Borne de Minkowski

En théorie algébrique des nombres, la borne de Minkowski donne un majorant de la norme des idéaux à considérer pour déterminer le nombre de classes d'un corps de nombres K. Il porte le nom du mathématicien Hermann Minkowski.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit D le discriminant de K, n son degré sur $\mathbb {Q}$ , et $2r_{2}=n-r_{1}$ le nombre de plongements complexes où $r_{1}$ est le nombre de plongements réels. Alors chaque classe du groupe des classes d'idéaux de K contient un idéal de O_K dont la norme est inférieure ou égale à la borne de Minkowski

M_{K}={\sqrt {|D|}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}.

La constante de Minkowski pour le corps K est cette borne M_K^[1].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Puisque le nombre d'idéaux fractionnaire de norme donnée est fini, la finitude du nombre de classes est une conséquence immédiate^[1], et de plus, le groupe des classes est engendré par les idéaux premiers de norme au plus M_K.

La borne de Minkowski peut être utilisée pour déduire un minorant du discriminant de K en fonction de n, r₁ et r₂. Puisque la norme d'un idéal non nul vaut au moins 1, on a 1 ≤ M_K, de sorte que

{\sqrt {|D|}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}{\frac {n^{n}}{n!}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}{\frac {n^{n}}{n!}}.

Pour n supérieur ou égal à 2, il est facile de montrer que ce minorant est strictement supérieur à 1 ; on obtient donc le théorème de Minkowski, statuant que le discriminant de tout corps de nombres autre que Q est non trivial. Cela implique que le corps des rationnels n'a aucune extension non ramifiée non triviale.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Minkowski's bound » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a et b} (en) Michael Pohst (de) et Hans Zassenhaus, Algorithmic Algebraic Number Theory, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 30), 1989 (ISBN 0-521-33060-2, zbMATH 0685.12001), p. 384.

(en) « Using Minkowski's Constant To Find A Class Number », sur PlanetMath

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Helmut Koch (en), Algebraic Number Theory, coll. « Encycl. Math. Sci. » (n^o 62), 1997 (ISBN 3-540-63003-1, zbMATH 0819.11044)
(en) Serge Lang, Algebraic Number Theory, New York, Springer, coll. « GTM » (n^o 110), 1994 (ISBN 0-387-94225-4, zbMATH 0811.11001)

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[PZ384-1] {a et b} (en) Michael Pohst (de) et Hans Zassenhaus, Algorithmic Algebraic Number Theory, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 30), 1989 (ISBN 0-521-33060-2, zbMATH 0685.12001), p. 384.

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