Discussion:Fonction Cauchy-continue
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Caractérisation[modifier le code]
J'ai bien envie d'ajouter ceci dans l'article mais je ne trouve pas de source :
Une application f : E → F entre deux espaces métriques est Cauchy-continue si et seulement si elle est uniformément continue sur tout précompact de E.
⇒ : Si f est Cauchy-continue, soit g : Ẽ → F̃ son prolongement continu aux complétés. Pour tout précompact A de E, l'adhérence A dans Ẽ est compacte donc g est uniformément continue sur A, donc la restriction f est uniformément continue sur A.
⇐ : Soit (xn) une suite de Cauchy dans E. L'ensemble P des xn est précompact et si f est uniformément continue sur P alors (f(xn)) est de Cauchy.