.
  Exemple : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle non vide [a, b] de ℝ, telles que g(a) – f(a) et g(b) – f(b) soient de signes contraires. Il existe au moins un réel c compris entre a et b et tel que f(c) = g(c).
  En effet, posons φ = f – g. La fonction φ est continue (comme différence de fonctions continues), et 0 est compris entre φ(a) et φ(b). Il existe donc au moins un réel c compris entre a et b et tel que φ(c) = 0, soit encore f(c) = g(c).
  Dans le cas particulier où g est l'identité sur l'intervalle [a, b] et où f(a) > a et f(b) < b, on obtient un théorème de point fixe (Brouwer en dimension 1).
• Pour tout polynôme P à coefficients réels et de degré impair, il existe au moins une racine réelle, c'est-à-dire un réel c tel que P(c) = 0.
  En effet, les limites de P en +∞ et –∞ sont infinies et (comme le degré de P est impair) opposées l'une de l'autre. Comme la fonction polynomiale P est continue, on déduit de la généralisation ci-dessous qu'elle prend toutes les valeurs réelles, en particulier la valeur 0.

Histoire

Énoncé et démonstration du théorème des valeurs intermédiaires par Cauchy (1821).

Fin de la démonstration par Cauchy (1821).

Bryson d'Héraclée (en) proposa dès le V^e siècle av. J.-C., un théorème proche de celui des valeurs intermédiaire pour essayer de montrer la quadrature du cercle.

Au XVII^e siècle plusieurs mathématiciens essayent de justifier le théorème. Cependant la notion de fonction venait à peine de naître et celle de continuité n'était encore qu'intuitive.

En 1817, Bolzano publie un article où il essaye de démontrer le théorème et sans utiliser des « évidences géométriques ». Pour lui :

« II n'y a absolument rien à objecter ni contre la justesse ni contre l'évidence de ce théorème géométrique. Mais il est tout aussi manifeste qu'il y a là une faute intolérable contre la bonne méthode, faute qui consiste à vouloir déduire les vérités mathématiques pures (ou générales) - c'est-à-dire de l'arithmétique, de l'algèbre ou de l'analyse - des considérations qui appartiennent à une partie appliquée (ou spéciale) seule, à savoir la géométrie. »

— Bernard Bolzano

Sa démonstration le poussera à définir la notion de fonction continue et démontrer que $\mathbb {R}$ a la propriété de la borne supérieure. Cependant sa définition reste floue et correspond plus à celle de continuité uniforme. De plus, une démonstration rigoureuse de la propriété de la borne supérieur dans $\mathbb {R}$ n'est possible qu'en définissant rigoureusement l'ensemble des nombres réels, qui ne sera faites qu’une cinquantaine d’année plus tard.

Dans son Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique publié en 1821, Cauchy donne un énoncé du théorème des valeurs intermédiaires comme le théorème IV du chapitre II, puis il en donne une démonstration. Mais contrairement à Bolzano, Cauchy s'appuie sur des propriétés géométriques considérées comme évidentes qu'il ne prouve pas.

Pendant longtemps, on pensait que la réciproque était vraie, et que la propriété des valeurs intermédiaires caractérisait les fonctions continues. Darboux donne un contre-exemple dans son article Mémoire sur les fonctions discontinues.

Résolution et démonstration

Le théorème des valeurs intermédiaires fait partie des théorèmes dits d'existence. Cependant, il n'existe pas de démonstration générale constructive de cette existence.

La démonstration originale de Bolzano repose sur la notion de borne supérieure d'un ensemble de réels.

Nous donnons ci-dessous deux autres démonstrations. La première est courte mais s'appuie sur une théorie plus élaborée, la topologie. La seconde est basée sur la méthode de dichotomie et peut, dans une certaine mesure, être mise en œuvre numériquement.

Démonstration topologique

La topologie fournit une démonstration en quelques lignes de cette propriété :

Les connexes de ℝ sont les intervalles. L'ensemble de départ est donc un connexe. L'image d'un connexe par une fonction continue est un connexe. Donc l'image par f de [a, b] est un intervalle, ce qui démontre le théorème.

Mais derrière cette apparente simplicité se cachent des résultats qu'il faut avoir démontrés au préalable, comme le fait que tout intervalle de ℝ est connexe, démonstration du même ordre de difficulté que celle du théorème des valeurs intermédiaires.

Démonstration par dichotomie

Le principe consiste à couper l'intervalle de départ en deux et à conserver l'intervalle où l'on sait que se trouve une solution. On recommence ensuite en coupant en deux l'intervalle conservé, etc. On obtient ainsi des intervalles emboîtés de plus en plus petits dans lesquels on est sûr de trouver une solution. On finit alors par trouver un encadrement « assez fin » de la solution.

Algorithmes

La démonstration par dichotomie se traduit facilement sous forme algorithmique, à l'exception du test f(m_n) = u (où m_n est le milieu du n-ième intervalle), qu'on ne saurait vérifier exactement alors que l'on procède à des calculs numériques approchés. On préfère lui substituer la condition |f(m_n) – u| < ε, où ε est une erreur donnée à l'avance. L'algorithme fournira alors un réel x tel que |f(x) – u| < ε, mais cette valeur peut se révéler relativement éloignée de la valeur exacte c de la racine si l'on ne fait aucune autre hypothèse sur f que la continuité.

Dans le cas où f est C¹ (c'est-à-dire où f et sa première dérivée sont continues) et où l'on peut trouver un nombre m > 0 tel que |f '| > m dans l'intervalle où la méthode de dichotomie est appliquée, alors l'algorithme de la dichotomie converge vers un nombre c tel que f(c) = u. On a de plus, la majoration de l'écart entre la valeur x calculée par la dichotomie et c sous la forme |x – c| ≤ ε/m.

Par ailleurs, la méthode de dichotomie ne permet de trouver qu'une seule valeur x. Le fait d'éliminer tout un intervalle à chaque étape risque d'éliminer d'autres solutions.

Enfin, la dichotomie est un algorithme simple, mais n'est pas le plus performant : la précision n'augmente que d'un facteur 2 à chaque itération. On a donc cherché d'autres méthodes permettant une convergence plus rapide. La méthode de Newton ou méthode des tangentes en est une d'une bonne efficacité.

Généralisations

Théorème de Darboux

Une fonction peut vérifier la conclusion du théorème des valeurs intermédiaires sans être continue (exemple : la fonction x ↦ sin(1/x), complétée par 0 ↦ a où a est un réel choisi entre –1 et 1).

En 1875, Gaston Darboux a montré que cette conclusion était vérifiée par toutes les fonctions dérivées, dont les fonctions continues font partie, d'après le premier théorème fondamental de l'analyse. Le théorème des valeurs intermédiaires est donc un cas particulier du théorème de Darboux.

Théorème de Poincaré-Miranda

Le théorème suivant, appelé théorème de Poincaré-Miranda, est une généralisation du théorème des valeurs intermédiaires, ou plutôt de sa formulation selon Bolzano.

Soit f = (f₁, … , f_n) : [–1, 1]ⁿ → ℝⁿ une application continue telle que sur chaque face x_i = 1, f_i ≥ 0 et sur chaque face x_i = –1, f_i ≤ 0. Alors il existe un point où f s'annule.

Henri Poincaré l'a annoncé en 1883 puis démontré en 1886, mais ce n'est qu'en 1940 que Carlo Miranda (it) a remarqué qu'il équivaut au théorème du point fixe de Brouwer.

En prenant $n=1$ dans ce théorème, on obtient bien le théorème de Bolzano.

Sur un espace topologique quelconque

Soit E un espace topologique connexe et f : E → ℝ un application continue. Le « théorème des valeurs intermédiaires généralisé » dit que l'image f(E) est un intervalle.

On retrouve l'énoncé sur ℝ à partir de l'énoncé général à condition d'avoir démontré au préalable que tout intervalle réel est connexe (voir supra).

Voir aussi

Article connexe

Lemme de Cousin

Bibliographie

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• Bertrand Hauchecorne et Jean Dhombres, Biographie des grands théorèmes, Ellipses, 21 novembre 2023, 243 p. (ISBN 978-2-340-08474-2), chap. 16 (« Théorèmes de la valeur intermédiaire, de Bolzano-Weierstrass et de Darboux »). 
• Pierre Dugac, Bernard Bru et Roger Laurent, Histoire de l'analyse: autour de la notion de limite et de ses voisinages, Vuibert, 2003, 419 p. (ISBN 978-2-7117-5311-6). 

Liens externes

• Bolzano, Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwei Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege [Démonstration purement analytique du théorème : entre deux valeurs quelconques qui donnent deux résultats de signes opposés se trouve au moins une racine réelle de l'équation], Prague, 1817.
  Dans ce texte, Bolzano réfute les démonstrations antérieures qui s'appuient sur des principes d'évidence ou des considérations géométriques. Il énonce le théorème (p. 9), puis le démontre en utilisant la propriété de la borne supérieure (p. 21-22). On peut trouver des traductions partielles en français dans Mathématiques au fil des âges, Bordas, 1987, p. 206-207 ou dans La démonstration mathématique dans l'histoire, IREM de Besançon et de Lyon, 1989, p. 99-114. Ce texte de Bolzano restera grandement méconnu jusqu'à la publication de ses travaux en 1848.
• (en) S. B. Russ, « A translation of Bolzano's paper on the intermediate value theorem », Historia Mathematica, vol. 7, n^o 2,‎ 1980, p. 156-185 (DOI 10.1016/0315-0860(80)90036-1)
• Cauchy, Analyse algébrique, 1821, p. 43-44.
  Dans cette démonstration, Cauchy se contente de l'évidence géométrique. Cette démonstration n'est pas jugée satisfaisante par Giuseppe Peano (Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, 1884, p. xi). Ce dernier donne la démonstration par dichotomie, après avoir défini les réels comme coupures de Dedekind.
• Cauchy, Analyse algébrique, 1821, N. III, p. 460.
  Cauchy donne ici un procédé numérique de résolution d'équation, assimilable à la démonstration par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires.