Discussion:Corps de décomposition

Corps de décomposition

J'ai un problème avec la définition donnée comme un certain sous-corps de la clôture algébrique (soit dit en passant, on devrait dire une clôture algébrique). En effet, la preuve de l'existence d'une clôture algébrique passe au début par l'extension de corps de décomposition. On se mord alors la queue. Liu (d) 12 avril 2008 à 18:28 (CEST)

Oups, j'avais pas bien lu. Liu (d) 12 avril 2008 à 19:02 (CEST)

Notations

La notation P(X) K[X] pour désigner l'anneau des polynômes formels et K(x) l'anneau des fonctions polynômes. En revanche, K(X) désigne très généralement le corps des fractions rationnelles. Cette convention est utilisée dans la grande majorité des articles de théorie de Galois, pour une fois, ce n'est pas une faute de frappe. De même la notation Q[X] / P[X] pour désigner l'anneau quotienté de Q[X] par l'idéal engendré par P[X] est aussi une notation fréquente et plus légère. Pour le reste, les modifications sont excellentes, particulièrement de lutter contre ma manie parler de la clôture algébrique. Jean-Luc W (d) 13 avril 2008 à 12:45 (CEST)

Ainsi, avec les notations utilisées, P[X] désigne un polynôme formel, P(X) une fraction rationnelle formelle, P(α) désigne l'image du polynôme ou de la fraction par le morphisme d'évaluation en α. Cette convention, pas moins répandue qu'une (largement utilisée en théorie de Galois et en théorie algébrique des nombres) autre possède un avantage, elle est cohérente sur de nombreux articles. Je sais qu'il en existe une multitude d'autres en fonction des besoins, p(X) pour désigner un polynôme formel, l'absence de distinction entre polynôme formel et polynôme fonctionnel etc... En théorie de Galois ou algébrique des nombres, on utilise largement les polynômes, par exemple pour définir des anneaux ainsi que les fractions rationnelles pour définir des clôtures intégrales. Comme en théorie algébrique des nombres la convention choisie ici est bien pratique, j'ai jugée bon de l'adopter.

Jean-Luc W (d) 13 avril 2008 à 12:59 (CEST)

Je suis vraiment embêté avec la notation P[X] pour un polynôme. Je ne l'avais jamais vu ailleurs. Pour Q[X]/P[X] si c'est plus léger, c'est aussi "confusionnant" car il ne se distingue par de la fraction Q[X]/P[X]. Pour alléger la notation on peut écrire P au lieu de P(X) et aussi écrire Q[X]/(P) au lieu de Q[X]/(P(X)). La notation P(α) est standard, et justement on aurait été obligé de noter P[α] si on veut être cohérent avec la notation P[X].

Liu (d) 13 avril 2008 à 23:52 (CEST)

Cette histoire de notation n'est pas simple. Une des difficultés de WP est que le mélange de Latex dans le corps du texte n'est pas heureuse. Le rendu dépend du navigateur utilisé, et par exemple sur ma machine, les lignes deviennent inégales et le texte plus difficile à lire. Pour cette raison et dans la mesure du possible j'essaie de ne pas mélanger. Ensuite, les auteurs utilisent en effet des conventions fort différentes selon les besoins (majuscules, minuscules, crochet, parenthèse ou lettre simple pour désigner un polynôme). Nous avons tous appris ces théories avec une convention, il est certain qu'en voir une autre pour un lecteur ou un contributeur est source de confusion. La même notation pour les polynômes et les fractions rationnelles n'est très sain dans le cadre de la théorie algébrique des nombres, pour cette raison j'ai choisi celle des théoriciens des nombres, car c'est probablement l'endroit où ce type de notation est le plus fréquent (30 articles dans la catégorie théorie algébrique des nombres, 50 pour l'arithmétique modulaire, 23 dans équation diophantienne etc...). Le passage au morphisme d'évaluation transforme chez beaucoup d'auteurs le crochet en parenthèse, ce qui aide à séparer la fonction polynôme du polynôme formel. De là à désigner les polynômes sur Q par Q(X) et un polynôme de Q[X] par P(X), il existe un pas qui n'est que rarement franchi en théorie des nombres. Utiliser une convention plutôt qu'une autre ne me semble pas une affaire clé, de toute manière les lecteurs habitués à une autre notation seront gênés, mais ne pas suivre une même cohérence au sein de WP me semble une erreur. Cette convention est suivi dans Corps de rupture, Corps de décomposition, Corps parfait, Extension algébrique, Extension finie, Extension normale, Extension séparable, Extension de Galois, Théorème de l'élément primitif, Théorème fondamental de la théorie de Galois, Théorie de Galois, Théorème d'Abel (algèbre), Groupe de Galois, Polynôme cyclotomique, Corps fini, Théorème de Wedderburn, Polynôme minimal d'un nombre algébrique, Polynôme minimal d'un endomorphisme, Anneau factoriel, Anneau euclidien, Entier algébrique, Entier quadratique, Extension quadratique etc...

Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 09:36 (CEST)

Pour la clôture algébrique, il n'y a en général pas de problème pour dire la clôture algébrique d'un corps puisque toutes les clôtures algébriques sont isomorphes entre elles. Mais dans la théorie des extensions, il faut faire attention. Par exemples si P(X) (désolé pour la notation :)) est un polynôme irréductible sur K, alors K[X]/(P) est contenu dans une clôture algébrique de K mais pas dans toutes.

Liu (d) 13 avril 2008 à 23:58 (CEST)

Selon les auteurs clôture algébrique désigne la plus petite extension algébriquement clôt ou n'importe quelle extension algébriquement close. Pour beaucoup de lecteurs, la clôture algébrique d'un corps de nombres signifie C. En théorie des représentation des groupes fini, Jean-Pierre Serre ne se gène pas pour utiliser cette définition. Je partage donc l'opinion qu'il est plus sage de parler d'une clôture algébrique, sans utiliser implicitement le fait que l'on désigne la plus petite.

Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 09:36 (CEST)

Moi non plus, je n'ai jamais vu la notation P[X] pour un polynôme ailleurs (et en particulier en théorie des nombres). Une source ? J'ai aussi de sérieux doutes sur le fait que Serre prendrait C comme clôture algébrique de Q. C'est à quelle page ?

Salle (d) 14 avril 2008 à 09:55 (CEST)

Bonjour, cette histoire de notation est effectivement complexe. Pour le rendu des symboles de maths, je ne connais pas bien le mécanisme. C'est embêtant de devoir lire la syntax Tex au lieu des symboles directement. Maintenant pour les polynômes, je n'ai pas suffisamment de pratique de WP, mais il me semble que WP n'est pas là pour créer ses propres conventions. Ton idée de P[X] est peut-être bonne, mais il est extrêmement difficile de changer une convention établie. Il n'est pas souhaitable d'avoir une convention WP et une convention le reste du monde. Si la mauvaise notation est utilisée dans plusieurs articles, il faudrait les changer partout, et je suis (très fortement) pour.

Pour la clôture algébrique, clôture signifie généralement "la plus petite" dans tous les domaines de maths. Liu (d) 14 avril 2008 à 10:28 (CEST)

Emballé, c'est pesé : Deux spécialistes, dont un vraiment gêné, voilà qui est trop pour maintenir une position, (qu'elle soit sourcée ou non). Cela indique probablement que beaucoup de lecteurs seront aussi gênés, je propose après approbation de Liu et Salle de passer aux notations P pour un polynôme et (P) pour l'idéal engendré par le polynôme.

Je n'ai pas le Serre sous les yeux, mais Serre, dans son livre sur les représentations des groupes finis considère uniquement C pendant les deux premières parties (à l'exception d'un chapitre sur les représentations réelles). Je suis presque sur (je vérifierais) qu'il indique qu'un corps de décomposition ou une autre clôture algébrique ferait aussi bien l'affaire, quand il commence à faire de l'arithmétique. Nous sommes tous d'accord que la clôture algébrique ne concerne que la plus petite clôture algébrique, mais à mon avis, le terme une clôture algébrique est aussi utilisée. Je dois une référence à Salle.

Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 10:32 (CEST)

Merci pour ton sens de dialogue. Pour être précis, je pense qu'on devrait écrire P(X) pour un polynôme, et P si ça devient encombrant.

Liu (d) 14 avril 2008 à 22:30 (CEST)

Absolument d'accord

Jean-Luc W (d) 15 avril 2008 à 08:59 (CEST)

Petite enquête rapide

Les définitions de clôture algébrique sur le net et dans l'ordre :

• WP la minimalité n'est pas requise.
• Jussieu : la minimalité n'est pas requise Corps fini et clôture algébrique P 141 parle d'une clôture algébrique (= surcorps algébriquement clôt).
• Ali Benhissi parle aussi d'une clôture algébrique page 1 Lire.
• Michel Matignon parle en revanche de La clôture algébrique page 10-01 Lire
• Dico maths parle d'une clôture algébrique et ne fait pas référence à une minimalité. Dico maths (Détail amusant, après une définition ne faisant pas appel à la minimalité, Dico maths fait référence au théorème de Steinitz qui montre l'unicité de la clôture algébrique.
• Daniel Ferrand parle d'une clôture algébrique dans décomposition du Dunford.

Sur 6 premières références (5 si l'on omet WP, qui par définition n'a pas d'autorité ici), aucune ne suppose de minimalité dans la définition de clôture algébrique à l'exception de celle de Matignon, et le cas dico maths qui semble bien partagé. Je préconise donc par défaut de parler d'une clôture algébrique. Cependant, je partage l'opinion que le terme la clôture algébrique est fort peu ambigu. Il me reste encore à vérifier que Serre parle d'une clôture algébrique. Il est bien évident que jamais Serre ne parlerait de La clôture algébrique de Q étant égal à C (ce qui serait totalement absurde). Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 11:00 (CEST)

J'ai l'impression que tu fais une erreur : dans le poly de Polo à Jussieu, comme dans DicoMaths, il y a la condition de minimalité, puisqu'une clôture algébrique de k est un corps K tel que K/k est une extension algébrique et K est algébriquement clos (et pas clôt, me semble-t-il). Deux clôtures algébriques sont alors isomorphes . Ce qui empêche de parler de la clôture algébrique (sauf à s'être fixé un surcorps algébriquement clos au préalable), c'est que cet isomorphisme n'est pas unique. C'est uniquement pour cela, àma, que Benhissi parle d'une clôture algébrique, et non pas parce qu'il aurait enlevé la condition de minimalité de la définition. Salle (d) 14 avril 2008 à 13:37 (CEST)

Merci Salle. Eh oui, il devient clair que j'ai fait une erreur, je n'avais pas vu la condition de minimalité. Le terme d'une clôture algébrique fait référence à l'existence d'automorphismes et non à une absence de minimalité. Voilà qui m'exonère d'une vérification chez Serre. Liu, toi, Polo (est-ce l'ancien ens de 82 ?) et Dicomath c'est bien suffisant pour se faire une opinion. Merci encore, j'ai compris la raison de ma confusion, et vous prie à Liu et à toi d'excuser mon absence de pertinence. Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 15:38 (CEST)

Pour tout ce qui est polynômes et extensions de corps, je trouve que le volume Algèbre de Bourbaki est très bien. Bien rédigié et très lisible. "Algebra" de Lang est plus concis mais bien aussi. Liu (d) 14 avril 2008 à 22:33 (CEST)

Terminologie

On trouve corps des racines (sa traduction) dans Mac Lane-Birkhof, et en Français ça se lit même si c'est peut-être démodé ça semble à mentionner. Par contre corps de décomposition au sens extension d'un corps de décomposition, ce n'est pas forcément lié à l'utilisation de "corps des racines" contrairement à ce qui est dit, et je ne l'ai jamais vu que sur le site les-mathematiques.net. Faut-il laisser cette mention s'il n'y a pas d'autre source ? Si oui il faudrait mentionner l'auteur. Sinon on peut aussi effacer le lien (site pas très entretenu il me semble). Proz (d) 2 janvier 2011 à 17:01 (CET)

Je ne sais pas qui a mis cette convention (probablement Jean-Luc W.). On pourrait mettre un refnec pendant quelques temps et enlever cette convention si personne n'ajoute de source. Liu (d) 2 janvier 2011 à 19:02 (CET)

En fait la ref on l'a : c'est le site les-mathematiques.net (dont la navigation n'a plus l'air maintenue), et l'auteur I El Hage a l'air d'un monsieur tout à fait respectable (universitaire au Liban je crois, j'avais cherché un jour). Mais s'il est isolé dans ce choix, ce qui n'est pas facile à juger, ce n'est pas pour autant qu'il faut le mentionner (vu que c'est quand même tordu de faire un choix terminologique incompatible avec à un autre très largement répandu). Proz (d) 2 janvier 2011 à 20:14 (CET) PS. Bon je l'enlève, après tout c'est facile à rétablir si quelqu'un pense que c'est utile. Je mets le lien ici pour faciliter

• (fr) Les correspondances de Galois dans les-mathématiques.net

Je leur avais écrit à l'époque, mais je n'ai jamais eu de réponse. Je suis d'accord pour enlever cette référence. Liu (d) 2 janvier 2011 à 22:28 (CET)

A faire

L'unicité à isomorphisme près devrait être traitée dans le paragraphe définition, l'unicité comme sous-corps d'un corps algébriquement clos (ou d'une extension), même si c'est simple cela devrait être mentionné. Même avec ceci, ne devrait-on pas dire "un" corps de décomposition ? Les renvois à d'autres articles pour les démonstrations sont beaucoup trop nombreux (surtout pour des choses aussi simples que l'existence ou l'extension finie, ça se démontre en même temps), et pas forcément juste (unicité à isomorphisme près : pas vu traité).

Enfin on parle aussi de corps de décomposition dune famille de polynômes (cf. Lang). Proz (d) 2 janvier 2011 à 17:53 (CET)

L'unicité à iso près n'est pas si immédiate à prouver, je ne sais pas ce que tu entends par traiter. Par contre tu as raison on devrait mettre la preuve de l'existence et de l'unicité dans cet article. D'un autre côté, il y a un problème un peu global sur tous les articles de la catégories des extensions algébriques, c'est qu'il y a pas mal de doublons. La même chose est souvent répétée dans plusieurs articles. Liu (d) 2 janvier 2011 à 19:06 (CET)

Unicité : je suis d'accord. C'est mentionné dans le paragraphe propriétés, avec un renvoi sur un autre article, mais je ne vois rien à l'arrivée. Par traité : je veux dire pas forcément démontré, mais au moins mentionné avec un renvoi sur un manuel, les deux n'étant pas incompatibles. Pour l'unicité, je parlais d'une autre propriété qui me semble simple, c'est que dans une clôture algébrique il y a un seul corps de décomposition d'un polynôme, puisque c'est forcément l'extension par adjonction de ses racines. Sinon pour les doublons : il y avait même un doublon dans un même article ! Il est parfois inévitable pour la cohérence, ou parce que ça peut-être bien de traiter dans un article donné la même chose à un niveau différent, de répéter certaines choses dans les articles. On épargnerait cependant des répétitions en essayant de traiter les notions de base "au bon endroit" dans des articles dédiés pas trop longs et sans discours ni généralités superflues. Un exemple est corps de rupture. Pour "corps de décomposition" : les démonstrations s'y rapportant devraient être traitées ici, c'est là qu'on les cherche. On peut aussi s'épargner les boites déroulantes sur un article pas trop long (le doublon dans extension algébrique aurait probablement été détecté avant sans boite déroulante) (je précise que je ne m'y mettrai pas dans l'immédiat). Proz (d) 2 janvier 2011 à 20:05 (CET)

Simplification ?

La démonstration de l'existence du corps de décomposition a été "simplifiée", j'ai l'impression qu'elle a été plutôt compliquée, car on arrive directement sur le corps de décomposition par itération, pas besoin de passer par un surcorps mais abrégée en enlevant les détails (pourquoi pas enlever les détails, mais manifestement ça peut obscurcir). Proz (d) 8 mai 2013 à 01:04 (CEST) PS. C'est même devenu pas très juste "itérer sur les facteurs irréductibles" est assez trompeur : il peut y avoir un seul facteur irréductible et besoin d'itérer. Je reviens à la version précédente.

Polynôme nul

Telle qu'elle est dans la définition de la version actuelle, on peut aussi inclure le polynôme nul. Le corps de décomposition d'un polynôme constant, nul ou pas, est alors le corps de base. UL (d) 8 mai 2013 à 08:41 (CEST)

Corps de déploiement

 Huguespotter : Je préfèrerais qu'on revienne à la version d'hier soir parce que je n'ai trouvé aucun livre employant cette appellation pour la notion de corps de décomposition. Anne (discuter) 10 août 2017 à 09:53 (CEST)

C'est moi qui avait rajouté le terme car c'est le seul que je connaissais. Quand vous m'aviez demander une source j'avais rajouter celle qui est actuellement. Mais ce terme est utilisé indépendamment de cette source-là que je ne connaissais pas avant de chercher une source pour le therme. Peut-être est-ce un terme plus utilisé en Belgique, étant belge également, c'est une possibilité. Je pense que c'est quand même utile car moi par exemple au moment où j'ai ajouté la mention, j'avais cherché cette article sur ce nom là et ne le trouvant pas j'ai été voir en anglais ce qui m'avait permis de retrouver cette article via les liens interlangues ! Mais donc je pense quand même que c'est utile de laisser la mention dans le RI. --Huguespotter (discuter) 10 août 2017 à 10:10

Dans ce cas il faudrait créer le redirect. Mais avant cela, pouvez-vous fournir une référence livresque ? cette page web n'est pas très probante et son auteur invoque des goûts personnels. Anne, 10 h 23

Je vais essayer de trouver cela. Bien à vous,--Huguespotter (discuter) 10 août 2017 à 16:05 (CEST)

A simplifier oui !

Tout à fait d'accord avec les commentaires précédents sur la nécessité de simplification de la démonstration.
Surtout qu'en l'état actuel elle est très confuse pour une raison précise : on veut démontrer l'existence d'un corps de décomposition pour l'ensemble des polynômes en utilisant le fait qu'un polynôme de degré inférieur (<n) possède un corps de décomposition. Le problème avec cette démo est que l'on perd de vue sur QUEL corps le polynôme de degré n possède un facteur (X-a) ou bien n'est qu'un produit de facteurs irréductibles.
Pour être tout à fait clair (et démontrer aussi clairement que l'extension est finie), il faut effectuer la démo sur un polynôme P DONNé. Je dirais plutôt "de proche en proche" que par "récurrence" en faisant baisser le degré. Voici une démo :

Soit un polynôme P de degré n.
Si P a des racines dans K, il existe des facteurs de la forme (X-a)^k. Une fois P divisé par tous ces facteurs, il reste un facteur P_1 qui peut être réductible : c'est un produit de facteurs irréductibles. Soit Q_1 un des facteurs irréductible.
Puisque Q_1 est irréductible, on construit le corps de rupture associé K_1 = K[X]/(Q_1) qui est une extension finie. Dans ce corps, P_1 est (comme précédemment) le produit d'un polynôme scindé sur K_1 et d'un polynôme P_2 qui peut être réductible. Mais P_2 a forcément un degré <n car Q_1 possède une racine dans K_1. Il existe de même un facteur irréductible Q_2 dont le corps de rupture est K_2 = K_1/(Q_2). K_2/K_1 et K_1/K étant des extensions finies, K_2/K est une extension finie (cf. lemme de multiplicativité des degrés).
Le degré de P_k diminuant à chaque étape, le processus est fini et aboutit à une extension finie K_m où P est scindé.

A partir de là les autres propriétés sont immédiates ! (quelle complication ici). Il suffit de reprendre la construction précédente pour un corps de décomposition quelconque L. La construction se fait à partir des racines de P qui ne sont pas dans K. On constate alors que tous les facteurs K_i(racine) sont dans L et qu'ils sont isomorphes aux K_i précédents.

--Fabrej0 (discuter) 13 novembre 2017 à 20:09 (CET)

D'une part je ne pense pas qu'il y ait de "commentaires précédents sur la nécessité de simplification de la démonstration" présente dans l'article. La démonstration d'existence est simple de toute façon. Celle que vous proposez, rédigée correctement, sera une récurrence très analogue à celle de l'article. La raison "précise" que vous donnez n'est même pas confuse, elle n'a aucun sens (relisez-vous). Pour l'unicité, "pas si immédiate à prouver" selon un autre contributeur (cf. #A_faire), ce que vous proposez n'est pas compréhensible, ça ne milite pas pour son caractère immédiat. Proz (discuter) 15 novembre 2017 à 01:55 (CET)