Discussion:Dérivée directionnelle

Voir Discuter:Dérivation directionnelle pour la transformation de l'éphémère article dérivation directionnelle en redirect Peps 7 avril 2007 à 18:40 (CEST)

Objection

J'ai retiré de l'article le passage suivant

    Objection 

Considérons un deuxième champ vectoriel Y tel que Y(p)= X(p). Alors,si ce qui précède était correct, la dérivée de Lie de f par Y en p serait égale à la dérivée de f par X en p. Ceci quel que soit le champ Y tel que Y(p)= X(p)!

Car je ne vois pas où est le problème, la propriété qui chagrine ce lecteur me semble évidente sur l'écriture en coordonnées locales

${\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)\,[X(p)]=X^{a}{\frac {\partial f}{\partial x_{a}}}$

Ou alors j'ai mal compris sur quoi portait l'objection ? Peps (d) 28 janvier 2008 à 00:07 (CET)

Divers

• Ajout d'une image, que j'espère utile?

• Essai de précision du vocabulaire: la valeur de la dérivée selon un vecteur (non nul) dépend de ce vecteur, mais son existence ne dépend que de la direction de ce vecteur; j'ai cru utile de distinguer dérivée selon le vecteur h et dérivée dans la direction de h. La version anglaise semble plus rigide.

Asram (d) 26 mars 2010 à 01:28 (CET)

Définition de la dérivée directionnelle

La définition de dérivée directionnelle donnée dans cette page, à savoir

$D_{h}f(u)=\lim \limits _{t\to 0}{\frac {f(u+th)-f(u)}{t}},$

devrait empêcher les $t$ d'être nuls ... (même erreur ici). C'est corrigé. Ce n'est cependant pas le point principal que j'aimerais soulever.

Certains analystes français (page 72 chez Schwartz) proposent effectivement la définition (corrigée) donnée ici (et l'appellent dérivée partielle suivant un vecteur et non dérivée directionnelle). Cependant, en analyse convexe (page 15 chez Borwein et Lewis) et dans la page anglaise en:Directional derivative, la définition requiert en plus d'avoir des $t>0$, si bien que l'on peut avoir $f'(x;-d)\neq -f'(x;d)$. Ce concept moins restrictif permet de dire qu'une fonction convexe admet des dérivées directionnelles suivant toutes les directions (pouvant prendre éventuellement les valeurs $\pm \infty$). C'est bien pratique pour définir le sous-différentiel d'une fonction convexe (non différentiable dans le sens classique). Des contributeurs voient ils une objection à ce que l'on adopte cette définition ? Voient ils des domaines dans lesquels la définition actuelle, plus restrictive, est nécessaire ? Une autre possibilité serait d'appeler du même nom les deux concepts en faisant deux sous-sections dans la section Fonction définie sur un espace vectoriel (ou appeler les premières dérivées partielles suivant un vecteur comme Schwartz et les secondes dérivées directionnelles), les deux notions se rassemblant dans une sous-section parlant de Gâteaux-différentiabilité. Je pencherais pour cette dernière option, car il y a beaucoup d'autres notions de dérivées directionnelles (celles de Dini, de Clarke, ..., voir la synthèse de Demyanov dans pour un point de départ) qui pourraient aussi être présentées dans cette page. Jean-Charles.Gilbert (d) 8 février 2011 à 10:14 (CET)

Bonjour, pour t non nul, il suffit de le dire explicitement dans une phrase. La définition présente a une utilité, je n'ai pas le temps de chercher une source pour la terminologie. Mais rien n'empêche de compléter avec des définitions alternatives ou complémentaires, avec l'idée d'aller du plus simple (pour le lecteur de base) au plus compliqué. Asram (d) 8 février 2011 à 13:45 (CET)

Pour info, Demyanov appelle dérivée directionnelle au sens de Dini, celle ci-dessus avec la contrainte supplémentaire $t>0$. Finalement, j'ai fait les modification minimales, i.e., en touchant le moins possible à l'existant. Jean-Charles.Gilbert (d) 8 février 2011 à 14:46 (CET)

Bonjour, j'ai mis l'article en lien dans Espace de Fréchet, mais là-bas la dérivée au sens de Gâteaux (au fait, peut-être mettre un lien vers René Gâteaux) ne se limite pas aux valeurs positives. Juste pour information. Cordialement, Asram (d) 11 février 2011 à 01:23 (CET)

Il serait intéressant de savoir si René Gâteaux/Gateaux définissait la dérivée directionnelle comme ce que je me suis permis d'appeler dérivée partielle suivant un vecteur (comme L. Schwartz), auquel cas on pourrait l'appeler dérivée directionnelle au sens de Gâteaux. Je n'ai guère le temps cependant de relire toutes les publications de la liste donnée par Laurent Mazlia dans son article référencé dans René Gâteaux. Je vais toutefois jeter un coup d'oeil sur ses articles de 1919 et 1922 dont les intitulés me semblent les plus proches du sujet. Par ailleurs, la distinction t > 0 ou pas s'estompe bien sûr dès que l'on parle de dérivée au sens de Gâteaux (linéarité en la direction). Jean-Charles.Gilbert (d) 11 février 2011 à 16:22 (CET)

Mettre ici les articles de René Gâteaux parcourus en indiquant s'ils utilisent un concept de dérivation et lequel.

• Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques, CRAS, vol. 157, 1913, p. 325–327. Une allusion est faite au concept de dérivée directionnelle suivant$f'_{_{G}}(x;d):=\lim _{\scriptstyle t\to 0 \atop \scriptstyle t\neq 0}\,{\frac {f(x+td)-f(x)}{t}}$et à sa linéarité en $d$ lorsque la fonction est dérivable. Le focus de l'article est ailleurs. Jean-Charles.Gilbert (d) 11 février 2011 à 18:05 (CET)
• Sur la notion d’intégrale dans le domaine fonctionnel et sur la théorie du potentiel, Bull. S.M.F, 47, 47-70, 1919. Apparemment rien. Jean-Charles.Gilbert (d) 11 février 2011 à 18:05 (CET)
• Fonctions d’une infinité de variables indépendantes, Bull. S.M.F, 47, 70-96, 1919. Apparemment rien. Jean-Charles.Gilbert (d) 11 février 2011 à 18:05 (CET)
• Sur diverses questions de calcul fonctionnel, Bull. S.M.F, 50, 1-37, 1922. Dans les numéros 20 et 24, il utilise le concept de dérivée directionnelle notée $f'_{_{G}}(x;d)$ ci-dessus et présuppose sa linéarité en $d$. C'est très marginal dans son propos. Jean-Charles.Gilbert (d) 11 février 2011 à 18:05 (CET)

Il faudrait aussi voir ce qu'en dit Shapiro. Jean-Charles.Gilbert (d) 11 février 2011 à 20:12 (CET)

Dérivée au sens de Gâteaux

Bonjour, la définition de la dérivée de Gâteaux dans l'article en Anglais (http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%A2teaux_derivative) ne demande pas aux espaces d'être normés, seulement topologiques et séparés. On n'y demande pas non plus à la dérivée de Gâteaux d'être linéaire en le vecteur direction. Quelle est la bonne définition ?

D'autre part on ne se sert pas de la topologie de l'espace de départ E pour définir la dérivée selon un vecteur h en un point u. Il faut seulement un petit segment u + [-ε;ε]h dans l'ensemble de définition de la fonction pour pouvoir considérer la limite. Pourquoi exiger une norme sur E ? Vincent Semeria (d) 26 novembre 2012 à 11:19 (CET)

J'ai l'impression d'avoir écrit cela moi-même, donc j'essaye de répondre à vos questions, bien que je n'aie pas le temps de les approfondir pour l'instant.

• Le qualificatif de Dini ne me semble plus correct aujourd'hui pour qualifier la dérivée uni-directionnelle proposée (pas sûr non plus que cette dernière appellation soit la meilleure).
• Pour votre première question, il suffit en effet de pouvoir prendre la limite dans $\mathbb {F}$, donc d'avoir une topologie sur cet espace (le caractère séparé de la topologie est sans doute utile pour avoir l'unicité de la limite, si je me rappelle bien). Pour la Gâteaux différentiabilité, la linéarité par rapport à la direction est classique, dans les domaines de l'analyse convexe, de l'analyse non lisse, de l'optimisation. La définition donnée dans WP.en est celle de dérivée partielle suivant une direction; puisqu'on n'y restreint pas le $\tau$ à prendre des valeurs strictement positives. Que dire alors de la fonction valeur absolue $x\in \mathbb {R} \mapsto |x|$. En analyse convexe, on aime bien utiliser la définition de dérivée uni-directionnelle donnée ici, car toute fonction convexe a cette propriété de différentiabilité (pourvu que la convergence soit prise dans ${\bar {\mathbb {R} }}$); voir le résultat Dérivée directionnelle d'une fonction convexe qui suit.
• Pour votre seconde question, je n'ai pas cherché la généralité. On aurait pu affaiblir la définition de Gâteaux-différentiabilité en supposant seulement que $\mathbb {E}$ est un espace vectoriel topologique. Soit.
• Il y a énormément d'autres notions de dérivées directionnelles (sans doute autant qu'il y a de sous-différentiels en analyse non lisse), si bien que leur donner toutes un nom est difficile et espérer que tout le monde soit d'accord avec les appellations données est sans doute illusoire. JChG (d) 26 novembre 2012 à 12:09 (CET)

Dérivée directionnelle suivant un vecteur

Bonjour. Dans l'interprétation cinématique de la dérivée directionnelle il est écrit : "intuitivement", la dérivée ...... avec le vecteur vitesse horizontal(e) h. Mais h n'est pas un vecteur vitesse, c'est juste la direction du déplacement. On pourrait écrire qqchose comme: D_hf(a) est la composante verticale de la vitesse instantanée en f(a) d’un point M qui se déplace sur la surface représentative de f et dont la projection M' sur le plan horizontal suit la direction h. Pierre du Cher (discuter) 9 février 2024 à 15:37 (CET)

D'ailleurs êtes-vous sûr que la dérivée directionnelle représente la vitesse verticale ? N'est-ce pas plutôt la vitesse tangentielle, c'est à dire le long de la trajectoire ? Pierre du Cher (discuter) 9 février 2024 à 18:41 (CET)