22 / 7 dépasse π

Les démonstrations du célèbre résultat mathématique selon lequel le nombre rationnel 22/7 est supérieur à π remontent à l'Antiquité. Stephen Lucas qualifie cette proposition de « l'un des plus beaux résultats liés à l'approximation de π ». Julian Havil (de) met fin à une discussion sur les fractions approchant π avec ce résultat, le décrivant comme « impossible de ne pas être mentionné » dans ce contexte.

Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22/7 est en effet plus grand que π ; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de π existent. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que 22/7 > π, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Sa simplicité et son élégance résultent de ses liens avec la théorie des approximations diophantiennes.

Motivation

Une approximation diophantienne simple et courante de la valeur de π est 22/7. En effet, on peut voir que :

${\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3{,}{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3{,}141\,592\,65\ldots \end{aligned}}$

Archimède avait démontré que 22/7 surestimait π au cours de III^e siècle av. J.-C. mais utilisait cette approximation.

Une meilleure approximation rationnelle de π est donnée par 355/113 (approximation appelée Milü (en)).

Démonstration

Une démonstration moderne de cette inégalité peut se faire par le calcul de l'intégrale

$0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x={\frac {22}{7}}-\pi .$

Le nombre $\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x$ est strictement positif car la fonction $x\mapsto {\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}$ est continue et strictement positive sur l'intervalle ]0 ; 1[.

Il reste à démontrer que l'intégrale a effectivement pour valeur la quantité désirée :

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x$	$=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x$	(développement du numérateur)
	$=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\mathrm {d} x$	(par décomposition en éléments simples de l'intégrande)
	$=\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan x\,\right]_{0}^{1}$	(intégration définie)
	$={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \ ={\frac {22}{7}}-\pi .$	(addition)

Dalzell donne un résultat plus fin en bornant la différence avec l'étude du dénominateur. On a ainsi

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}~\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}~\mathrm {d} x$

ce qui donne après calcul

${\frac {1}{1\;260}}<{\frac {22}{7}}-\pi <{\frac {1}{630}}.$

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Proof that 22/7 exceeds π » (voir la liste des auteurs).