Discussion:Courbe de Bézier

Rendu de fontes

Est-ce que quelqu'un peut confirmer tout ce qui est écrit ? J'ai de gros doute sur la correction orthographique par exemple... --Celui 24 jun 2005 à 15:21 (CEST)

Notation abusive

Dire que $\sum _{i=1}^{N}B_{N}^{i}(t)P_{i},$ est un ensemble de point c'est un abus de notation non ? faudrait le préciser peut-être ?

On peut aussi préciser que $\sum _{i=1}^{N}B_{N}^{i}(t)=1$ ca s'appelle la partition de l'unité ?

Formule générale des courbes de Bézier

Selon mes souvenirs, la formule générale proposée pour les courbes de Bézier est celle des NURBS... Il faut que je trouve le temps de vérifier cela dans mes cahiers et d'apporter des modifications si nécessaire.

--> c'est un cas particulier des B-Spline

Un avantage de la représentation de Bézier et donc aussi des B-splines est que la décomposition sur la base est robuste. Dans l'ouvrage "A Practical Guide to Spline" , il est expliqué que pour obtenir les coefficients des polynômes dans une représentation en polynômes par morceaux,la matrice d'inversion est mal conditionnée. On propose donc une décomposition sur la base B-Splines (les coefficients de la décomposition sont les sommets du polygone de Bézier) , ensuite on peut changer de représentation (sans perte d'information) pour passer en polynômes par morceaux. Historiquement, c'est l'origine des B-Splines.

Un autre point important qui a motivé l'invention de mon ancien collègue P.Bézier, est qu'il cherchait une représentation qui assure la continuité des dérivées secondes (courbures). En effet, dans une carrosserie automobile, toute discontinuité C2 est détectée par l' œil.

Technique

Je ne vois pas où sont introduit les points A,B,C et D.

Je ne connais pas ce domaine, mais il semble que au moins au départ on ait $A:=P_{0},B:=P_{1},C:=P_{2},D:=P_{3}$. Il me semble aussi que l'on peut écrire directement $\mathbf {P} (t)$ à partir des $P_{i}$ avec une matrice adéquate, i.e. que cette histoire de coefficient ${\frac {1}{2^{k}}}$ n'est pas nécessaire. Pour finir, quelqu'un a commencé un paragraphe [...] "pour deux raisons principales" mais cela n'est suivit que d'un point. Noix07 (discuter) 25 janvier 2017 à 12:12 (CET)

Aussitôt dit, aussitôt fait:

${\begin{pmatrix}L_{1}(t)\\L_{2}(t)\\L_{3}(t)\\\mathbf {P} (t)\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}A(t)\\B(t)\\C(t)\\D(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\(1-t)&t&0&0\\(1-t)^{2}&2(1-t)t&t^{2}&0\\(1-t)^{3}&3(1-t)^{2}t&3(1-t)t^{2}&t^{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}}$

ou de manière équivalente

$D\leftarrow (1-t)C+tD,$

$C\leftarrow (1-t)B+tC,\ D\leftarrow (1-t)C+tD$,

$B\leftarrow (1-t)A+tB,\ C\leftarrow (1-t)B+tC,\ D\leftarrow (1-t)C+tD$

Pour le fun, on peut aussi obtenir l'équivalent des $R'i$ :

${\begin{pmatrix}\mathbf {P} (t)\\R_{1}(t)\\R_{2}(t)\\R_{3}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t^{3}&3t^{2}(1-t)&3t(1-t)^{2}&(1-t)^{3}\\0&t^{2}&2t(1-t)&(1-t)^{2}\\0&0&t&(1-t)\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}}$

ou de manière équivalente

$A\leftarrow (1-t)B+tA,$

$B\leftarrow (1-t)C+tB,\ A\leftarrow (1-t)B+tA$,

$R_{2}(t):=C\leftarrow (1-t)D+tC,\ R_{1}(t):=B\leftarrow (1-t)C+tB,\ \mathbf {P} (t):=A\leftarrow (1-t)B+tA$

Noix07 (discuter) 25 janvier 2017 à 13:00 (CET)

Animations depuis la wiki anglaise

Je suis assez nul en maths et pourtant j'ai relativement (relativement, hein) bien compris comment on dessine une courbe de Bézier, grâce aux superbes animations présentes sur l'article en anglais (je joins l'une d'entre elles) :

Construction of a cubic Bézier curve		Animation of a cubic Bézier curve, t in [0,1]

Alors je crois que ce serait bien de les avoir aussi sur notre wikipedia, pour les gens qui comprennent mieux avec ce genre de média. Donc si quelqu'un est suffisamment fort en maths pour le faire sans bouziller l'organisation de l'article, ça me ferait plaisir, ainsi qu'aux millions de visiteurs qui croient injustement que les maths ne sont pas belles !--eiku (d) 23 juillet 2008 à 21:46 (CEST)

refnec? (cf la fin du paragraphe "exemples")

Si on raccorde deux courbes A0 An et B0 Bm sur un même point de contrôle (An = B0), le résultat est C1 si An-1, An, et B1 sont alignés. Si l'on fait subir une homothétie de centre An à l'une des courbes, ce résultat est conservé. La condition exprimée pour C2 l'est aussi, alors que la courbure d'une des courbes est modifiée et pas l'autre. J'ai donc un sérieux doute quant à cette affirmation ancienne. Plutôt qu'un refnec qui a toutes les chances d'être oublié, je préfèrerais qu'on réfute mon argument (ou qu'on révoque/réfute l'affirmation si elle est fausse). Balpo (d) 3 janvier 2009 à 10:35 (CET)

Un passage à améliorer

82.X.Y.Z a rajouté le passage suivant, intéressant (il tente d'exprimer en mots ce que les "Animations depuis la wiki anglaise" ci-dessus expriment en images animées) mais incomplet, et à wikifier -> déplacé en page de discussion en attendant FvdP (d) 8 mai 2009 à 21:55 (CEST):

L’idée, très simple : une composition binaire de trajectoires. Soit un point A de trajectoire A(t), pour le temps t variant de 0 à1. Soit un point B de trajectoire B(t), pour le temps t variant de 0 à1. Alors, les trajectoires de A et B sont composées de la manière suivante pour donner la trajectoire d’un point M(t) : à chaque temps t, un point M est intérieur au segment AB, de manière telle que t soit le rapport des distances de M à B et A : t=MA/BM . Autrement dit, le point M coïncide avec A au temps 0, avec B au temps 1, il est au milieu du segment AB au temps 1/2, etc... Nous avons M=(1-t)A+tB, ce que vous pouvez considérer comme le paramétrage de la trajectoire du point M, ou le programme de calcul des positions du point M. Si les points A et B sont fixes, le point M décrit un segment. Le procédé compose deux courbes, pour en produire une troisième. Le procédé peut-être itéré, évidemment. Par exemple, soit P=(1-t)B+tC, et Q=(1-t)M+tP. Si A,B,C sont fixes, la trajectoire de Q est un arc de parabole (ou la parabole entière, si l’on ne cantonne pas t entre 0 et 1)

Suis désolé, ce n'est pas une tentative, toute l'affaire est là.

Avant toute chose, je m'excuse d'avance si ce texte aurait du être écrit autre part, il se trouve que je découvre tout juste l'édition dans Wikipédia.

Il me semble que les images ci-dessus représentent en fait la construction d'une courbe de Bézier grâce à l'algorithme de De Casteljau. La description présente ci-dessus est donc, à mon avis, légèrement erronée. Le principe repose cependant, c'est vrai, sur le principe du point barycentre (1-t)A+tB qui parcourt le segment [AB] de A à B lorsque le paramètre t parcourt l'intervalle [0,1] de 0 à 1.
La construction de la courbe de Bézier correspoondant aux points de contrôles (P₀,P₁,P₂,P₃) se déroule de la manière suivante :

• On crée tout d'abord les points Q₀=(1-t)P₀+tP₁, Q₁=(1-t)P₁+tP₂, Q₂=(1-t)P₂+tP₃.
• On crée ensuite de même les points R₀=(1-t)Q₀+tQ₁, R₁=(1-t)Q₁+tQ₂
• Enfin, on crée S₀:=(1-t)R₀+tR₁.

Quand t décrit [0,1], le point S₀ décrit alors la courbe de Bézier recherchée.
Voilà comment j'interprète les choses.
Cet algorithme peut être en fait étendu à n points de contrôle, puisqu'on remarque qu'il s'agit de la construction d'une suite d'ensembles de points qui finit par se retrouver réduite à un seul point : celui de la courbe.
Je tiens à préciser encore une fois que ceci est ma première contribution et que je suis ouvert à toute correction concernant ma façon de faire. Merci.
Damneth (d) 16 mai 2010 à 19:12 (CEST)

Algorithme sur calculatrice

Un utilisateur anonyme a ajouté sur l'article la syntaxe d'un programme de tracé de courbes de Bézier dans le langage Ti-Basic. Personnellement, je le trouve un peu envahissant. Y-a-t'il un moyen de réduire la place qu'il prend ? Existe-t-il une mise en forme spécifique pour le code ? Ou doit-il être retiré de l'article ? Enfin, une dernière question : s'il est conservé, ne vaudrait-il pas mieux l'adapter en algorithme général plutôt que de le laisser en une syntaxe spécifique pour calculatrice que tout le monde ne maîtrise pas forcément ? Damneth (d) 23 mai 2010 à 21:38 (CEST)

Je le trouve effectivement horrible et inutilisable, même ayant programmé sur calculatrice. SI quelqu'un d'autre est d'accord, il ne faudrait pas hésiter à le supprimer, il apporte peu ou pas en l'état. 82.127.60.235 (d) 8 janvier 2011 à 17:28 (CET)