Discussion:Ensemble infini

Théorème de Dedekind

Je ne comprends pas à quoi correspond la redirection "théorème de Dedekind" sur cet article. De quel théorème s'agit-il ? Proz (d) 26 octobre 2011 à 19:40 (CEST)

À vrai dire, je comptais un peu sur toi pour nous le préciser. Dans liste de théorèmes ce lien était rouge, et j'avais lu dans en:Richard Dedekind#Work la phrase « This is known as Dedekind's theorem », mais pas compris. Anne Bauval (d) 26 octobre 2011 à 19:52 (CEST)

Je ne comprends pas non plus. Je ne connais pas. Peut-être une erreur de l'article sur en: ? Ce qui est connu c'est sa définition d'ensemble infini. Le mémoire où elle apparaît est "Was sind und was sollen die Zahlen ?", où Dedekind démontre certes un certain nombre de choses (et en dehors de sa "démonstration" d'existence d'un ensemble infini, c'est de la plus grande rigueur). Tu as un résumé commenté ici http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/numbers/dedekind.pdf : pas trace (dans les commentaires) de ce "théorème de Dedekind" connu. Par ailleurs Dedekind a fait bien d'autres choses en algèbre, mais je ne sais pas s'il y a un "théorème de Dedekind" identifié je ne suis pas sûr par ailleurs que grand monde lise liste de théorèmes. Proz (d) 26 octobre 2011 à 21:21 (CEST)

Ce lien rouge avait été fait en 2005. Ce redirect n'est lié que dans Liste de théorèmes donc ne devrait pas gêner grand monde Sauf que cette liste est pas mal consultée : cf onglet "historique", Outils externes et statistiques, Consultations, mais attention elle s'appelait Liste des théorèmes avant le 13/9. J'ai posé un refnec sur la phrase « This is known as Dedekind's theorem » sur :en. Anne Bauval (d) 26 octobre 2011 à 22:04 (CEST)

La liste en question me semble au moins consultée par les wikipédiens et possiblement aussi par les lecteurs d'où sa pertinence dans le main --Epsilon0 ε₀ 26 octobre 2011 à 22:52 (CEST)

J'ai transformé ce redirect en un embryon de page d'homonymie. Anne (discuter) 28 avril 2014 à 09:56 (CEST)

Reprise de l'article

Bonjour, j'ai un peu repris l'article qui me semblait peu clair ; d'autres modifs sont nécessaires en clarification : 1/ parler de classe ? 2/ def via le fini lors que je crois que Dedekind a défini directement la notion pour l'infini (= aucune sous partie propre bijectable).

Sinon je ne connais pas cette def de Tarski et elle m'est moyennement claire ; quelqu'un sait d'où ça vient ? --Epsilon0 ε₀ 26 octobre 2011 à 21:36 (CEST)

Cet article est clairement une ébauche. Il manque tous les résultats élémentaires sur l'infini (sans parler de cardinal). Je ne comprends pas 2/. La déf. de Tarski devrait apparaître (comme indiqué, pour moi suffisamment clairement, dans l'article) dans l'ouvrage de Fraissé cité en ref. Sinon elle est aussi dans l'article original de Tarski en ref. sur ensemble fini. La définition à privilégier est : "ne peut être mis en bijection avec un entier (enfin {0, ...n -1} pour n un entier)". Il faudrait parler de "contient un ensemble dénombrable" (équivaut à Dedekind infini), qui est très commode. L'expression "un ensemble ayant une infinité (en acte) d'éléments", qui mélange deux registres différents, est pour moi dénuée de sens. Que serait un ensemble ayant une infinité d'éléments, mais pas en acte ? L'axiome de l'infini n'affirme pas l'existence d'ensemble infini, celle-ci s'en déduit. Proz (d) 26 octobre 2011 à 21:58 (CEST)

merci pour le lien pour Tarski, je l'ai mis en biblio et vais le lire. Sinon ok cet article est une ébauche ; je te fais confiance pour l'améliorer et repasser derrière ma relecture rapide. Sinon, si tu n'a jamais entendu parlé de la différence infini en acte/ infini potentiel (mais cela m'étonnerait) il faut alors des articles là dessus. En bref : potentiel = illimité = de n je peux passer à n+1 indéfiniment. En acte = il existe un ensemble ayant 0 et dès qu'il a n a n+1 (et en gros la possibilité de son existence arrive justement avec la thie des ens + (j'y pense) ax. de récurrence). Une longue littérature existe sur ce sujet mais je ne l'ait pas en tête ; cela relève aussi plutôt de l'article infini. où d'ailleurs on n'a pas résolu la question de la wiki-compatibilité du gros apport sur Wittgenstein --Epsilon0 ε₀ 26 octobre 2011 à 22:23 (CEST)

Oups je t'ai mal lu et t'ai soupçonné au dessus ne pas savoir ce que tu connais évidemment, désolé : en effet si on parle d'ensemble on est en acte ; ce que j'ai écrit doit être modifié. --Epsilon0 ε₀ 26 octobre 2011 à 22:32 (CEST) Citation exacte de Cantor p.-e. à mettre. --Epsilon0 ε₀ 26 octobre 2011 à 22:58 (CEST)

Je reprend très à minima (par manque de temps), mais il me semble que cela devrait plutôt aller dans ce sens. La définition de Tarski est quand même relativement secondaire (non mentionnée dans la grande majorité des livres de th. des ens.), et surtout son article parle des ensembles finis, il vaut mieux renvoyer sur l'article ad hoc que de le mettre en biblio à mon avis. Considérer un ensemble infini, extensionnellement, comme un objet, ce serait plutôt cela l'infini en acte, donc là, désolé d'insister, l'expression citée ne me semble pas compréhensible. La nouvelle version en note ne me convainc pas, car de toute façon définir un ensemble infini par possédant une infinité d'éléments ça me semble circulaire (conflit d'édition de plus). Non la récurrence n'est pas liée à l'infini en acte, il y a une récurrence sur la classe des ordinaux par ex. L'axiome de l'infini est plus fort que l'existence d'un ensemble infini. Proz (d) 26 octobre 2011 à 23:30 (CEST) PS. Je laisse aussi tomber l'hypothèse du continu dont il est question ailleurs, mais ça peut revenir dans une section ultérieure. Il me semble qu'il devrait être d'abord question des propriétés élémentaires des ensembles infinis, on peut renvoyer sur d'autre articles pour les questions plus fines de cardinalité. Proz (d) 26 octobre 2011 à 23:34 (CEST)

Ouh tu tapes fort là, relis mieux car tout n'est pas forcément fautif dans ce que je dis même si c'est évidemment améliorable :

1/ Pour la note j'évoquais "multiplicité" (de mémoire, me rappelle plus trop les termes de Cantor) pas "infini" ce qui d'ailleurs ne m'apparaît pas "circulaire".

2/ J'évoquais rapidement "ax. de récurrence" en pensant à Peano (où on déduit un ens ayant tous les entiers), la rec au delà de N avec ZF, tu sais bien que je sais que ça existe.

3/ L'axiome de l'infini est plus fort que l'existence d'un ensemble infini, ben oui car il précise : il existe un ensemble ayant tous les entiers. Ai-je dit le contraire dans ma formulation (ayant avant tout pour but de mentionner cet axiome dans cet article) L'existence d'ensembles infinis est affirmé par un axiome spécifique de la théorie des ensemble, l'axiome de l'infini. ? En étant aussi pointilleux que tu l'es, ben ton ajout Sans cet axiome on ne peut montrer l'existence d'ensembles infinis est faux, car on peut exprimer qu'il existe des ensembles infinis par un autre axiome ; ce que justement tu dis !

4/ Aussi le jeu de la double contrainte, "oui il faut considérer Tarski", "mais non, il fallait pas le citer", m'amuse peu. Même si je peux être ok avec le fond (pas encore lu l'article)

Bon, cher Proz, voilà des pinailles proportionnelles aux tiennes, mais retenons l'essentiel : notre collaboration en bonne harmonie sur les articles, qui comme celui-ci sont à dvper, et où j'avoue de bon gré que tu me corriges bénéfiquement plus qu'à mon tour ;-).

--Epsilon0 ε₀ 27 octobre 2011 à 22:50 (CEST)

A dire vrai j'avais réécrit sans voir ta dernière modification, cf. http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_infini&oldid=71484113 , la synthèse n'était pas évidente, et je reconnais être allé un peu vite. Ceci dit à ce niveau de développement, il ne s'agit pas nécessairement de "faute". La circularité n'était pas dans la note. J'ai fait une proposition (c'est très résumé) un peu différente de la précédente (moins d'importance accordée à la "définition de Tarski", en particulier, pas de mention de cardinal dès la définition ...). Tout ça est évidemment très sommaire et doit évoluer, les affirmations sur les équivalences demandent à être expliquées. Pour 4/ : il s'agit juste de ne pas doublonner ensemble fini, et c'est étrange d'avoir pour élément de la bibliographie (pas seulement une citation) un article (que j'ai lu) sur les ensembles finis. Pour la récurrence (2/) : ce n'est pas ça, mais le fait que la récurrence ne demande pas que les entiers forment un ensemble. 3/ tu as raison de pinailler.

Sinon je ne pense pas que ça aide de parler des aspects historiques (def. de Cantor), et de l'infini actuel ou potentiel dans une simple note à la définition. Ca n'éclaire pas celle-ci, ça mérite une section à part plus tardive avec un article détaillé éventuel (cf. ci-dessous). Proz (d) 28 octobre 2011 à 18:44 (CEST)

Par rapport à l'ax. de l'infini, je songe, car wp doit refléter tout le savoir mais la question de savoir où placer quoi me dépasse, où placer que si la classe des ensembles infinis est axiomatisable (en 1er ordre et via jeu infini d'axiomes), la classe des ensembles finis, elle, n'est pas axiomatisable en 1er ordre même par jeu infini d'axiomes ? Dans cet article (ce qui me semble évident), ailleurs ?, et alors où ? En sachant que s'il faut expliquer tous les termes mis en jeu (sans parler de la dem. qui découle du thm de complétude) il faut sans doute entrer un minimum dans le cambouis technique. --Epsilon0 ε₀ 29 octobre 2011 à 07:29 (CEST)

C'est une question de formalisation au 1er ordre, pas à détailler dans cet article. C'est de la théorie des modèles élémentaire, plutôt conséquence du théorème de compacité (hélas l'article est tout à fait réducteur). Il faudrait déjà reprendre théorème de compacité, qui pourrait le mentionner comme exemple d'application. Proz (d) 29 octobre 2011 à 13:34 (CEST)

Infini en acte et infini potentiel

Je ne vois pas d'articles (éventuellement courts) sur wp concernant ces 2 notions ; en voyez-vous ? --Epsilon0 ε₀ 26 octobre 2011 à 21:41 (CEST)

Il y a en:Actual infinity qui ne semble pas à traduire tel quel mais contient des choses, et sur lequel redirige en:Potential infinity, et de:Potentielle und aktuale Unendlichkeit. il y a tout à fait matière à un "vrai" article, mais il me semble que sur le mode de en: ou de:, un seul suffit (les deux notions se présentent ensemble), sur lequel l'article présent pourrait renvoyer (mais pas au niveau de la définition il me semble). Proz (d) 27 octobre 2011 à 18:14 (CEST)

Théorème de Tarski

Le résultat sur le produit cardinal et l'axiome du choix est traité dans ordinal de Hartogs. La démonstration est essentiellement la même que celle donnée dans l'article en: donné en lien (ça parait plus clair de mentionner explicitement l'ordinal de Hartogs ama). Le résultat sur la cardinalité du produit de 2 ensembles infinis serait à mentionner dans l'article. Proz (d) 16 octobre 2012 à 01:26 (CEST)

Ok mais pas cap'. Anne (d) 16 octobre 2012 à 07:36 (CEST)

Ce sera à faire (la dém. la plus simple passe par les ordinaux (AC) et se fait par induction ordinale). J'ai ajouté l'anecdote (une version un peu différente de G Moore, qui a écrit un bouquin de référence sur l'histoire de AC) dans l'article ordinal de Hartogs. Est-on d'accord qu'il n'y a pas à traduire l'article en:, le paragraphe de ordinal de Hartogs étant plus complet à tout point de vue ? Peut-être peut-on mettre sur en: une homonymie sur le paragraphe ad hoc de ordinal de Hartogs ? Je ne sais pas si ça se fait. Proz (d) 16 octobre 2012 à 11:30 (CEST)

Rédaction

Je comprends bien cette preuve et je cherche en vain à la rédiger plus simplement. En tous cas, il me semble que Cori-Lascar nous mentent beaucoup (en prétendant explicitement que {(ζ,η)|(ζ,η) <₂ (α,β)} ⊆ δ²) et Dehornoy un peu (par omission). Dans Aleph (nombre)#Somme et produit finis, il est juste écrit : « On montre par récurrence ordinale sur α, que le bon ordre ainsi défini sur ℵ_α × ℵ_α a pour type d'ordre au plus ℵ_α, c'est-à-dire qu'il est isomorphe à un segment initial de ℵ_α ». Sans Dehornoy sous la main, c'est un peu trompeur : les ordres sur les divers ℵ_α × ℵ_α sont bien compatibles entre eux, mais passer de ℵ_α à ℵ_α+1 n'est pas du tout évident. Anne 2/12/15 20h25

C'est effectivement l'ordinal δ + 1 et pas δ, mais qui a même cardinalité, reste inférieur à λ et donc pas de souci avec cette correction de CL me semble-t-il. Je ne comprends pas bien l'objection sur le résumé de Aleph (nombre)#Somme et produit finis, car le pas d'induction se fait sans distinguer le cas ℵ_α avec α successeur (bien sûr la preuve utilise que ℵ_α n'est de toute façon pas successeur comme ordinal). Proz (discuter) 2 décembre 2015 à 21:54 (CET) PS. Mais je m'aperçois que la démonstration est rédigée ici (j'avais oublié) et que c'est bien δ + 1 qui est pris. J'aurais dû mettre une ref. mais c'est celle du C.L. avec la prop. de bon ordre au lieu de celle d'induction.

Équivalence des 2 définitions de Dedekind-infini

1. il existe $x\in E$ et une injection $f:E\to E\setminus \{x\}$
2. il existe une injection $g:\mathbb {N} \to E$

Pour montrer que 1 ⇒ 2, on pose $g(0)=x$ et $g(n+1)=f(g(n))$, et il faut montrer que g est injective. J'avais mis Suppes en ref mais sa démo (correcte) est maladroite : pour montrer que q < p ⇒ g(q) ≠ g(p), il fait d'abord une rec sur p, puis sur q. Van Dalen, Doets et De Swart ne font guère mieux (q ≠ p ⇒ g(q) ≠ g(p), par double récurrence aussi). Je cherche en vain une ref pour la démo de $q<p\Rightarrow g(q)\neq g(p)$, par récurrence simplement sur q (immédiat pour q = 0, et si vrai pour q alors vrai pour q + 1, i.e. $q+1<p\Rightarrow g(q+1)\neq g(p)$, i.e. $q+1<r+1\Rightarrow g(q+1)\neq g(r+1)$, par injectivité de $f$ et hypothèse de récurrence).

Anne, 21/11/16

Ensemble infini E (non fini) ⇒ Injection de ℕ dans E ⇒ E est infini au sens de Dedekind

Bonjour,

Il y a deux points de cet article que j'aimerais discuter:

1)La démonstration proposée sur cette page pour construire une injection de ℕ dans E (un ensemble infini) est très bonne, car elle invoque explicitement l'utilisation faite de l'axiome du choix dénombrable. Comme le but de la démonstration est de prouver que E est infini au sens de Dedekind, il manque peut-être en fin de cette démonstration la partie consistant à expliciter qu'à partir de cette injection, on peut mettre E en bijection avec une de ses parties strictes. Cette dernière étape manque, peut-être car elle est implicitement considérée comme évidente pour beaucoup de lecteurs, mais comme c'est le but ultime de la démonstration (c'est même dans le titre de la partie), j'oserais dire qu'il serait bien de l'ajouter. Je la rappelle au cas où: si (x_n)_n∈ℕ est une suite d'éléments deux à deux distincts de E, alors la fonction f:E→E, telle que ∀n∈ℕ, f(x_n)=x_n+1, et ∀y∈E\∪_n∈ℕ{x_n}, f(y)=y est une bijection de E sur E\{x₀}.

2)J'aimerais soumettre à la critique une démonstration de l'injection de ℕ dans E que j'ai vue dans un livre (Mathématiques Tout-en-un 1ère année PCSI-MPSI, Série E. Ramis, Claude Deschamps & André Warusfel), et qui passe sous silence l'emploi de l'axiome du choix, mais je n'arrive pas à voir comment on peut expliciter l'emploi de l'axiome du choix dans cette démonstration sans profondément la modifier. Je vous serais reconnaissant de toute aide apportée. Voici la démonstration, très simple:

Si E est infini, alors supposons construite une famille (x_i)_0≤i≤n d'éléments de E. Comme E est infini, E\{∪_0≤i≤n{x_n}} est non vide, et on peut choisir un de ses éléments pour définir x_n+1, et ainsi construire une injection de ℕ dans E.

Mon problème avec cette démonstration est le suivant: j'aimerais expliciter l'axiome du choix dénombrable dans cette démonstration, et l'idée qui me vient serait de considérer la collection {E,E\{x₀},E\{x₀,x₁},...,E\{∪_0≤i≤n{x_n}},...}, pour ensuite appliquer l'axiome du choix dénombrable. Or cette collection, pour être bien définie sous-entend déjà la construction de la suite des (x_n)_n∈ℕ, et donc ce raisonnement est un serpent qui se mord la queue. Pour cette raison, j'ai beaucoup apprécié la démonstration de votre article. Néanmoins, existe-t-il un moyen de «réparer», la démonstration du livre que j'ai cité ? Car en effet, sa simplicité est très séduisante: l'argument «E\{∪_0≤i≤n{x_n}} est non vide, et on peut choisir un de ses éléments pour définir x_n+1» est très simple et clair, et il serait commode de pouvoir garder ce genre d'arguments pour d'autres démonstrations, si on arrive à prouver qu'il est valable.

Merci beaucoup d'avance pour votre aide !

L'axiome implicitement utilisé pour ce genre de construction est l'axiome du choix dépendant : on "choisit" à chaque étape un élément, qui dépend des choix précédents. Dans le cas présent, on peut définir sur l'ensemble des parties finies de E la relation R suivante : xRy si x est inclus dans y et si y\x contient exactement un élément. E étant infini, on a bien que pour tout x, il existe un y tel que xRy. L'axiome du choix dépendant nous donne alors une suite (X_n) telle que pour tout n, X_nRX_n+1. En définissant x_n comme étant l'unique élément de X_n+1\X_n, on obtient l'injection voulue. TorkMattar (discuter) 22 novembre 2017 à 11:51 (CET)

Merci pour votre réponse ! J'ai effectivement songé exactement à l'axiome du choix dépendant, qui est, d'après les autres articles, plus fort que l'axiome du choix dénombrable. Et j'avais aussi exactement songé à votre démonstration ! Cependant, j'ai bloqué sur un détail: quand vous dites «E étant infini, on a bien que pour tout x, il existe un y tel que xRy», pouvez vous le détailler ? Comment montre-t-on qu'il existe une partie finie y contenant x ? Je suis sûr qu'on peut dire qu'il existe des parties y de E telles que card(y)=card(x)+1, mais l'argument qu'on a un y tel que x soit inclus dans y m'échappe. A moins encore, de dire que ce y s'obtient par une opération x∪{a} avec a∈E\x, mais cela revient à invoquer exactement ce qu'on veut prouver.--ByteMe666 (discuter) 22 novembre 2017 à 14:21 (CET)

Pour prouver que pour tout x, il existe un y tel que xRy, on fait exactement ce que vous dites : on prend un élément a de E\x (il en existe, car E est infini et x fini) et alors y = x∪{a} convient. Ici, on n'utilise aucune forme de l'axiome du choix, mais juste les propriétés des quantificateurs existentiels/universels. TorkMattar (discuter) 22 novembre 2017 à 14:34 (CET)

Voilà donc la nuance ! Effectivement, avec votre remarque, tout s'éclaircit. Merci beaucoup. Pensez vous qu'il vaille la peine d'illustrer l'usage de l'axiome du choix dépendant, sur l'article wikipédia dédiée à cette axiome, avec un paragraphe synthétisant notre discussion ? Cela permet de montrer une démonstration de niveau premier cycle universitaire abordable par tout le monde de E est infini ⇒ il existe une injection de ℕ dans E, d'illustrer l'axiome, et peut-être d'élargir un peu pour les lecteurs curieux. Je ne sais pas si beaucoup de monde a le réflexe de lire les dicussions dans les coulisses.--ByteMe666 (discuter) 22 novembre 2017 à 15:09 (CET)

En effet, l'article sur l'axiome du choix dépendant est un peu pauvre, il serait intéressant de l'enrichir un peu. TorkMattar (discuter) 22 novembre 2017 à 15:20 (CET)

Alors ce weekend, je vais essayer de prendre un peu de temps pour ajouter la démonstration du livre de MPSI/PCSI que j'ai citée, accompagnée du détail de l'emploi de l'axiome du choix dépendant. Je verrai ce que les personnes chargées de l'entretien et la relecture de l'article sur l'axiome du choix dépendant en penseront. Encore merci et à bientôt.--ByteMe666 (discuter) 22 novembre 2017 à 15:27 (CET)