Cercle de Brocard

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En géométrie, le cercle de Brocard d'un triangle est le cercle passant par les points de Brocard, le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine du triangle^[1]. Il a pour diamètre le segment ayant pour extrémités le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine — la droite reliant ces deux points est appelée « axe de Brocard ». Le centre de ce cercle, qui est aussi le centre du premier cercle de Lemoine, porte le nombre de Kimberling X182^[2].

Le cercle tire son nom du mathématicien Henri Brocard^[3]^,^[4], qui a écrit un article sur le sujet pour l'AFAS d'Alger en 1881^[5].

Le rayon du cercle de Brocard a pour valeur (avec $a$ , $b$ et $c$ les longueurs des côtés et $R$ le rayon du cercle circonscrit):

R{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

L'équation en coordonnées barycentriques du cercle de Brocard vérifie^[6]

b^{2}c^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}y^{2}+a^{2}b^{2}z^{2}-a^{4}yz-b^{4}xz-c^{4}xy=0.

Cercle de Brocard comme cercle des sept points

Le cercle de Brocard est parfois appelé « cercle des sept points », car le centre du cercle circonscrit, le point de Lemoine, les deux points de Brocard et les sommets du triangle de Brocard du triangle de référence sont sur ce cercle^[7].

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Eric W. Weisstein, « Brocard Circle », sur MathWorld
↑ (en) Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, vol. 37, Cambridge University Press, 1995 (ISBN 9780883856390, lire en ligne), p. 110.
↑ Brocard summary
↑ (en) Laura Guggenbuhl, « Henri Brocard and the geometry of the triangle », The Mathematical Gazette, vol. 37, n^o 322,‎ 1953, p. 241–243 (DOI 10.2307/3610034, JSTOR 3610034).
↑ (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Henri Brocard », sur MacTutor, université de St Andrews.
↑ (en) Peter J. C. Moses, « Circles and triangle centers associated with the Lucas circles », Forum Geometricorum, vol. 5,‎ 2005, p. 97–106 (MR 2195737, lire en ligne)
↑ (en) Florian Cajori, A history of elementary mathematics: with hints on methods of teaching, The Macmillan company, 1917 (lire en ligne), p. 261.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Brocard Circle », sur MathWorld

Portail de la géométrie

[1] (en) Eric W. Weisstein, « Brocard Circle », sur MathWorld

[2] (en) Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, vol. 37, Cambridge University Press, 1995 (ISBN 9780883856390, lire en ligne), p. 110.

[3] Brocard summary

[4] (en) Laura Guggenbuhl, « Henri Brocard and the geometry of the triangle », The Mathematical Gazette, vol. 37, n^o 322,‎ 1953, p. 241–243 (DOI 10.2307/3610034, JSTOR 3610034).

[5] (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Henri Brocard », sur MacTutor, université de St Andrews.

[6] (en) Peter J. C. Moses, « Circles and triangle centers associated with the Lucas circles », Forum Geometricorum, vol. 5,‎ 2005, p. 97–106 (MR 2195737, lire en ligne)

[7] (en) Florian Cajori, A history of elementary mathematics: with hints on methods of teaching, The Macmillan company, 1917 (lire en ligne), p. 261.

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron