Discussion:Groupe libre
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Définition incorrecte[modifier le code]
Cette définition : "Soit encore, un groupe G est dit libre s'il existe un sous-ensemble S de G tel que chaque élément de G puisse être écrit d'une unique façon sous la forme d'un produit d'un nombre fini d'éléments de S et de leur inverse." me semble incorrecte. Il faut encore préciser qu'un élément et son inverse ne peuvent pas se suivre dans le produit en question, sinon l'écriture n'est jamais unique (si S est non vide). Par exemple, si x est un élément de S, x s'écrit xx-1x et aussi xx-1xx-1x. Marvoir (d) 1 décembre 2010 à 16:27 (CET)
- Ici, comme récemment dans limite projective, tu pourrais àmha te dispenser de passer par la PdD. Anne Bauval (d) 2 décembre 2010 à 21:33 (CET)
- Le problème, c'est qu'une intervention dans un article en appelle souvent d'autres et que j'aurais donc besoin de me replonger dans mes manuels (il y a longtemps que je ne me suis plus occupé de groupes libres). Je corrigerai peut-être l'article Groupe libre, mais seulement après avoir fini de revoir les groupes divisibles, auxquels je souhaite consacrer un article. Bien sûr, je n'ai pas d'objection à ce que quelqu'un me devance, soit pour les groupes libres soit pour les groupes divisibles. Marvoir (d) 3 décembre 2010 à 12:00 (CET)
Sous-groupes normaux[modifier le code]
À quelle condition a-t-on : FS est isomorphe à un sous-groupe normal de FS' ? C'est vrai pour S = ℕ et S' = 2 mais est-ce vrai pour S = 2 et S' = ℕ ? (question liée à mon ajout de ce matin dans Sous-groupe). Anne (d) 7 avril 2013 à 13:46 (CEST)
- La condition générale est que divise (avec la convention que le cardinal de ne divise que lui-même et zéro), en particulier n'a pas de sous-groupe distingué finiment engendré. La nécessité de la condition est facile à voir en interprétant les groupes comme groupes fondamentaux de graphes et en utilisant la multiplicativité de la caractéristique d'Euler. C'est aussi facile de construire des sous-groupes normaux ayant l'indice voulu (par exemple topologiquement avec des revêtements cycliques obtenus en "dépliant" un cycle), en fait il y en a plein (ils correspondent aux familles génératrices de groupes ayant le cardinal approprié). J.R. 10 mai 2017 à 10:47 (CEST)
