Discussion:Formule intégrale de Cauchy

Connexité de U ?

Je ne pense pas que la connexité de U intervienne dans le fait que holomorphe=>analytique. Comme dit dans l'article, l'analyticité est une propriété locale mais cela n'a rien à voir, pour montrer l'analyticité sur U, il suffit de la montrer en chaque point de U .--Tomari (d) 6 janvier 2008 à 16:38 (CET)

Démonstration de la formule

Bonjour,

Dans la démonstration de l'analycité d'une fonction holomorphe (principale conséquence), ne faut-il pas écrire plutôt $\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f(\gamma (\theta ))\gamma '(\theta ).{\dfrac {(z-a)^{n}}{(\gamma (\theta )-a)^{n+1}}}$ (il manquerait donc le terme $\displaystyle \gamma '(\theta )$) pour que l'on puisse passer ensuite à $\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\dfrac {f(\gamma (\theta ))\gamma '(\theta )(z-a)^{n}}{(\gamma (\theta )-a)^{n+1}}}d\theta =(z-a)^{n}\int _{C}{\dfrac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi$ pour chacun des termes de la sommation ?

D'autre part, je crois que pour les lecteurs de l'article, il faut détailler la démonstration de la formule intégrale. Je propose ceci (mais j'ai besoin qu'on vérifie) :

Pour ne pas alourdir inutilement les calculs, on va s'en tenir à un lacet simple $\displaystyle \gamma$ entourant $z\in U$. Soit un disque $D(z,r)\subset U,\,r>0$. son bord $\partial D$ admet le paramétrage $t\mapsto C(t)=z+re^{it}$ avec $0\leq t<2\pi$ ce qui constitue un lacet simple. La fonction $\xi \mapsto {\dfrac {f(\xi )}{\xi -z}}$ est holomorphe sur $U\setminus {\{z\}}$ et l'une des conséquences du théorème de Cauchy est $\displaystyle \int _{\gamma }{\dfrac {f\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int _{C}{\dfrac {f\xi )}{\xi -z}}d\xi$.

Donc $\displaystyle \int _{\gamma }{\dfrac {f\xi )}{\xi -z}}d\xi -f(z)\int _{C}{\dfrac {1}{\xi -z}}d\xi =$ $\displaystyle \int _{C}{\dfrac {f\xi )}{\xi -z}}d\xi -f(z)\int _{C}{\dfrac {1}{\xi -z}}d\xi =$ $\displaystyle \int _{C}{\dfrac {f\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi$. Puisque d'autre part $\displaystyle \int _{C}{\dfrac {1}{\xi -z}}d\xi =2i\pi$ on a $\displaystyle \int _{\gamma }{\dfrac {f\xi )}{\xi -z}}d\xi -2i\pi f(z)=\int _{C}{\dfrac {f\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi$. La fonction $\displaystyle f$ étant continue en $\displaystyle z$, pour tout réel $\displaystyle \varepsilon >0$ il existe $\eta >0$ tel que pour tout $z\in U\quad (|\xi -z|<\eta \Rightarrow |f(\xi )-f(z)|<\varepsilon )$. Pour tout $\xi \in \partial D$ on a $\displaystyle \left|{\dfrac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}\right|={\dfrac {|f(\xi )-f(z)|}{r}}$ et en choisissant $\displaystyle r<\eta$ on a $\displaystyle \left|{\dfrac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}\right|<{\dfrac {\varepsilon }{r}}$ d'où $\displaystyle \left|\int _{C}{\dfrac {f\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi \right|<$ $\displaystyle \int _{C}\left|{\dfrac {f\xi )-f(z)}{\xi -z}}\right|d\xi <$ ${\dfrac {\varepsilon }{r}}\times 2\pi r=2\pi \varepsilon$. Le choix arbitraire de $\varepsilon$ prouve finalement que $\displaystyle \int _{\gamma }{\dfrac {f\xi )}{\xi -z}}d\xi -2i\pi f(z)=0$.

Lanh (d) 22 avril 2011 à 14:29 (CEST)

Démonstration, commentaires

Deux commentaires :

1. La démonstration de l'article faisant intervenir la fonction $g$ me paraît mal venue ! En effet, on démontre qu'elle est holomorphe par le biais de la dérivée seconde de $f$... Or on ne sait pas encore que $f$ admet une dérivée seconde car on ne sait pas encore que $f$ est analytique...
   
2. La démonstration proposée ici en discussion me paraît bonne (et ne fait intervenir que la continuité de $f$ au lieu de la dérivée seconde ! ...hormis bien sûr l'intégrale nulle sur un lacet). Cependant, l'écriture suivante demanderait peut-être quelques commentaires :

$\displaystyle \left|\int _{C}{\dfrac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi \right|<$ $\displaystyle \int _{C}\left|{\dfrac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}\right|d\xi$

En effet, la technique de majoration d'une intégrale complexe par majoration de l'intégrande (provient du fait que l'intégrale est une limite de somme à laquelle on applique l'inégalité triangulaire...) ne supporte pas bien cette notation et il vaut mieux l'évoquer par une phrase du style "Or on sait que le module d'une intégrale complexe sur un chemin $\gamma$ peut être majoré par une majoration du module de l'intégrande sur $\gamma$ multipliée par la longueur du chemin." On peut aussi revenir au changement de variable $\xi (t)=z+r.e^{it}$ pour se ramener à une intégrale sur le paramètre $t$ ce qui est sans doute plus simple dans les notations.

--Fabrej0 (d) 19 mars 2012 à 19:40 (CET)

Il manque une hypothèse!

Attention, sauf erreur de ma part, le théorème est faux tel quel. Il faut, par exemple, supposer U simplement connexe. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 78.227.79.96 (discuter), le 27 mars 2012 à 06:52.

En effet ! (et ok avec section 1 ci-dessus). J'ai donc remplacé « connexe » par « simplement connexe », mais vite fait et sans relire l'article ni étudier les sections 2 et 3 ci-dessus. Si vous voyez d'autres améliorations à faire, WP:NHP ! Anne (d) 27 mars 2012 à 21:22 (CEST)