Décomposition de Wold

La décomposition de Wold ou décomposition de Wold-von Neumann est un résultat d'analyse fonctionnelle décrivant les isométries d'un espace de Hilbert.

Énoncé

Définition — Soient H un espace de Hilbert et T:H → H une isométrie. On dit que T est un opérateur de décalage si, pour tout élément x de H, $T^{*n}x\to 0$ quand $n\to +\infty$.

Théorème — Soient H un espace de Hilbert et T:H → H une isométrie. Il existe F et G deux sous-espaces de H, en somme directe et stables par T, tels que $T|_{F}$ est un opérateur de décalage et $T|_{G}$ est un opérateur unitaire.

Démonstration

Posons $G=\cap _{k\in \mathbb {N} }T^{k}H$. Il s'agit d'un sous-espace fermé de $H$ stable par $T$. Notons $P_{G}$ la projection orthogonale sur $G$.

Lemme — Pour tout $x\in H$, $T^{n}T^{*n}\to P_{G}x$ lorsque $n\to +\infty$.

Démonstration du lemme

Pour tout $n$, comme $T^{n}$ est une isométrie, $T^{n}T^{*n}$ est la projection orthogonale sur $T^{n}H$.

Soit $x\in H$ quelconque. Pour tout $n$, écrivons $x$ sous la forme $x=x_{n}+y_{n}$, avec $x_{n}=T^{n}T^{*n}x$ la projection orthogonale de $x$ sur $T^{n}H$. Pour tous $m,n$ avec $m>n$, comme $T^{m}H\subset T^{n}H$, $x_{m}$ est la projection orthogonale de $x_{n}$ sur $T^{m}H$ et, d'après la formule de Pythagore, $||x_{n}||^{2}-||x_{m}||^{2}=||x_{n}-x_{m}||^{2}$. Cette relation entraîne que $(||x_{n}||)_{n\in \mathbb {N} }$ est une suite décroissante, donc convergente puisque positive. Elle permet de plus de montrer que $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une suite de Cauchy. Comme $H$ est complet, $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge vers un certain $X\in H$.

Pour conclure, il suffit de montrer que $X$ est la projection orthogonale de $x$ sur $G$. On remarque d'abord que $X\in G$. En effet, pour tout $k\in \mathbb {N}$, la suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est dans $T^{k}H$ à partir au moins du rang $k$, donc sa limite $X$ appartient également à $T^{k}H$.

En outre, si $X'$ est un élément quelconque de $G$, $\langle x-X,X'\rangle =\lim _{n\to +\infty }\langle x-x_{n},X'\rangle =\lim _{n\to +\infty }\langle y_{n},X'\rangle =0$. En effet, pour tout $n$, $y_{n}$ est orthogonal à $T^{n}H$ donc également à $G$, qui est un sous-espace de $T^{n}H$.

Notons, pour tout $j\in \mathbb {N}$, $F_{j}$ le supplémentaire orthogonal de $T^{j+1}H$ dans $T^{j}H$. Les $F_{j}$ sont des sous-espaces fermés de $H$, orthogonaux deux à deux.

Puisque, pour tout $j$, $T^{j}T^{*j}$ est la projection orthogonale sur $T^{j}H$, la projection orthogonale sur $F_{j}$, qu'on note $P_{F_{j}}$, est égale à $T^{j}T^{*j}-T^{j+1}T^{*j+1}$. Ainsi, pour tout $x\in H$, lorsque $n\to +\infty$, $\left(\sum _{j=0}^{n}P_{F_{j}}\right)x=\left(Id_{H}-T^{n+1}T^{*n+1}\right)x\to (Id_{H}-P_{G})x$. Cette relation implique que, si on définit $F={\overline {F_{0}\oplus F_{1}\oplus \dots }}$, on a $F\oplus G=H$ ; en outre, $F$ et $G$ sont orthogonaux.

L'espace $F_{0}\oplus F_{1}\oplus \dots$ est stable par $T$, car $TF_{j}\subset F_{j+1}$, donc son adhérence $F$ aussi.

Montrons que $T|_{F}$ est un décalage. Pour tout $x\in F$, lorsque $n\to +\infty$, $||T^{*n}x||^{2}=\langle x,T^{n}T^{*n}x\rangle \to \langle x,P_{G}x\rangle =0$.

Montrons que $T|_{G}$ est un opérateur unitaire. Le lemme précédemment démontrer permet de montrer que $TP_{G}T^{*}=P_{G}$. Le sous-espace $G$ est stable par $T^{*}$, puisque son orthogonal $F$ est stable par $T$. Comme $P_{G}$ est égal à l'identité sur $G$, on obtient $T|_{G}T|_{G}^{*}=Id_{G}$.

Version pour un nombre infini d'isométries

Définition — Soit $(H_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ une suite d'espaces de Hilbert. Soit, pour tout $n$, $v_{n}:H_{n+1}\to H_{n}$ une isométrie. On dit que $(v_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ est une famille marquante s'il existe une suite $(L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ d'espaces de Hilbert disjoints et des opérateurs unitaires $\Phi _{n}:H_{n}\to \oplus _{k=n}^{+\infty }L_{n}$ vérifiant, pour tout $n$, la relation

$\Phi _{n}v_{n}\Phi _{n+1}^{-1}:(x_{n+1},x_{n+2},\dots )\in \oplus _{k=n+1}^{+\infty }L_{n}\to (0,x_{n+1},x_{n+2},\dots )\in \oplus _{k=n}^{+\infty }L_{n}$.

Théorème — Soit $(H_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ une suite d'espaces de Hilbert. Soit, pour tout $n$, $v_{n}:H_{n+1}\to H_{n}$ une isométrie. Il existe, pour tout $n$, des sous-espaces de $H_{n}$ en somme directe, qu'on note $F_{n}$ et $G_{n}$, tels que

• $\forall n\in \mathbb {Z} ,v_{n}F_{n+1}\subset F_{n}$ ;
• $\forall n\in \mathbb {Z} ,v_{n}G_{n+1}\subset G_{n}$ ;
• la famille $(v_{n}|_{F_{n+1}\to F_{n}})_{n\in \mathbb {Z} }$ est marquante ;
• $\forall n\in \mathbb {Z} ,v_{n}:G_{n+1}\to G_{n}$ est un opérateur unitaire.

Analyse des processus stationnaires

En statistiques, une version du théorème de Wold permet de décomposer tout processus faiblement stationnaire en la somme d'une partie « déterministe » et d'une partie « stochastique ».

Théorème — Soit $(X_{t})_{t\in \mathbb {Z} }$ un processus stationnaire au sens faible. Il existe une suite de nombres réels $(\alpha _{j})_{j\in \mathbb {N} }$, des processus faiblement stationnaires $U$ et $W$ tels que

$\forall t\in \mathbb {Z} ,X_{t}=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\alpha _{j}U_{t-j}+W_{t}$,

et les propriétés suivantes sont vérifiées :

• $\alpha _{0}=1,\sum _{j=0}^{+\infty }\alpha _{j}^{2}<+\infty$ ;
• $\forall j,\mathbb {E} (U_{j})=0$ ;
• $\forall j,j',\mathbb {E} (U_{j}U_{j'})=0$ si $j\neq j'$ ;
• $\forall j,j',\mathbb {E} (U_{j}W_{j'})=0$ ;
• le processus $W$ est déterministe, c'est-à-dire qu'il existe des réels $(\beta _{j}^{N})_{0<j\leq N\in \mathbb {N} }$ tels que, pour tout $t$, $\mathbb {E} \left(W_{t}-(\beta _{1}^{N}W_{t-1}+\dots +\beta _{N}^{N}W_{t-N})\right)^{2}\to 0$ quand $N\to +\infty$.

Références

• (en) Marvin Rosenblum et James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, Oxford University Press, 1985, 161 p. (ISBN 0-19-503591-7, lire en ligne)
• (en) Tiberiu Constantinescu, Schur parameters, factorization and dilation problems, vol. 82, Basel/Boston/Berlin, Birkhäuser, coll. « Operator theory, Advances and applications », 1996, 253 p. (ISBN 3-7643-5285-X, lire en ligne)
• (en) Herman J. Bierens, Introduction to the mathematical and statistical foundations of econometrics, Cambridge University Press, coll. « Themes in modern econometrics », 2004, 323 p. (ISBN 978-0-521-54224-1, lire en ligne)

Voir aussi

• Théorème de représentation de Granger
• Opérateur de décalage