Discussion:Homologie (transformation géométrique)

Il faut renommer cet article :

Homologie (transformation géométrique)

En effet, en mathématiques, lorsqu'on parle d'homologie, on pense en premier lieu aux complexes et aux groupes d'homologie !

à améliorer

Je trouve que cette page est en complet désordre, mais je ne sais pas quel bandeau il faut placer pour appeler à améliorations, ni s'il faut placer ce bandeau dans la page de contenu ou dans cette page de discussion. -Michelbailly (d) 31 mars 2011 à 12:58 (CEST)

L'article est à améliorer, et à sourcer, certainement, mais lu rapidement, il semble utilisable. Je n'ai pas compris les autres bandeaux (ajoutés par une IP). Proz (d) 4 avril 2011 à 22:59 (CEST)

Article à vérifier

J'ai tenté de déchiffrer cet article hier, en vain. En reprenant mes efforts ce matin, j'ai découvert cette modification faite en 2008 qui me semble avoir introduit une erreur. Cependant, un article de maths dans lequel une erreur peut persister pendant 5 années est à prendre avec des pincettes.

Je signale d'autre part qu'il est probablement mal fait car cherchant à déterminer à quoi correspond le rapport d'une homologie projective, je ne l'ai pas trouvé dans l'article et c'est le dictionnaire Larousse qui m'a donné l'information éclairante : selon Larousse, le rapport de l'homologie est le birapport des points OIMM' où O est le pole (ou centre) M un point M' son image et I le point d'intersection de (OM) avec la base.

Cependant cette définition du rapport me semble en contradiction avec l'expression analytique qui figure dans l'article (après une modification effectuée plus de 6 ans après la création de l'article) : les deux rapports sont alors inverses l'un de l'autre.

J'ai donc corrigé ce qui me semble une erreur mais ne peut pas aller plus loin par manque de recul. HB (discuter) 6 octobre 2013 à 09:47 (CEST)

Une remarque : le birapport est parfois l'inverse de celui donné dans birapport (définition qui reste de loin la plus courante je crois), c'est ce que fait Bourbaki, dixit Fresnel méthodes modernes en géométries, qui suit Bourbaki. Proz (discuter) 6 octobre 2013 à 19:48 (CEST)

J'ai l'impression que le problème numéro 1 est un choix terminologique et de notations pas forcément les plus standards, là l'absence de sources pèse car on ne sait pas d'où ça vient. Ca me semble au minimum assez rare de parler d'homologie pour des applications vectorielles ou affines, par exemple. Pour le birapport de l'homologie, peut-être est-ce une erreur, peut-être une choix divergeant. Je ne connais pas non plus "complétée projective" pour une application affine. Proz (discuter) 6 octobre 2013 à 22:00 (CEST)

Proposition de plan

Si j'arrive à dégager assez de temps, je proposerais bien de reprendre en commençant par une approche géométrique (par la construction de l'image, le centre l'axe un point hors de ceux-ci et son image étant connus) des homologies du plan. On peut récupérer à peu près tout sauf la partie sur les homologies vectorielles - affines qui me semble une terminologie peu usuelle, donc en se restreignant au projectif. Source : Ladegaillerie, éventuellement Fresnel. Proz (discuter) 7 octobre 2013 à 20:08 (CEST)

Ça m'ennuie toujours de supprimer quelque chose sous prétexte que j'ignore son existence, mais sans source je ne vois pas comment faire un article fiable donc je te suis sur cette voie. Je signale que Tauvel (Géométrie, Dunod) consacre 2 pages aux homologies (p 186-188) qui sont pour lui toujours des homographies de l'espace projectif et présente le lien qui existe entre homologie et transvections et dilatations. Si on supprime le terme d'homologie dans le cas vectoriel il faudra quand même garder ce lien. Concernant le rapport de l'homologie dans le cas où S est distinct de H, d'après mes calcul (je suis repassé à la dilation de l'espace vectoriel associé à l'espace projectif, dilatation induisant l'homologie), le rapport a de la dilatation correspond bien, selon moi, au birapport classique MS/MI : M'S/M'I. Seulement voilà, ce ne sont que des calculs faits par quelqu'un qui découvre la notion et qui a pu se tromper, il faudrait pouvoir trouver une source fiable. HB (discuter) 7 octobre 2013 à 22:12 (CEST)

Bien-sûr il est indispensable de conserver le lien (en parlant de dilatation et transvection). Le fond du problème que tu a soulevé est je crois que l'article définit le rapport à l'inverse de ce que tu as lu (et que je lis également), il prend le rapport de l'homothétie dont l'homologie est le prolongement projectif en plaçant la base à l'infini. Le birapport devient SM/SM' (I à l'infini), et l'inverse du rapport de l'homothétie. En prenant S à l'infini le birapport est IM'/IM et là on retrouve bien le rapport de la dilatation (on est dans un hyperplan parallèle au sev propre associé au rapport de la dilatation (droite correspondant au sommet, I, M et M' sur une droite parallèle à celle-ci). Donc il y a bien une incohérence dans l'article, et ça devient cohérent en prenant la définition du rapport (je lis aussi birapport) de l'homologie que tu proposes (et que je trouves également) et en corrigeant à cet endroit. Il vaudrait mieux définir le rapport directement de façon projective de toute façon.

Dans les choses que je n'ai pas dans les sources que j'ai citées (je n'ai pas Tauvel) :

1. homologies vectorielles affines (là franchement on a un autre vocabulaire assez standard, transvection, dilatation (géométrie), affinité (mathématiques))
2. complétée projective d'une application affine (on s'en passe , on peut le dire autrement, prolongement ...)
3. homologie spéciale/générale (de plus suivant les livres les élations sont ou non des homologies, c'est à signaler)
4. homologie biaxiale

Au niveau du contenu, il y a déjà pas mal de choses correctes et utiles. Tel qu'il est, le parallèle absolument pas clair avec la perspective des peintres me semble plus troublant qu'autre chose, c'est quand même autre chose. Je ne suis pas trop convaincu par le § "Homologie par perspective" (peut se traiter sans parler de géométrie Euclidienne, changement de perspective). Source, il y a aussi un exercice détaillé dans le bouquin en préparation de Daniel Perrin (partie 1 http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Livre_de_geometrie_projective.html). Proz (discuter) 8 octobre 2013 à 10:33 (CEST)