Discussion:Extension simple

Definition des extensions simples

Bonjour,

Telle que c'est defini dans l'article, les extensions simples sont algebriques (puisque contenue dans une cloture algebrique). Dans le cas des extensions algebriques, on n'a pas besoin de Omega, l'element l est juste un element de L. 124.16.148.125 (d) 24 avril 2008 à 07:49 (CEST)

Bonjour

C'est parfaitement juste, pour leur construction, les extensions simples n'utilisent pas de clôture algébrique. En revanche, la notion d'extension simple est, dans d'autres articles, utilisée pour définir les bases de la théorie de Galois. Pour expliciter les propriétés à l'origine du concept d'extension normale, la clôture algébrique est commode. Elle met en évidence un cardinal n, qui, plus tard apparaît comme l'ordre du groupe de Galois de l'extension. Jean-Luc W (d) 24 avril 2008 à 10:13 (CEST)

La cloture algebrique est reportee dans la section "proprietes". L'existence de n homomorphismes est li'e a la separabilite comme c'est indiqu'e. De facon generale, il me semble qu'il y a pas mal de redondance entre les articles li'es a la theorie de Galois. Je ne sais pas si c'est intentionnel ou pas. 124.16.148.125 (d) 25 avril 2008 à 10:24 (CEST)

Si un lecteur clique sur extension simple, c'est peut-être pour une raison liée à la théorie de Galois, la séparabilité le théorème de l'élément primitif etc... Ce sont les notions sous-jacentes qui aident à comprendre cet univers. S'il est un peu néophyte, il risque de ne pas savoir chercher les bons articles dans WP. Voilà la raison des redondances, elles donnent les pistes permettant d'aller plus loin. En revanche, les redondances alourdissent, l'objectif est de les réduire suffisamment pour que l'équilibre soit acceptable. L'intention est d'inclure le bon équilibre de redondance. Jean-Luc W (d) 25 avril 2008 à 12:00 (CEST)

Séparabilité

Divers critères de séparabilité figuraient, avant mai 2011, dans l'article Théorème de l'élément primitif. Comme je les ai mis à leur place (dans l'article Extension séparable), ils n'ont plus rien à faire ici non plus. Hier soir quand j'ai aissaini ici la dernière section, j'ai essayé de les garder sous une autre forme, mais décidément non : ça vient comme un cheveu sur la soupe. Donc je vire. Anne (d) 26 juillet 2012 à 11:12 (CEST)

Modifications de l'utilisateur Maimonid

1. L'introduction dans la phrase introductive de la "théorie de Galois" est vaguement hors sujet. De plus, il s'agit d'uniformiser la phrase introductive avec celles des articles Corps de rupture et Corps de décomposition.

2. Changement de notation l--> alpha: la notation l est non standard, et de plus ressemble au 1 de l'unité. Enfin, il s'agit d'uniformiser les notations avec celles des articles Corps de rupture et Corps de décomposition.

3. Quelques améliorations très mineures.

4. Ajout de la section "Représentation matricielle" + exemples, pour faire plaisir à Dfeldmann qui m'est sympatique.

5. Ajout de la propriété qu'une sous extension d'une extension simple est simple.

6. Suite aux remarques de Proz ci-dessous, ajout de la section Représentation polynomiale qu'il est évidemment important de ne pas omettre.

Maimonid (discuter) 31 mars 2014 à 23:27 (CEST)

Entièrement d'accord pour 1, 2, 3, 5. Pour 4, ne serait-il pas plus simple de remarquer que la matrice compagnon M est la matrice de phi_alpha : x -> alpha.x dans la base cannonique de K[alpha] ? Ca devient assez évident (P(phi_alpha)=phi_{P(alpha)}), pas besoin de diagonaliser (d'ailleurs la matrice l'est-elle forcément (cas non séparable) ? Et il faudrait passer à une extension de décomposition).

Une source serait vraiment appréciable, je crois volontiers que ça puisse être utile en "algèbre computationnelle", mais un lecteur (moi par exemple) aimerais comprendre vraiment pourquoi (uniformiser les calculs ?). Egalement pourquoi parler de repr. constructive ? Une représentation polynomiale l'est tout autant. Proz (discuter) 1 avril 2014 à 21:51 (CEST)

La démonstration toute matricielle m'a paru être plus à porté d'un maximum de gens. Je ne me suis pas arrêté à des détails (tel que le cas inséparable), et il faudrait peut-être ajouter "en supposant pour simplifier que l'extension soit séparable". De même, il n'est pas forcément nécessaire de suprimer la démonstration matricielle pour la remplacer par l'autre: il est possible de l'introduire par une phrase du genre "On peut aussi considérer...". À vous de voir. Je suis d'accord que le terme "représentation constructive" est inapproprié (quoi que l'idée ne soit pas fausse). Il faudrait le remplacer par "représentation alternative à la représentation polynomiale", ou bien carrément l'effacer. Pour ce qui est des sources, je suis bien d'accord, mais je ne me vois pas courir à la bibliothèque pour les chercher (néanmoins soyez sûr que je n'ai pas inventé ces idées). Pour essayer de répondre à votre question, disons que les matrices sont un objet plus tractable pour des programmes tels que Matlab que d'autres objets, sans parler de la simplicité conceptuelle gagnée (les humains sont aussi habitués aux matrices). Je ne suis pas un spécialiste de l'algèbre computationnelle et ne peux vous en dire plus. Malheureusement, avec 5 enfants sur les bras, je n'ai pas vraiment le temps de m'y attarder. J'ai essayé de faire ma part, et laisse aux autres le soin de compléter les lacunes. Maimonid (discuter) 1 avril 2014 à 22:51 (CEST)

C'est quand même plus simple et surtout immédiatement compréhensible en passant par x -> alpha.x, rien n'empêche de parler de matrice (je l'ai dit le plus rapidement possible), et sans les "détails" c'est quand même assez faux (il vous faut aussi passer par une extension qui contient toutes les racines du polynôme). Proz (discuter) 2 avril 2014 à 00:16 (CEST)

Le fait qu'il faille supposer un corps de décomposition, voir même d'un clos algébrique, ne pose à mon avis aucun problème, car c'est le cas d'une quantité d'autres articles du même niveau écrits ailleurs dans Wikipédia. La démonstration que j'ai donnée ne comporte rien de faux, mais elle est inapropriée au cas inséparable, pour lequel une démonstration toute matricielle serait laborieuse. La démonstration que vous suggérez est bien sûr plus simple et plus parfaite pour nous-autres mathématiciens, habitués que nous sommes au abstractions, mais elle ne l'est pas forcément pour les utilisateurs ne possédant qu'un bagage mathématique modéré. Pour avoir enseigné aux étudiants jusqu'à la troisième année, vous ne pouvez savoir combien il est difficile pour eux de jongler entre bases,applications, applications d'applications et matrices. Je me suis néanmoins rangé à votre avis, et ai remplacé la démonstration précédente par la démonstration que vous avez suggérée, en essayant de la mettre le plus possible à portée des étudiants. Maimonid (discuter) 2 avril 2014 à 09:56 (CEST)

Je me demande si quelqu'un n'a pas un script Pyton (ou autre) qui lisserait automatiquement les formules <math>...</math> dans les cas simples, en produisant un fichier avec les formules lissées qu'il n'y aurait plus qu'à coller dans le code. Ou mieux, le script regarderait si la formule <math>...</math> débute par la commande \lissage et essayerait alors de lisser uniquement ces formules. Je pense que pour les cas simples, c'est facile à faire (pour les cas compliqués, le script y renoncerait tout simplement). Parce que ce n'est pas que j'apprécie particulièrement la fonte des formules <math>...</math>, mais le mixage des fontes est encore plus insupportable, et je suis trop âgé (ou trop occupé) pour apprendre une façon de taper les maths autre que TeX/Latex. Maimonid (discuter) 14 avril 2014 à 13:16 (CEST)

C'était le souhait de Dfeldmann que la représentation matricielle soit introduite, et celui de Proz qu'elle soit sourcée. J'ai trouvé par hasard une source en ligne que j'ai ajoutée ; peut-être pas encore le top, mais je crois me souvenir du rayon des livres où j'avais vu cette représentation à la bibliothèque il y a 20 ans. Dans mon passage annuel à la bibliothèque, je pense ramener une source livresque. D'ailleurs, il est presque certain que ça doit se trouver dans Bourbaki.

J'ai encore ajouté la "représentation explicite" d'une extension simple ; je ne me souviens plus si je l'ai vu quelque part ou si je l'ai sortie moi même, mais de toute façon, il est archi-évident que ce n'est pas un TI, donc merci de ne pas sortir les couteaux. je ne dispose malheureusement que de très peu de livres, et travaille la plupart du temps de mémoire (laquelle devient défaillante avec le temps). Mais je passe environ une fois par an à la bibliothèque. Un peu de patience et je ramènerai des sources (et en préciserai d'autres que j'ai placées dans d'autres articles). Maimonid (discuter) 29 juin 2014 à 16:50 (CEST)