Discussion:Classe de régularité

Notation

Dans mes vieux souvenirs de théorie des distributions, ${\mathcal {D}}^{k}$ désigne les fonctions de classe C^k à support compact. Quelqu'un sait-il si ce sens est sourçable ? et celui de l'article ? Anne, 11/2/2011

(en) Abdellah El Kinani et Mohamed Oudadess, Distribution Theory and Applications, World Scientific, 2010 (lire en ligne), p. 5 ont les mêmes « souvenirs » que moi. Anne, 18/2/2017

Problème avec le concept de fonction ${\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)$

L'article définit tout d'abord ${\mathcal {C}}_{I}^{0}(J)$ comme "l’ensemble des fonctions continues par morceaux".

Suivant la terminologie usuelle, on s'attendrait, il me semble, à ce que ${\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)$ soit l'ensemble des fonctions ${\mathcal {C}}^{k}(J)$ par morceaux.

Or l'article definit ${\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)$ (avec $k\geq 1$) comme "le sous-ensemble de ${\mathcal {D}}^{k}(J)$ constitué des fonctions dont la k-ième dérivée est continue par morceaux", ${\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )$ étant défini juste avant comme "l'ensemble des fonctions de $J$ vers $\mathbb {R}$ qui sont k fois dérivables".

Prenons $k=1$ pour simplifier. De deux choses l'une: soit ${\mathcal {C}}_{I}^{1}(J)$ est bien ce qu'il est commun d'appeler ${\mathcal {C}}^{1}(J)$ par morceaux (auquel cas je pense que la définition qui en est donnée est fausse -- voir ci-dessous), soit c'est un concept pour le moins inhabituel il me semble (auquel cas il conviendrait a minima de le discuter un peu plus).

Dans le premier cas, voila pourquoi je pense que la définition est fausse: d'après cette définition, ${\mathcal {D}}^{1}(J)$ contient ${\mathcal {C}}_{I}^{1}(J)$. Or les fonctions dérivables sont forcément continues. Cela implique que les fonctions ${\mathcal {C}}_{I}^{1}(J)$ sont continues. Or il est bien évident que les fonctions ${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux ne sont pas nécessairement continues. Les fonctions en escalier, par exemple, sont ${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux selon la terminologie usuelle, mais ne sont évidemment pas continues. 130.79.10.22 (discuter) 16 avril 2015 à 17:21 (CEST)

De toute façon, la définition donnée ici contredit celle de l’article Régularité par morceaux. Il est grand temps de sourcer…--Dfeldmann (discuter) 18 février 2017 à 07:39 (CET)