Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Tracé de Ci(x ) pour
0
⩽
x
⩽
25
{\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 25}
La fonction cosinus intégral , notée Ci est définie par l'intégrale :
∀
x
>
0
,
C
i
(
x
)
=
−
∫
x
∞
cos
(
t
)
t
d
t
{\displaystyle \forall x>0,\ \mathrm {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t}}\mathrm {d} t}
cos est la fonction cosinus .
La fonction est continue, infiniment dérivable sur
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}}
∀
x
∈
R
+
∗
,
C
i
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
x
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{+*},\ \mathrm {Ci} '(x)={\frac {\cos(x)}{x}}}
lim
x
→
+
∞
C
i
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\mathrm {Ci} (x)=0}
lim
x
→
0
C
i
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\mathrm {Ci} (x)=-\infty }
La fonction Ci admet le développement suivant sur
R
+
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}}
∀
x
∈
R
+
∗
,
C
i
(
x
)
=
γ
+
ln
(
x
)
+
∑
n
=
1
+
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
(
2
n
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{+*},\ \mathrm {Ci} (x)=\gamma +\ln(x)+\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!(2n)}}}
γ est la constante d'Euler-Mascheroni . Ce développement permet d'étendre la fonction Ci en une fonction analytique définie sur tout le plan complexe privé de la demi-droite des réels négatifs. La somme de la série vaut également
∫
0
x
cos
(
t
)
−
1
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\cos(t)-1}{t}}\mathrm {d} t}
Les primitives de Ci sont de la forme
∫
C
i
(
x
)
d
x
=
x
C
i
(
x
)
−
sin
(
x
)
+
k
,
k
∈
R
{\displaystyle \int {\rm {Ci}}(x){\rm {d}}x=x{\rm {Ci}}(x)-\sin(x)+k,k\in \mathbb {R} }
