Discussion:Algèbre des parties d'un ensemble

relecture de l'article et propositions

voir discuter:opération ensembliste : cet article est destiné à présenter les propriétés d'algèbre de Boole de l'ensemble des parties d'un ensemble, réunion intersection, différence ... et égalité inclusion, le produit cartésien par exemple est traité dans opération ensembliste.

L'article me semble trop formaliste sur un sujet qui est finalement assez simple, et pas très lisible. Il a fortement besoin d'être structuré (ce serait en ayant la structure d'algèbre de Boole en ligne de mire pour ma part), et de diagrammes. Je laisserais tomber pour ma part toute la référence à l'axiomatique de la théorie des ensembles (c'est traité ailleurs, ce genre de choses se présente habituellement directement), il suffit éventuellement de dire quelque part, que comme on ne parle que de sous-ensembles d'un ensemble donné, c'est de la compréhension restreinte il n'y a aucun problème. Il faut aussi mentionner l'extensionnalité, qui donne un sens à l'égalité, dans un paragraphe introductif. Je propose de commmencer par dire que tous les ensembles seront supposés sous-ensembles d'un ensemble U donné (y compris pour la réunion par exemple).

Détail : on peut également alléger la présentation des formules en introduisant dans le texte les quantifications universelles en tête de paragraphe une seule fois (du genre pour tous ensembles A et B on a: ...), et faut-il toutes les garder ?

Pour les démonstrations il faudrait surtout faire remarquer que c'est du calcul propositionnel : table de vérité, raisonnement par cas, lien avec les diagrammes de Venn ... La démonstration de la distributivité par exemple n'est pas à garder telle quelle. Proz (d) 15 mai 2008 à 11:10 (CEST)

J'ai regroupé et simplifié dans un paragraphe en fin d'article les questions axiomatiques, mais on peut probablement carrément le virer. Proz (d) 13 février 2011 à 19:37 (CET)

Je pense qu'il faut le virer d'autant plus que ça me semble hyper douteux. Soit on se borne à donner des définitions et dans ce cas on n'a pas besoin d'axiomes soit on veut en plus affirmer l'existence des ensembles en question et là pourquoi on aurait besoin de la compréhension (et pourquoi pas le remplacement ?) et pas des axiomes de la réunion de la paire et ... de l'ensemble des parties (le grand absent de l'article) ? Si on n'a que la compréhension, sauf erreur on n'est sûr que d'avoir l'ensemble vide ... ce qui ferait que l'article ne nous parlerait que de cet ensemble ;-). Aussi si on veut toute l'extentionalité (l'équivalence) on doit avoir les axiomes de l'égalité. --Epsilon0 ε₀ 14 février 2011 à 11:01 (CET)

Il n'y a aucun doute que c'est correct : tout repose sur l'ensemble U préexistant qui doit être non vide d'ailleurs, il faudrait le préciser. L'axiome de la réunion est inutile dans ce cadre. L'axiome de l'ensembles des parties est hors sujet (on ne s'intéresse qu'à des opérations sue les sous-ensembles de U, il n'y a pas d'ensembles d'ensembles d'objets de U). L'axiome de la paire est soit inutile (objets de U), soit hors sujet (sous-ensembles), le remplacement de même. Le cadre est celui d'une logique du second ordre monadique. Les définitions ne sont pas de simples abréviations vu le cadre implicite, elles reposent sur l'existence et l'unicité de l'ensemble désigné par chaque construction.

La question est plutôt est-ce que c'est utile dans un article élémentaire ? Plus généralement, connais-tu des ouvrages où ce genre de choses et traité (l'article n'a pas de sources ...) ? Que disent-ils à ce sujet ? Proz (d) 14 février 2011 à 13:12 (CET)

Ok si on suppose l'ensemble U préexistant, là je songeais à comment obtenir un tel ensemble, je crois qu'on se comprend. Sinon comme ça je vois pas trop de sources (je vais regarder) mais ça doit se trouver et m'étonnerait qu'elles mèlent un traitement élementaire comme ici et un développement axiomatique qui fait un peu dissonnant. --Epsilon0 ε₀ 14 février 2011 à 14:02 (CET)

Ensembles disjoints

J'ai des doutes sur le vocabulaire "ensemble noyau de E" pour l'intersection des éléments de E (qui sont des ensembles), et sur "ensembles globalement disjoints" (ça ne se précise pas à chaque fois ce genre de truc ?). Comme c'est un peu hors sujet, je compte supprimer sauf opposition. Proz (d) 13 février 2011 à 19:42 (CET)

Je ne connais pas ces expressions et google non plus. La section me semble aussi un peu hors sujet. --Epsilon0 ε₀ 14 février 2011 à 12:01 (CET)

Ok, je propose de garder la définition et un renvoi sur l'article détaillé. Proz (d) 14 février 2011 à 13:16 (CET)

section exemple

Il me semble que le contenu actuel de cette section est à retirer : 1/ "blond", "gaucher" --> termes vagues 2/on parle à un moment de l'ensemble des gauchers sans préciser homme (d'ailleurs terme imprécis lui aussi : être humain ou humain masculin ?) gaucher 3/ aucun homme n'a plus de 1000 ans, ah bon ? --> ref nec (Dans la Bible Adam et Mathusalem on vécu plus de 900 ans, pour exemple), en tout cas ce n'est pas une formule valide dans tout modèle. Et surtout mélanger des notions formelles avec des évidences empiriques c'est un peu mélanger les genres. Bref remplacer par des exemples arithmétiques précis me semble t-il, si on garde une telle section (--> pas d'idée) --Epsilon0 ε₀ 14 février 2011 à 12:09 (CET)

Même avis, on supprime, je ne crois pas qu'un tel exemple aide grand monde. Pour le choix d'autres exemples : on peut détailler le treillis d'un "petit" ensemble de parties, il y a des images qui traînent. Mais je ne suis pas sûr que des exemples soient indispensables, il faudrait l'avis d'un lecteur "naïf". 14 février 2011 à 13:15 (CET)

On cherche l'avis d'un lecteur naïf ? Alors en voici un. Une section "exemples" est sûrement indispensable, mais elle ne sert à rien reléguée au fin fond de l'article : le lecteur qui aurait besoin de ces exemples est déjà largué. Si le lecteur n'est pas largué en fin d'article, c'est qu'il n'a pas besoin des exemples. D'autre part, afin d'éviter des écueils relevés par Epsilon0 et sacrifier à la NPoV, il faudrait des exemples reconnus, "classiques", si ça existe. Bref, des exemples sourcés et en début d'article, ce serait très bien. ---- El Caro ^bla 14 février 2011 à 14:37 (CET)

pas assez naïf je le crains (je doute que tu apprennes quoi que ce soit en lisant cet article)... En tant que principe général je suis entièrement d'accord. Maintenant dans ce cas particulier, les diagrammes aident également à comprendre (défaut : les ensembles ne sont pas indiqués), et je ne vois pas sur de voir ce qui aiderait, traiter l'ensemble des parties d'un ensemble à trois éléments ? Cf. le schéma en entête de en:Boolean_algebra_(structure) ? Proz (d) 14 février 2011 à 21:11 (CET)

Je pense aussi comme le pseudo-naïf qu'un exemple peut aider même s'il y a déjà des diagrammes ; et en effet le schéma de Boolean_algebra_(structure) peut être bien (mieux p.-e. si on en avait un avec 4 éléments/16 sous ensembles) car ce qui manque ici est d'exhiber tous les sous ensembles d'un ensemble. --Epsilon0 ε₀ 15 février 2011 à 16:27 (CET)

Pour 4 une possibilité serait de partir de ce schéma http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hypercubeorder.svg mais il faut prendre le temps de le décorer. Proz (d) 16 février 2011 à 20:01 (CET)

Moi nul en image. Aussi le schéma à 3 éléments de en:Boolean_algebra_(structure) me semble suffisant pour les images ; mais pour le reste de l'exemple (qui n'a pas à être réduit à une image) : mise à la mano des 16 sous ensembles + exemple avec 2 ou 3 sous ensembles de ce que donnent les différentes opérations (union, etc) --Epsilon0 ε₀ 16 février 2011 à 23:00 (CET)

Propriétés de la différence

J'ai drastiquement simplifié la litanie que l'on trouvait encore dans http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_des_parties_d'un_ensemble&oldid=62261641 et garder juste deux proposition à titre d'exemple. On peut aussi supprimer cette section (cf. commentaire d'un diff) ? Il me semble qu'il faut mentionner quelque part que l'on se réduit aux opérations booléennes usuelles. Proz (d) 14 février 2011 à 22:17 (CET)

Bien pour la purge des +- 2*18 règles ! Sinon la différence est définie plus haut non ? --Epsilon0 ε₀ 15 février 2011 à 16:45 (CET)

Il s'agit juste de préciser que cela permet de montrer ces propriétés, et d'éviter éventuellement d'en voir apparaître à nouveau je ne sait combien. Proz (d) 16 février 2011 à 19:50 (CET)

ok qq propriétés bien choisies peuvent être pertinentes ; avant celà faisait plutôt agenda à la Prévert. Pas d'avis, je te laisse juge. --Epsilon0 ε₀ 16 février 2011 à 23:02 (CET)

Algèbre de Boole

Aussi ce qui me semble interessant est de mentionner clairement qq part une déf formelle de cette algèbre de Boole. Car là on a une liste de propriété sur différentes opérations mais UNE def précise. Je pense à celle du Cori et Lascar qui part de la différence symétrique, soit à qq chose comme

• L'algèbre des parties d'un ensemble est l'Anneau unitaire < P(E), Delta, Inter, vide, E> construit à partir d'un ensemble non vide E, où Delta (différence symétrique) est la loi additive, Inter est la loi multiplicative et où, en plus sur cet anneau, Inter est idempotente, soit pour tout ensemble A inclu dans E, A Inter A = A. Ce qui en fait une structure d'algèbre de boole.

• Après expliciter les axiomes découlant de cette définition ou alors on laisse suivre les liens pour ne pas doublonner Anneau unitaire et algèbre de Boole. Vos avis ? --Epsilon0 ε₀ 15 février 2011 à 16:45 (CET)

Il suffit de mentionner brièvement le résultat, avec lien sur algèbre de Boole (structure), inutile de citer les axiomes (il suffit de suivre le lien). Si c'est à préciser (éventuellement algèbres de Boole complètes, atomiques ...), c'est en fin d'article. Par ailleurs, à la relecture, il faudrait probablement réécrire l'intro pour que ce soit plus dans la tonalité de l'article, qui parle des propriétés plus que de la structure elle-même. On peut compléter (dualité) et peut-être simplifier ou réécrire ici et là. Proz (d) 16 février 2011 à 19:50 (CET)

Ok pour un article qui parle des propriétés plus que de la structure elle-même dans l'esprit des mathématiques élémentaires que El Caro (le faux naïf) évoque sur le thé. A néanmoins mettre clairement dans tous ces articles des liens clairement apparent montrant que toute la notion n'est pas traitée dans le développement simple donné. Bon ici le lien bien visible vers algèbre de Boole (structure) me convient aussi. --Epsilon0 ε₀ 16 février 2011 à 23:10 (CET)

Images

il manque les lettres de chaques cercles dans les photos, ce qui rend le tous incomprhensiblee — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 89.81.166.140 (discuter), le 16 septembre 2014 à 22:08‎.

Lois de De Morgan

Il me semble que l'ordre des lois de De Morgan est inversé dans cet article^{[réf. souhaitée]}. --Teknad (discuter) 13 novembre 2014 à 15:04 (CET)

Il est rare de les numéroter mais voici un ouvrage où elle le sont, bien dans cet ordre. Anne 14/11/14

Ensemble muni de l'union et de l'intersection est-il un anneau ?

Bonjour.

Je me posais cette question : soit E, un ensemble, muni des deux lois de composition interne que sont l'intersection et la réunion (dans cet ordre ou dans l'autre) forme-t-il un anneau ?

On a bien pour E, avec ces deux LCI, formant des groupes commutatifs et il y a la distributivité de l'une par l'autre.

Athanatophobos 18 janvier 2019 21:10 CET

Diagrammes de Venn imprécis

Bonjour, Il faut, pour certains diagrammes de Venn, ajouter des identifiant aux ensembles : E, F etc. S'il faut le faire je suis disponible. Merci. --Lisanuna (discuter) 13 décembre 2019 à 09:21 (CET)

Lisanuna (discuter) 16 décembre 2019 à 14:04 (CET)