Discussion:Courbe de Hilbert

Courbe de Hilbert#Surjectivité

La section manque complètemment $(x_{0}(t),y_{0}(t))$. --Nomen4Omen (discuter) 1 décembre 2017 à 20:34 (CET)

Oui, suis très reconnaissant d'avoir attiré notre attention sur cette lacune.

 Anne Bauval : Tu écris:

« Hilbert définit la fonction $f:[0,1]\to [0,1]^{2}$ comme limite uniforme des fonctions continues $f_{n}:[0,1]\to [0,1]^{2}$ définissant les approximations successives de la courbe de Hilbert. »

Ce n'est pas vrai.

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  FIG. 1: La courbe de Hilbert d'ordre 1.
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  FIG. 2: La courbe de Hilbert d'ordre 2.
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  FIG. 3: La courbe de Hilbert d'ordre 3.

Dans la n-ième itération, $4^{n}$ nombres établissent correspondance entre les $4^{n}$ intervalles (Hilbert : « Theilstrecke » dans la ligne en haut dans les dessins de Hilbert) et les $4^{n}$ carrés ci-dessous. Autrement dit : la suite des $4^{n}$ intervalles correspond bijectivement à la suite des $4^{n}$ carrés.

D'après l'article « Courbe de Hilbert », sur mathcurve : « Si $t$ appartient à $[0,1[$ , posons $f_{n}(t)=C_{n,\lfloor 4^{n}t\rfloor }$ » [où pour $i:=\lfloor 4^{n}t\rfloor$, $C_{n,i}$ est le $i$-ième carré d'ordre $n$].

$\Longrightarrow$   Pour $n$ fini (!), les fonctions $f_{n}(t)$ présentent des « sauts » en $t\in [0,1]\cap (\mathbb {N} \cdot 4^{-n})$ et sont constantes et continues par morceaux, continues seulement à droite, mais discontinues à gauche. Si l'on – comme Hilbert – prend par ensemble d'arrivée l'ensemble des carrés

$[i\cdot 4^{-n},(i+1)\cdot 4^{-n}[\quad \times \quad [j\cdot 4^{-n},(j+1)\cdot 4^{-n}[$

elles sont discrètes.

Néanmoins, la ligne brisée joignante les centres successifs de ces carrés est souvent dite « courbe de Hilbert approchée du premier type d'ordre n ». Mais le $t$ ci-dessus et dans tes formules jamais paramétrise (est paramètre de) ce polygone.

Prière d'adapter l'article conformément.--Nomen4Omen (discuter) 24 février 2018 à 17:31 (CET)

Le passage de mathcurve, que tu cites en le déformant, ne concerne pas les fonctions continues $f_{n}$. Il parle de tout autre chose lorsqu'il dit : « Le labyrinthe de Hilbert d'ordre n […] » suivi d'une illustration non ambiguë — et sans rapport direct avec celle de Hilbert p. 459 que tu as bien reproduite ci-dessus — puis : « Si $t$ appartient à $[0,1[$, posons $K_{n}(t)=C_{n,\lfloor 4^{n}t\rfloor }$ »

Mais dans tout le paragraphe qui précède ce passage sur mathcurve, les fonctions continues $f_{n}$ sont bien décrites, de 2 façons équivalentes :

• en reprenant les lignes brisées dessinées par Hilbert et en précisant : « La courbe de Hilbert approchée du premier type d'ordre n est alors la ligne brisée joignant les centres successifs de ces carrés »
• par une description par récurrence de ces mêmes $f_{n}$, mal typographiée car il manque les indices n+1 et n et car il manque l'initialisation (il faut simplement, dans la première figure, descendre jusqu'au bord sous le 1 et aller jusqu'au bord à droite du 4), mais facile à comprendre, et sur laquelle on peut vérifier qu'elles sont bien continues (et non pas constantes par morceaux mais affines par morceaux). Et pour cause ! elles constituent bien un paramétrage des lignes brisées des dessins.

« Mes formules » (sur les propriétés de symétrie) ne sont pas de moi mais sont conformes à cette description.

Je pense qu'il faudrait recopier dans l'article cette définition par récurrence des fonctions continues $f_{n}$.

Cela dit, je suis d'accord avec toi que ce n'est pas la description originale de Hilbert, qu'il serait bon d'ajouter aussi, de façon bien plus simple et claire que l'actuel paragraphe « Construction par approximations discrètes ».

Anne, 24/2/18, 18 h 17

 Anne Bauval :

Mon point essentiel:

Les lignes brisées des dessins (= les « polygones ») ne sont pas paramétrisées par $t$. Une paramétrage de la première itération est:

$f_{1}(u)={\bigl (}x_{1}(u),y_{1}(u){\bigr )}={\begin{cases}({\frac {1}{4}},2u+{\frac {1}{4}})&{\text{ pour }}0\leq u<{\frac {1}{4}}&{\text{la ligne verticale}}\\(2u-{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}})&{\text{ pour }}{\frac {1}{4}}\leq u<{\frac {1}{2}}&{\text{la ligne horizontale}}\\({\frac {3}{4}},-2u+{\frac {7}{4}})&{\text{ pour }}{\frac {1}{2}}\leq u<{\frac {1}{2}}&{\text{la ligne verticale}}\\({\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}})&{\text{ pour }}{\frac {3}{4}}\leq u<1&{\text{le point final}}\\\end{cases}}$

Ce paramétrage a en principe seulement 3 portions et est continu.

Le paramétrage usuel (et important) avec $t$ (et ce dans mathcurve) est une chose complètement differente :

« Paramétrisation cartésienne définie par récurrence par :

${\begin{array}{llll}x_{n}({\frac {t}{4}})={\frac {y_{n-1}(t)}{2}}&x_{n}({\frac {t+1}{4}})={\frac {x_{n-1}(t)}{2}}&x_{n}({\frac {t+2}{4}})={\frac {1+x_{n-1}(t)}{2}}&x_{n}({\frac {t+3}{4}})={\frac {2-y_{n-1}(t)}{2}}\\y_{n}({\frac {t}{4}})={\frac {x_{n-1}(t)}{2}}&y_{n}({\frac {t+1}{4}})={\frac {1+y_{n-1}(t)}{2}}&y_{n}({\frac {t+2}{4}})={\frac {1+y_{n-1}(t)}{2}}&y_{n}({\frac {t+3}{4}})={\frac {1-x_{n-1}(t)}{2}}\end{array}}$

En posant $t=0{,}a_{1}a_{2}a_{3}\dotso$ (en base 4) ... »

Ce paramétrage avec $t$ a en principe 4 portions essentiels et présent des « sauts » en $t\in [0,1]\cap (\mathbb {N} \cdot 4^{-n})$ et est constant et continu par morceaux, continu seulement à droite, mais discontinu à gauche. --Nomen4Omen (discuter) 24 février 2018 à 20:08

Non, les $f_{n}$ définies ci-dessus par récurrence sur mathcurve n'ont absolument aucune raison d'être constantes par morceaux.

Et leur « En posant $t=0{,}a_{1}a_{2}a_{3}\dotso$ (en base 4) » et tout ce qui suit ne sert qu'à traduire ces formules de récurrence dans les bases (4 pour $t$ et 2 pour $f_{n-1}(t)$ et $f_{n}(t)$), donc m'importent peu.

On comprend bien mieux ces formules de récurrence lorsqu'on les interprète géométriquement : elle consistent à chaque étape à réduire de 1/2 la courbe précédente et à en placer convenablement 4 copies bout à bout dans le carré unité. Et dès la 2e figure, on voit très clairement (dans les deux quarts supérieurs du carré) quelle était la bonne initialisation.

Mathcurve ne la donne pas mais si l'on prend ce que je disais (dans la première figure, descendre jusqu'au bord sous le 1 et aller jusqu'au bord à droite du 4), elles paramètrent bien de façon continue les courbes dessinées (plus deux segments aux 2 extrémités, et qui vont jusqu'au bord, mais de plus en plus petits et qui n'obèrent pas le résultat). Plus explicitement :

$f_{1}(t)={\begin{cases}\left({\frac {1}{4}},2t\right)&{\text{si }}0\leq t\leq {\frac {3}{8}}&{\text{la ligne verticale, prolongée en bas jusqu'au bord}}\\\left(2t-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\right)&{\text{si }}{\frac {3}{8}}\leq t\leq {\frac {5}{8}}&{\text{la ligne horizontale}}\\\left({\frac {3}{4}},2-2t\right)&{\text{si }}{\frac {5}{8}}\leq t\leq {\frac {7}{8}}&{\text{la ligne verticale}}\\\left(2t-1,{\frac {1}{4}}\right)&{\text{si }}{\frac {7}{8}}\leq t\leq 1&{\text{le prolongement à droite jusqu'au bord}}\end{cases}}$

Anne, 24/2/18, 22 h 50

 Anne Bauval :

Non! Ce définitivement n'est pas Hilbert.

NB: Il faut le souligner que la continuité seulement de la limite importe.

Salutations! --Nomen4Omen (discuter) 25 février 2018 à 10:24 (CET)

PS: Prière de réellement élaborer les formules recursives de ta fonction $f_{n}(t)$ continue.

Oui, j'ai bien dit « je suis d'accord avec toi que ce n'est pas la description originale de Hilbert ». Et j'ai très bien compris l'article de Hilbert, où il explique directement la continuité de sa fonction $f$.

Ce n'est pas « ma » fonction continue $f_{n}$ : ça vient de mathcurve. Et c'est bien la description récursive d'un paramétrage continu de leur « courbe de Hilbert approchée du premier type d'ordre n », qui converge uniformément vers $f$, ce qui donne une autre preuve de la continuité de $f$.

La tienne, par contre, laisse grandement à désirer, en particulier les 2 passages que j'ai soulignés dans l'actuelle section « Construction par approximations discrètes » : Ainsi^{[précision nécessaire]} Il manque un énoncé précis et sourcé du théorème invoqué|date=9 février 2018, l'application $f$ comme limite uniforme $f(t):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(t_{n})$^{[Information douteuse]} même pas faux : ça n'a pas de sens car les f_n et f ne sont pas définies sur le même ensemble|date=9 février 2018 de ces fonctions est surjective et est uniformément continue.

D'habitude je traduis facilement en français ce que tu dis mais là, je ne comprends pas ton P.S. : « réellement élaborer les formules recursives » . J'ai donné l'initialisation, et tu as toi-même transcrit la récurrence. Qu'est-ce qui te manque ?

Anne, 25/2/18, 11 h 58

Encore meilleure que ta fonction

$f_{1}(t)={\begin{cases}\left({\frac {1}{4}},2t\right)&{\text{si }}0\leq t\leq {\frac {3}{8}}&{\text{la ligne verticale, prolongée en bas jusqu'au bord}}\\\left(2t-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\right)&{\text{si }}{\frac {3}{8}}\leq t\leq {\frac {5}{8}}&{\text{la ligne horizontale}}\\\left({\frac {3}{4}},2-2t\right)&{\text{si }}{\frac {5}{8}}\leq t\leq {\frac {7}{8}}&{\text{la ligne verticale}}\\\left(2t-1,{\frac {1}{4}}\right)&{\text{si }}{\frac {7}{8}}\leq t\leq 1&{\text{le prolongement à droite jusqu'au bord}}\end{cases}}$

serait

$f_{1}(u)={\begin{cases}\left(2u,2u\right)&{\text{si }}0\leq u\leq {\frac {1}{8}}&{\text{la ligne diagonale ascendante}}\\\left({\frac {1}{4}},2u\right)&{\text{si }}{\frac {1}{8}}\leq u\leq {\frac {3}{8}}&{\text{la ligne verticale ascendante}}\\\left(2u-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\right)&{\text{si }}{\frac {3}{8}}\leq u\leq {\frac {5}{8}}&{\text{la ligne horizontale}}\\\left({\frac {3}{4}},2-2u\right)&{\text{si }}{\frac {5}{8}}\leq u\leq {\frac {7}{8}}&{\text{la ligne verticale descendante}}\\\left(2u-1,2-2u\right)&{\text{si }}{\frac {7}{8}}\leq u\leq 1&{\text{la ligne diagonale descendante}}\end{cases}}$

parcequ'elle serait reusable dans les dessins FIG. 2 à 3 ... et aussi dans les récursive formules p.e. de mathcurve. --Nomen4Omen (discuter) 26 février 2018 à 20:22

Ma fonction f_1 donne, quand on lui applique les formules récursives de mathcurve, exactement les courbes fig. 2, 3, etc. (plus un petit segment à chaque bout) Non, je me suis trompée. La tienne donne des dessins qui n'ont aucun rapport. Anne, 26/2/18, 23 h 57

À recycler

L'article n'est pas clair en l'état. Il faudra améliorer sa rédaction. Il serait bon d'introduire une description géométrique récursive des courbes intermédiaires. Theon (discuter) 20 août 2018 à 15:04 (CEST)

Recyclage effectué. Theon (discuter) 25 août 2018 à 21:34 (CEST)

gleichmässig

@Utilisateur:Theon: Dans son article, Hilbert écrit dans la dernière partie qu'il existe des approximations polynomiales (ce sont des séries formelles de K. Weierstrass) qui convergent absolument et gleichmässig. Il ne le dit pas pour les Flächenstücks de la première partie. --Nomen4Omen (discuter) 26 mai 2019 à 20:07 (CEST)

OK. Je remets en place ta modification. Theon (discuter) 27 mai 2019 à 09:01 (CEST)