Discussion:Extension quadratique

Je vois que Jean-Luc est en plein boulot, donc je passe par la Pdd :

• il existe un article/ébauche corps quadratique. Ce n'est pas un doublon, puisqu'il ne concerne que les extensions de Q. Je vois ainsi le découpage entre les deux : l'algèbre dans extension quadratique, l'arithmétique dans corps quadratique, pour faire court.

Je préconise une différence qui me semble plus naturelle, quitte à modifier le titre plus tard : extension quadratique traite de la notion de corps, corps quadratique des anneaux d'entiers quadratiques. La division me semble plus naturelle. Mon idée fait-elle des adeptes ?

extension quadratique traite de la notion de corps, corps quadratique des anneaux d'entiers quadratiques : bah, c'est ainsi que je vois la séparation entre l'algèbre et l'arithmétique. Tu avais compris quoi ?

• penser à la théorie d'Artin-Schreier, au moins dans la section motivation, pour que le lecteur qui veut la caractéristique 2 sache où regarder.

Merci de m'y faire penser, je partage totalement cette opinion. Mon idée est de botter en touche pour avoir un article simple, mais un lien pour ne pas laisser le lecteur démuni.

• je ne sais pas s'il est très judicieux de décrire la construction du corps dans la section cas général. Je proposerais de se placer dans une clôture algébrique. Mes arguments, à discuter, bien sûr : c'est plus court, on fait mieux ressortir ce qui est propre au degré 2 (à savoir la factorisation canonique et toute extension quadratique est extraction de racine), et je ne sais pas trop quel lecteur sera vraiment éclairé par la construction du quotient, qui bloquera sur clôture algébrique (quitte à dire avec les mains, c'est un surcorps qui contient toutes les racines qu'on veut). Salle (d) 20 février 2008 à 19:55 (CET)

Je suis toujours gêné d'utiliser la clôture algébrique pour les petites extensions. Dans le cas général, pour pouvoir construire la clôture algébrique, il faut un savoir bien plus étendu que pour étudier les petites extensions. Maintenant j'imagine que beaucoup de lecteur penseront aux corps quadratiques. Je crains, malheureusement que tu n'ai raison. Jean-Luc W (d) 21 février 2008 à 15:32 (CET)

Je pense que ce problème est plus général que les extensions quadratiques. Je trouve personnellement que ce n'est pas bien d'invoquer l'existence de la clôture algébrique pour justifier l'existence d'un extension intermédiaire. D'autant plus que pour construire la clôture algébrique, soit on invoque le fait que Q est sous-cors de R contenu dans C etc... (en gros on invoque le thm de d'Alembert-Gauss), soit on invoque l'axiome du choix, soit on utilise une limite inductive (je pense qu'ici on sait de quoi je parle) construite à l'aide des quotients pas à pas. Le premier cas est correct mais lourd, le scond invoque un axiome souvent inutile, le troisième cas ça tourne en rond. Donc j'ai personnellement tjs préféré la construction à partir du quotient surtout que quand l'on y réfléchit c'est ce qui s'est passé inconsciemment quand un type a dit je vais rajouter i pour régler le problème de la racine de -1. Mais après si l'on se met à la place d'un type sortant de Terminale ou de prépa parler de quotient ou autre va lui paraitre compliqué alors que R il connait. Tout ça pour dire que je pense que les deux approches devraient être présentes clôture algébrique (C dans les cas particuliers) pour les gens qui découvrent, et quotient d'anneau pour les autres. Noky (d) 21 février 2008 à 16:10 (CET)

Personnellement, je trouve notre Salle national Nietschéin c'est à dire par delà le bien et le mal. Mais c'est une opinion qui n'engage que moi. En revanche, je suis plutôt tendance Noky. Attendons la réponse de Salle. Noky, ton opinion m'intéresse aussi sur le partage corps quadratique couvre les fermetures intégrales et extension quadratique couvre les propriétés que pompeusement on peut qualifier de Galoisienne. Le premier est un article qui se veut simple, le second est plus corsé. Je milite en faveur d'un découpage de cette nature, est-ce justifié ? Jean-Luc W (d) 21 février 2008 à 16:25 (CET)

Je vois pas bien où est le problème. Tels que je les vois, les deux articles m'ont l'air bien. Bon je regrette que le premier ne parle pas de Galois, de groupe d'inertie, de ramifications, de la célèbre formule : degré = inertie * ramification * cardinal (ou n=e*f*g) etc. Mais peut-être faut-il laisser ce sujet à entiers algébriques. Noky (d) 21 février 2008 à 16:40 (CET)

Je modifie l'esprit d'un article, ce qui peut être une bonne chose ou une vue de l'esprit. Voilà pourquoi j'aime bien avoir des avis extérieurs. Avec ce nouveau découpage, le cas particulier du théorème de Kronecker-Weber qui dit qu'un corps quadratique est un sous-corps d'une extension cyclotomique passe dans extension quadratique. Je compte faire un article introductif. Dedekind (facile en dim 2), puis discriminant, forme trace, idéal fractionnaire, les idées de Kummer (tout se passe bien sur les idéaux) puis conclure sur le groupe des unités et un peu d'inertie. Ensuite, il faudra vitaminer sérieusement les articles Anneau de Dedekind, Anneau noethérien, Entier algébrique, Discriminant, Idéal fractionnaire, Ramification, groupe des classes etc... Jean-Luc W (d) 21 février 2008 à 16:56 (CET)

@Noky : oui, clairement, si on s'oriente vers le partage sur lequel Jean-Luc et moi sommes d'accord, et toi aussi apparemment, on ne peut pas mettre la ramification dans l'article extension, puisque c'est une propriété qui porte sur les idéaux, donc sur les entiers. J'en profite pour faire de la pub pour deux trucs qui existent, certainement à faire évoluer aussi, mais auxquels on peut se référer : décomposition des idéaux premiers et décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes (bon, les titres sont ce qu'ils sont).

Sur le paragraphe Cas général/Construction, je crois qu'on s'est compris, et devant ce désaccord irréductible, je quitte wikipedia en claquant la porte. En plus, si c'est pour recourir aux insultes (nietzschéen toi-même !)... Non, j'rigole. Bof, je reste d'accord avec mes arguments ci-dessus. Puisque vous semblez être deux à préférer garder, je préconise au moins de dire d'emblée : cette construction n'est pas propre aux extensions quadratiques, elle se généralise telle quelle à une extension de degré fini quelconque (pourvu qu'un polynôme irréductible de degré adéquat existe), voir anneau quotient. De plus, toutes les extensions finies peuvent aussi être obtenues comme sous-extension d'une extension remarquable, donnée par toutes les racines de tous les polynômes, la clôture algébrique. Voilà, voilà, Salle (d) 21 février 2008 à 18:17 (CET)

Mais peux-tu brièvement exposer ce qui dans ton point de vue est propre au degré deux. (je suppose que tu prouves l'existence grâce à la clôture algébrique), mais c'est quand tu dis « c'est plus court, on fait mieux ressortir ce qui est propre au degré 2 (à savoir la factorisation canonique et toute extension quadratique est extraction de racine) », j'avoue ne pas voir de quoi tu parles (surtout la factorisation canonique). Et je maintiens que je suis pour que l'on fasse cohabiter les deux points de vue, le tien(s?) en premier (du moins l'existence par la clôture) plus pour des questions d'accessibilité que de majorité. Noky (d) 21 février 2008 à 18:36 (CET)

(conflit d'edit avec JL ci-dessous, vu, et ok) Ce qui est propre au degré 2 (toujours parmi ce qui figure dans la section Cas général/Construction), c'est que sur tout corps de caractéristique raisonnable, toute extension quadratique est donnée par extraction d'une racine carrée. Ce n'est pas vrai pour les extensions de degré supérieur. Typiquement, la théorie de Kummer dit que ça marche pour les extensions de degré p sur un corps (commutatif, de caractéristique différente de p) contenant les racines p-èmes de l'unité. Comme tout corps (commut, etc.) contient les racines 2-èmes de 1, on a ce qu'on veut ; mais on peut aussi (surtout le faire avec le petit calcul de factorisation d'un trinôme du second degré qui figure dans l'article. J'espère avoir expliqué ce que j'entendais par la phrase que tu as citée. Salle (d) 21 février 2008 à 18:52 (CET)

J'achète le compromis, on commence par le simple la clôture quadratique pour ceux qui connaissent C, on explique qu'il faudrait sortir l'artillerie lourde pour une solution générale, on quotiente alors et youp la boum. J'ai vu les articles sur les factorisations que je compte bien sur utiliser. Ramification c'est pour corps quadratique, mais dans un article qui se voudrait élémentaire, je ne sais pas si j'irais jusque là. Jean-Luc W (d) 21 février 2008 à 18:46 (CET)

Questions

• Définition sourcée de "Extension quadratique" ? pour savoir si ça veut dire extension par adjonction d'une racine carrée, ou alors n'importe quelle extension de degré 2 (auquel cas il est dommage de se limiter d'emblée à la caractéristique différente de 2, alors que la "Construction" dans le vrai "Cas général" ne coûterait pas du tout plus cher, ce qui n'empêcherait pas de signaler ensuite des propriétés supplémentaires dans le faux cas général)
• Comprends pas, dans § Groupe de Galois : « le corps des complexes est une clôture algébrique des nombres réels. On démontre d'ailleurs que c'est la seule (cf la preuve par la théorie de Galois du théorème de d'Alembert-Gauss) ». Le § invoqué n'est pas clair non plus. Anne, 14 mai 2012 à 23:09
• Que faire du § "Entier quadratique", supprimé là-bas le 16/3/8 et copié-collé en même temps ici ? Là-bas, il était issu d'une traduc de ça, légèrement modifiée entre-temps.

Anne (d) 15 mai 2012 à 10:13 (CEST)

Commentaires et suggestions

La phrase "Il correspond au cas où l'extension est réalisée à partir d'un unique élément dont le carré est combinaison de lui-même et d'un élément du corps de base." est vague.

Sur le moment on ne comprend pas bien : je suggère de dire que son carré est combinaison K-linéaire de lui-même et d'un élément du corps de base K (de fait combinaison K-linéaire de lui-même et de 1). Mais simple façon de paraphraser le degré 2 !

L'unicité est ambiguë : tout élément du corps a cette propriété. L'unicité a lieu (au signe près) si on impose que le carré soit dans K... On veut sans doute dire qu'un seul générateur est nécessaire, mais c'est général (thm élément primitif). Oisans (d) 9 avril 2013 à 11:50 (CEST)

(suite)

Au sujet du § : "Remarque : Le symbole √ porte une double signification. Soit il désigne une fonction des réels positifs vers les réels positifs, soit il désigne la classe de X dans le quotient défini précédemment. La première définition ne peut se généraliser aux nombres négatifs. En effet, –1 n'a pas de racine dans l'ensemble des réels et en possède deux dans celui des complexes. Si l'approche algébrique permet de définir rigoureusement √-1, tel n'est pas le cas de l'autre approche. Pour cette raison, si d est strictement positif, √-d est aussi noté i√-d [il faut écrire i√d], avec i désignant l'unité imaginaire. L'extension est alors identifiée avec un sous-corps des nombres complexes."

D'abord, en théorie de Kummer (avec les racines n-ièmes dans K), on note aussi $\alpha ^{\frac {1}{n}}$, l'une quelconque des racines de $X^{n}-\alpha$. Mais on peut la noter ${\sqrt[{n}]{\alpha }}$, c'est pareil. Donc ${\sqrt[{2}]{-3}}$ est tout à fait correct : on n'est pas dans le cadre de l'analyse réelle où ${\sqrt[{n}]{r}}$ ($r$ réel positif) doit en effet rester dans le cadre radical classique puisque R ne contient pas les racines n-ièmes (le cas $n=2$ étant plus une coïncidence malheureuse sur le plan algébrique).

Par contre, je déplore tout à fait la notation $i{\sqrt {d}}$ pour d>0, car ni $i={\sqrt {-1}}$ ni ${\sqrt {d}}$ ne sont dans $K({\sqrt {-d}})$. Il y a confusion entre analyse et algèbre car on définit le nombre algébrique ${\sqrt {-d}}$ comme produit de 2 nombres algébriques qui n'ont rien à voir. En plus on perd vite le sens lorsque par exemple, sur $K=Q(i)$ on considère l'extension de Kummer $L=K({\sqrt[{4}]{-3}})$ ; faudrait-il écrire ${\sqrt[{4}]{-3}}={\sqrt[{4}]{-1}}$${\sqrt[{4}]{3}}$, avec quoi pour ${\sqrt[{4}]{-1}}$ d'ordre 8, de fait égale à ${\frac {1+i}{\sqrt {2}}}$ , ce qui fait 2 nombres algébriques exotiques (${\sqrt[{4}]{3}}$ et ${\sqrt[{2}]{2}}$), alors que, sauf erreur, L/Q est galoisienne, ${\sqrt[{4}]{-3}}$ étant au choix les nombres complexes indiscernables ${\sqrt[{4}]{-3}}$, $-{\sqrt[{4}]{-3}}$, $i{\sqrt[{4}]{-3}}$, $-i{\sqrt[{4}]{-3}}$. Oisans (d) 9 avril 2013 à 15:19 (CEST)

Notation radicale

Dans une digression de Entier quadratique transférée ici le 22/6/13, on lit :

« Lorsque l'hypothèse « k contient toutes les racines n-ièmes de l'unité » n'est pas vérifiée, la notation radicale n'est pas utilisable car par exemple le corps K = ℚ(³√5) dépend du choix de la racine de X³ – 5 (et en plus le corps K n'est pas galoisien), contrairement au cas kummérien. »

Il est vrai que ℚ[X]/(X³ – 5) n'est pas une extension normale de ℚ, mais il est faux qu'il « dépend du choix de la racine », et je ne vois pas ce qui rendrait pour lui la notation ℚ(³√5) « inutilisable ».

Anne (discuter) 20 avril 2014 à 17:31 (CEST)

Puisque l'extension n'est pas galoisienne sur Q, il y plusieurs corps distincts ; si l'on fixe une racine r (par ex. celle qui est réelle), les autres sont j.r et j^2.r complexes non réelles. Les 3 corps sont isomorphes mais non confondus. Par contre au-dessus de Q(j), les trois corps n'en font qu'un quelle que soit la racine choisie Q(j)(r) = Q(j)(j.r) = Q(j)(j^2.r) . Si l'on veut éliminer l'ambiguité de la notion radicale comme élément de R, on peut faire ce qui précède sur Q(i) qui ne contient pas les racines cubiques de l'unité et considérer ℚ(i)(³√1+i) ; les trois racines sont indiscernables en un sens, mais définissent 3 corps distincts.Oisans (discuter)

J'entends bien, et c'est pour ça que j'avais désigné "ce" corps par ℚ[X]/(X³ – 5), mais je trouve autoritaire d'affirmer que pour lui la notation ℚ(³√5) est « rendue inutilisable », surtout avec le vague « dépend du choix de la racine » (au lieu, comme toi, de « plusieurs copies dans ℚ, isomorphes mais non confondues ») et le confusionnant « et en plus » (avant « le corps K n'est pas galoisien »). Je ne vois pas plus de raison de décréter la notation radicale inutilisable pour ce corps que pour ton ℚ(i)(³√1+i). À moins, bien sûr, d'une source faisant autorité. Anne (discuter) 16 mai 2014 à 19:30 (CEST)