Discussion:Anneau principal

Propriétés noethériennes

L'article (section "Propriétés noethériennes") semble supposer qu'un anneau doit être noethérien pour posséder la propriété suivante :

"Tout idéal est inclus dans un idéal maximal"

En fait, dans un anneau quelconque (avec 0 et 1 distincts), il est toujours vrai que tout idéal distinct de l'anneau tout entier est contenu dans un idéal maximal. C'est le théorème de Krull. Il est vrai même si l'anneau n'est pas commutatif, à condition de préciser qu'il s'agit d'idéaux à gauche (par exemple).

Ce qui importe dans le cas des anneaux noethériens, c'est qu'on peut prouver (à l'aide de l'axiome du choix) que tout ensemble non vide d'idéaux d'un anneau noethérien admet un élément maximal pour la relation d'inclusion. (Maximal dans l'ensemble en question.)

Marvoir (d) 28 mars 2008 à 12:49 (CET)

Merci pour cette relecture, nous partageons la même opinion. Je compte retravailler idéal maximal et tenir compte de la remarque explicitée dans anneau euclidien pour indiquer les différentes formes d'axiome du choix utilisé. Jean-Luc W (d) 28 mars 2008 à 13:29 (CET)

Ce qui me semble important dans le cas des anneaux noethériens est l'équivalence entre trois approches : celle que vous citez, le fait que toute suite croissante est stationnaire ou le fait que tout idéal est de type fini. Cette équivalence est démontrée dans l'article associé, Pensez vous qu'il soit nécessaire de faire un rappel de cette implication. Jean-Luc W (d) 29 mars 2008 à 12:01 (CET)

Je n'attache pas une même importance sur le fait d'insister plus sur la nécessité de l'usage de cette forme faible d'axiome du choix. En revanche,l'application du théorème de Zorn dans le cas d'un idéal quelconque mérite à mes yeux une explication plus précise. Sommes nous d'accord ? Jean-Luc W (d) 29 mars 2008 à 12:01 (CET)

En fait, je crois que j'avais fait ma remarque ci-dessus trop vite : déjà à ce moment-là, l'article disait que la propriété en question est vraie pour tout anneau.

Pour ma part, je n'entrerais pas dans des distinctions sur le degré de force des différentes formes de l'axiome du choix. Je montrerais qu'avec l'axiome du choix et l'hypothèse "anneau intègre où tout idéal admet un générateur", on peut prouver que tout élément non nul non inversible est décomposable en produit d'éléments irréductibles et que l'idéal engendré par un élément irréductible est toujours maximal, d'où découle (maintenant sans l'axiome du choix) que tout idéal distinct de l'anneau tout entier est contenu dans un idéal maximal. (Cas particulier du théorème de Krull.)

Mais, en cette matière, il faut s'attendre à ce que les goûts diffèrent, donc je ne compte pas batailler pour mon point de vue.

Marvoir (d) 30 mars 2008 à 15:03 (CEST)

La section introductive

La section introductive ne me semble pas très claire. Le premier alinéa semble dire que les anneaux principaux sont exactement les anneaux commutatifs. Dans le second alinéa, l'assertion "les idéaux sont des ensembles de multiples." est maladroite : tout élément de l'anneau est un multiple (de 1, ou encore de lui-même), donc toute partie de l'anneau est un ensemble de multiples.

Tout cela ne vaut pas une véritable définition. Je me demande donc si on ne pourrait pas réduire la section introductive à ceci : "Les anneaux principaux forment un type d'anneaux important en théorie de la divisibilité. Ce sont essentiellement les anneaux intègres (commutatifs non nuls) auxquels on peut étendre le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique (théorèmes qui concernent l'anneau des entiers relatifs)."
Marvoir (d) 27 décembre 2008 à 18:56 (CET)

P.S. Si Bachet-Bézout et le théorème fondamental s'étendent à l'anneau A, A est principal. Pour un idéal I non nul, considérer un élément x de I dont la décomposition en facteurs irréductibles a le moins de facteurs. Si y est un élément de I, prouvons que y est multiple de x. D'après Bachet-Bézout, le pgcd d de x et y appartient à I. Vu la minimalité du nombre de facteurs irréductibles de x, le diviseur d de x doit être égal à x à un facteur inversible près, donc y (qui est multiple de d) est multiple de x.

Vu l'absence d'objections, je fais la modification proposée.

Marvoir (d) 29 décembre 2008 à 16:24 (CET)

Bézout pour les anneaux factoriels ?

L'article dit "Les trois théorèmes fondamentaux : le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique s'applique toujours sur un anneau factoriel."

Cela me semble inexact pour le théorème de Bézout. (Dit-on vraiment "identité de Bézout" ? Je ne sais pas.)

Exemple : l'anneau des polynômes à deux variables X, Y sur un corps commutatif. Les éléments X et Y sont premiers entre eux mais on ne peut pas trouver de polynômes A(X, Y) et B(X, Y) tels que X A(X, Y) + Y B(X, Y) = 1.

En fait, si un anneau est factoriel et possède la propriété de Bézout, il est principal. (La propriété de Bézout étant : pour tous éléments a et b de l'anneau, l'idéal (a) + (b) est principal. Un anneau qui possède cette propriété est dit bezoutien.)

Voici une démonstration. Soit A un anneau factoriel possédant la propriété de Bézout. De ce que A possède la propriété de Bézout, il résulte que si a et b sont deux éléments de A, alors l'idéal (a) + (b) est de la forme (c); puisque (a) et (b) sont contenus dans (c), c divise a et b (c'est même clairement un PGCD de a et b, mais cela ne nous servira pas). Soit maintenant J un idéal de A; prouvons que J est principal. On peut se limiter au cas où J n'est pas nul. Choisissons dans J un élément a tel que la somme des exposants dans "la" décomposition de a en facteurs irréductibles soit minimale. Prouvons que tout élément b de J est multiple de a. Puisque nous supposons que A possède la propriété de Bézout, il existe un élément (c) de A tel que (a) + (b) = (c), et, comme noté, c divise a et b. De la relation (a) + (b) = (c) résulte qu'il existe x et y dans A tels que ax + by = c. Puisque a et b appartiennent à J, c appartient donc à J. Par choix de a, la somme des exposants dans "la" décomposition de c en facteurs premiers est donc inférieure ou égale à la somme des exposants dans la décomposition de a. Puisque c divise a, ce n'est possible que si a et c sont égaux à un facteur inversible près. Retenons que a divise c. Nous avons vu que c divise b, donc a divise b. Ainsi, a est un élément de J qui divise tout élément de J, donc J = (a), ce qui prouve que A est principal.

Donc un anneau est principal si et seulement s'il est factoriel et bezoutien. Cela concorde avec l'introduction de l'article, qui dit que les anneaux principaux sont "les anneaux intègres (commutatifs unitaires non nuls) auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique."

Je propose donc qu'au lieu de la phrase "Les trois théorèmes fondamentaux : le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique s'applique toujours sur un anneau factoriel.", on mette : "le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique s'appliquent toujours aux anneaux factoriels, mais non le théorème de Bézout."
Marvoir (d) 8 juin 2009 à 19:07 (CEST)

On pourrait aller jusqu'à : Un anneau factoriel est par définition un anneau où un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique est vérifié. Le lemme d'Euclide est vrai dans un tel anneau, ce n'est en revanche pas le cas du théorème de Bezout, qui caractérise en fait les anneaux principaux parmi les anneaux factoriels. Par ailleurs, on met implicitement sur un même pied d'importance les trois résultats dont on parle. J'aimerais bien une source pour ça ; et/ou qu'on m'explique ce qu'on peut faire (et s'il y a des exemples) dans un anneau non factoriel où un analogue du lemme d'Euclide est vrai. Salle (d) 9 juin 2009 à 20:36 (CEST)

Sauf erreur de ma part, il y a des anneaux bezoutiens qui ne sont pas principaux (sinon on n'emploierait pas le mot "bezoutien"). D'après le raisonnement ci-dessus, de tels anneaux ne peuvent pas être factoriels. Je n'ai pas d'exemple sous la main, mais je crois que je peux en retrouver un dans la littérature. Ce sera pour demain matin.

Marvoir (d) 9 juin 2009 à 20:57 (CEST)

Voici deux références pour le fait qu'un anneau bezoutien n'est pas forcément principal :

1° "un anneau bezoutien n'est pas nécessairemenr noethérien" (N. Bourbaki, Algèbre commutative, chap. 7, § 1, exerc. 20 (Paris, 1965, p. 86).

2° "un exemple d'anneau de Bézout non principal" David Bourqui, Arithmétique des fonctions holomorphes, théor. 6.3, phrase qui suit immédiatement l'énoncé, p. 9. (Par parenthèse, à la p. 8, on lit : "tout anneau de Bézout factoriel est également principal", ce qui confirme ce que j'ai énoncé plus haut.)

Tu demandes un exemple d'anneau non factoriel qui satisfasse au lemme d'Euclide. Je suppose que par lemme d'Euclide, il faut entendre que pour tout élément irréductible p de l'anneau, l'idéal (p) est premier. Je n'ai pas de référence (et je ne me suis jamais posé la question), mais je risquerais ceci.

On part de Z et on rend inversibles tous les nombres premiers autres que 2 et 7. Autrement dit, on considère l'anneau A formé par les nombres rationnels qui peuvent s'écrire a/b, avec a dans Z et b entier naturel premier avec 14.

Pour tout entier naturel > 0, on ajoute au corps Q la racine réelle 3ⁿ-ième de 2. On obtient ainsi un corps K_n. Soit B_n l'anneau des A-entiers dans K_n. La suite des K_n est croissante, donc leur réunion est un corps K. De même, la réunion des B_n est un anneau B. Cet anneau admet K pour corps des fractions et est la fermeture intégrale de A dans K.

Pour tout n, le polynôme

$X^{3^{n}}-2$

est irréductible sur le corps à 7 éléments (S. Lang, Algèbre, tr. fr., 2004, p. 306), et son discriminant est premier avec 7, donc l'idéal (7) reste premier dans chaque K_n et donc dans K. (Si on préfère : dans chaque B_n et donc dans B).

D'autre part, le seul facteur premier idéal de 2 dans K_n est (r_n), où r_n désigne la racine réelle 3ⁿ-ième de 2. Il me semble que cela entraîne qu'aucun élément de B non premier avec 2 n'est irréductible ni décomposable en produit de facteurs irréductibles (car les racines de 2 qui interviennent sont décomposables à l'infini), de sorte que B n'est pas factoriel. Il me semble aussi que les seuls éléments irréductibles de B sont donc les éléments 7u, où u parcourt les éléments inversibles de B. Dès lors, si un élément irréductible de B divise le produit de deux éléments de B, il divise un des facteurs, donc le lemme d'Euclide est vrai dans ce cas.

J'ai fait ça assez vite, au risque d'écrire des énormités, dans le seul but de répondre à ta question.

Marvoir (d) 10 juin 2009 à 09:01 (CEST)

Jolie maîtrise, s'il n'y a pas d'énormité ; je dois avouer que je n'ai pas le courage de vérifier. Ton idée est de partir d'un anneau avec deux idéaux premiers et de l'étendre de manière à pouvoir extraire autant de racines que souhaité d'un de ces deux idéaux. Pourquoi ne pas faire la même chose en partant d'un anneau d'entiers p-adiques, alors ?

Maintenant, je me souviens que j'avais regardé des choses comme ça en préparant l'agreg, dans le bouquin Bigonnet-Reversat, Cours et exercices d'algèbre pour la Licence. Si quelqu'un peut vérifier. Pour avoir une source et déterminer dans quelle mesure attribuer la même importance aux trois résultats dont on parle est justifié.

Pour des anneaux vérifiant Bezout sans être principaux, je n'en doutais pas ; j'ai écrit : Bezout caractérise les anneaux principaux parmi les factoriels ; et on est donc d'accord. Salle (d) 10 juin 2009 à 15:35 (CEST)

"je dois avouer que je n'ai pas le courage de vérifier". Moi non plus, donc laissons cela entre parenthèses. Il y a d'ailleurs peut-être un exemple plus facile à construire : un anneau non factoriel qui n'a aucun élément irréductible. Il est alors trivialement vrai que pour tout élément irréductible p de cet anneau, l'idéal (p) est premier, donc le lemme d'Euclide est vrai pour cet anneau. Mais peu importe.

Que fait-on dans l'article ? Le changement que tu as proposé ? Je n'y ai pas d'objections.

Marvoir (d) 10 juin 2009 à 16:09 (CEST)

Fait. Salle (d) 10 juin 2009 à 16:47 (CEST)

Caractérisation des principaux parmi les factoriels

Au sujet de la propriété signalée dans la section "Géométrie algébrique" (ce qui n'est d'ailleurs p.e. pas optimal comme emplacement), un petit "TI" que je crois inutile d'ajouter dans l'article : soit A un anneau factoriel vérifiant Bézout (i.e. pour tous $a,b\in A$, l'idéal $(a,b)$ est principal), alors A est principal (nul besoin de supposer A noethérien). En effet, soient I un idéal non nul de A, et a un élément non nul de I dont le nombre de facteurs (dans la décomposition en produit d'irréductibles) est minimum. Pour tout $x\in I$, soit $(d)=(a,x)$, alors $a\in (d)$ et $d\in I$ donc (par choix de a) d est associé à a, donc a divise x. Par conséquent, I=(a). Je crois que l'énoncé est un exo dans Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions], que je ne l'ai plus sous la main : si quelqu'un pouvait vérifier et mette ça - ou mieux - en ref … Anne Bauval (d) 30 janvier 2011 à 20:51 (CET)

Ton petit "TI" n'est-il pas très proche de ce que j'avais écrit plus haut : :"En fait, si un anneau est factoriel et possède la propriété de Bézout, il est principal. (La propriété de Bézout étant : pour tous éléments a et b de l'anneau, l'idéal (a) + (b) est principal. Un anneau qui possède cette propriété est dit bezoutien.) Voici une démonstration." etc. ? Marvoir (d) 30 janvier 2011 à 21:03 (CET)

Oui bien sûr ! pardon, je n'avais pas lu. Anne Bauval (d) 30 janvier 2011 à 21:29 (CET)

Ce n'était pas pour revendiquer la priorité, mais pour noter que les grands esprits se rencontrent... Marvoir (d) 31 janvier 2011 à 11:54 (CET)

Merci pour cette preuve ! Je ne connaissais pas le résultat. Leon1789 (d) 31 janvier 2011 à 20:23 (CET)

... (nul besoin de supposer A noethérien)... En fait, les anneaux factoriels sont « nœthériens » si on se limite aux idéaux principaux, ce qui, en l'occurrence, est tout ce dont on a besoin.

J'adopte de plus en plus la pratique de distinguer les propriétés purement algébriques des propriétés de finitude, donc de traiter des anneaux à PGCD, puis des anneaux factoriels. JC.Raoult (discuter) 21 avril 2024 à 11:43 (CEST)

Suite de Discussion:Anneau euclidien#Axiome du choix

On a besoin [d'une certaine forme] de l'axiome du choix pour « principal ⇒ factoriel » : (je précise les refs fournies par Touriste en mars 2008) il existe un modèle de ZF, le « modèle de Laüchli IV », dans lequel Laüchli a construit un certain corps, dont Hodges a montré que l'anneau des entiers est principal mais non factoriel : Howard et Rubin p. 205, note 31, donnent comme refs (en) Wilfrid Hodges, « Läuchli's algebraic closure of Q », Math. Proc. Cambridge. Philos. Soc., vol. 79,‎ 1976, p. 289-297 (lire en ligne) et (de) Hans Läuchli, « Auswahlaxiom in der Algebra », Comment. Math. Helv., vol. 37,‎ 1962-1963, p. 1-18 (DOI 10.3929/ETHZ-A-000087895). Hodges (théorème 5) construit même un anneau principal qui n'est pas un corps mais n'a aucun élément premier. Vu de loin ça m'a l'air très compliqué mais moral donc je me contente paresseusement d'y croire.

Mézalor, où est l'utilisation de l'axiome du choix dans la preuve suivante ? Dans un anneau principal, tout idéal premier non nul est engendré par un élément premier, or Poly de Clark, théorème 67 (de Kaplansky) si, dans un anneau intègre, tout idéal premier non nul contient un élément premier, alors cet anneau est factoriel. Ah j'ai trouvé ! c'est dans la preuve du lemme 66 b de ce poly = existence d'un idéal maximal (donc premier) parmi ceux disjoints d'une partie multiplicative donnée. Anne 31/03/2022 14 h 46