Discussion:Inégalité de Huygens

Pourquoi une note historique ?

parce que donner l'inégalité sans autre commentaire est plutôt surprenant.

Arrivée sur la lecture de cet article par hasard, je me suis demandée pourquoi f(x) = x - 1/3 ( 2 sin x + tan x ) était digne d'intérêt ? f(x)/x^5 , oui, au voisinage de l'origine ! surtout vers 1680 !

Le nom de Huygens aussi m'a intriguée : on sait Huygens assez suspicieux par rapport au calculus.

On sait aussi qu'il a reçu le Traité de la Roulette de Dettonville en 1659, et qu'il a su développer les considérations sur (x-sin x) à ce propos ( rappel : il est en 1659 le créateur du mouvement isochrone ! ).En 1660, on est au début des d.l. ( développements limités ), et donc la limite de f(x)/x^5 est intéressante à l'époque. Je pense que c'est ce qui a dû inciter Huygens à étudier cette inégalité,

mais où se situe cette démonstration dans ses oeuvres ? Dès que je trouve, je l'indique : cela manque à l'article ...

wikialement sylvie --Guerinsylvie (d) 12 juillet 2010 à 11:21 (CEST)

Le De Circuli 1654

--Guerinsylvie (d) 14 juillet 2010 à 10:29 (CEST), Bonjour, voilà la recherche est terminée et pour ma part, la messe est dite : Huygens n'a pas écrit, que je sache, la démonstration citée ( c'est à dire en prenant la dérivée de f(x) ). Et pour cause : il était assez suspicieux vis à vis du calculus. Par contre, il s'est intéressé vers 1650 ( et il publiera en 1654 le De Circuli ) à la quadrature du cercle, ce qui aboutit à chercher, comme Viète, des "formules pour Pi". deCuse, Snell, GrégoiredeStVincent, ...etc. la liste est longue.Il va y avoir Wallis, Brouncker, Gregory,...jusqu'à Machin, Euler , ...Ramanujan,...spigot-Plouffe.

Pour des versions modernes de cette inégalité, j'ai trouvé intéressant : Mitrinovic, Sandor, Qi, Zhou , Mortici, Brezinski, Osterby entre autres...

wikialement, sylvie --Guerinsylvie (d) 14 juillet 2010 à 10:29 (CEST)

Suggestion de re-rédaction

--Guerinsylvie (d) 15 juillet 2010 à 13:36 (CEST), après hésitations, voici une suggestion timide ( ça ne vole pas très haut ... ):

article

¤¤¤

L'inégalité de Huygens est un résultat mathématique établissant que, sur l'intervalle $\left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[$ de $\mathbb {R}$, l'inégalité suivante est vérifiée : $3x\leq 2\sin x+\tan x$.

démonstration de l'inégalité de Huygens par utilisation de dérivée

Soit f fonction qui à tout x de $\left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[$, associe $f(x)=2\times \sin {x}+\tan {x}-3x$.
Comme somme de fonctions de classe C_∞ sur l'intervalle considéré, f est continument dérivable une infinité de fois sur ce même intervalle.
La fonction dérivée de f est la fonction f' qui à tout x de l'intervalle considéré associe : $f'(x)={\frac {2\cos ^{3}x-3\cos ^{2}x+1}{\cos ^{2}{x}}}$.
Sur l'intervalle considéré, les inégalités suivantes sont vérifiées : $\forall x,\cos ^{2}x>0$ et $\forall x(\cos x-1)^{2}(2\cos {x}+1)\geq 0$.

Donc, $\forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,f'(x)\geq 0$ et la fonction f est croissante sur l'intervalle considéré.
On remarque l'égalité : $f(0)=0$ donc, par conséquent : $\forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,f(x)\geq 0\Leftrightarrow \forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,2\sin x+\tan x\geq 3x$

note : Actuellement, on connaît beaucoup de formules de ce genre, plus précises ; par exemple celle-ci :

$1\geq {\frac {20}{3}}f(x)\cdot {\frac {\cos x}{x^{5}}}\geq 1-{\frac {x^{2}}{7}}$

 

note historique : en quoi cette inégalité est-elle importante ? dans la mesure où dans l'intervalle on a : $\sin x\leq x\leq \tan x$ , l'encadrement de Cusa-Huygens représente une "meilleure" approximation :

$3\sin x\leq {\frac {3\sin x}{{\cos x}^{1/3}}}\leq 3x\leq 2\sin x+\tan x\leq 3\tan x$

Nul doute que ce genre de volonté de minorer-et-majorer-au-mieux est une source importante de la création de l'analyse.

en savoir plus

Appliqué à x = Pi/n, cet encadrement sert à améliorer la méthode d'Archimède (pour calculer Pi). En fait, Snell(Cyclometrica 1621) possède déjà cette formule et bien sûr celle de Nicolas de Cuse(de Mathematica perfectione :1512). Huygens est donc très pressé de publier son ouvrage "de Circuli" (1654), car il sait que le sujet ( la quadrature du cercle est dans l'air du temps, via le travail de Grégoire de Saint-Vincent(publié en 1647 seulement,Opus geometricum quadraturae circuli), et il ne veut pas se "faire doubler". Aussi bien, la démonstration ci-dessus est-elle postérieure à Huygens(1654, De circuli), bien que Huygens dans des travaux ultérieurs sur la cycloïde ait donné des calculs impliquant des dérivées ( ne pas oublier que la création du calculus est vers 1670 !).

La démonstration qu'on peut tirer du "De Circuli" est assez astucieuse et se réfère à une inégalité d'aires, itérée. On pourrait dire que cela revient à comparer un onglet parabolique et un onglet circulaire ( plus tard, Huygens poursuivra cette idée avec un onglet cycloïdal ).

Et si l'on essayait de traduire l'idée de Huygens en analyse ( procès d'intention ? ), il faudrait peut-être dire : Huygens avait constaté géométriquement que f(x) = 2 sin x + tan x - 3x était infiniment petit du 5ème ordre, positif, x^5(-2/120 +2/15). D'où l'idée suivante en analyse : soit S5(x) = sin x - x + x^3/6 et T5(x) = tan x - x -x^3/3, trouver un minorant positif de 2S5(x) +T5(x), par exemple du type x^5(-2/120 +2/15) - A. x^7, avec A convenablement choisi. On n'aura pas de mal à le faire puisque l'on connaît aujourd'hui le développement en série de tan(x) et de sin(x).

Il existe de nos jours des dizaines d'encadrements "voisins" de celui de Cusa-Huygens

 

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Catégorie : naissance du calcul infinitésimal

Corrélats : analyse numérique ( Richardson-Romberg,Aïtken ), calcul de Pi.

remarques HB

Quelques remarques.

• D'abord merci pour l'alerte sur ma page, ainsi que le lien vers le De circuli. La démonstration purement géométrique de Huygens vaut effectivement le détour. J'aime particulièrement sa méthode pour démontrer que l'aire du triangle formé par une corde et deux tangentes est au moins une fois et demi plus grande que l'aire de la portion de cercle qu'il enferme.
• Suite à la remarque sur ta page de discussion, j'ai concu un dessin pour lier cette inégalité au cercle.
• Concernant cette proposition de rédaction, pourquoi pas la mettre en ligne mais les boites déroulantes ne se justifient pas. En revanche, je pense qu'il faudrait que tu sois beaucoup plus prudente dans le style ( exclamation, adjectif laudatif, mais je peux affadir, tu ne vas pas aimer mais cela est nécessaire) et dans les interprétations : c'est toi qui penses que Huygens craint de se faire doubler(à moins que tu aies une source pour dire cela ?) ainsi que dire que Huygens a constaté que 2sin x + tan x - 3x est un o(x^5), cela me parait une sur-interprétation.
• Sur le rôle de Cusa, j'aimerai bien des sources car je n'ai vu nulle part qu'il ait démontré l'inégalité de droite, quant à celle de gauche j'aimerais des références car j'en trouve d'autres dans la littérature.

• (c'est dans l'article de Mortici, non ? )

il me semble qu'aucune des inégalités de l'article de Mortici ne se ramène à celle dite de Huygens. Celle qui fait intervenir la racine cubique de cos(x) conduit, me semble-t-il, à un majoration de x (et non une minoration), majoration démontrée dans le De circuli Théorème XI (la circonférence du cercle est plus petite que la plus petite des deux moyennes proportionnelles des périmètres des polygones inscrits et circonscrits)mais ce n'est pas l'inégalité dite de Huygens - HB (d) 15 juillet 2010 à 17:01 (CEST))

• Concernant le portail, je partage ta réticence, l'inégalité de Huygens, ce n'est pas de l'analyse, même si on peut le démontrer par l'analyse et je serais d'avis de supprimer le portail

• Oui ! la WP n'a pas pris suffisamment en compte la structuration, l'arborescence, la corrélation des articles ; on y perd énormément par rapport à la scholarpedia par exemple ; il faudrait aussi lister des corrélats ! C'est ce qui m'a ( entre autres choses ) fait prendre du recul.

Merci encore pour tes recherches bibliographiques qui m'ont fait passer un agréable moment. -HB (d) 15 juillet 2010 à 15:48 (CEST)

--Guerinsylvie (d) 15 juillet 2010 à 16:21 (CEST)

• Bien !
• il était donc prudent en effet que je ne "publie" pas : ce qui m'intéressait est : pourquoi Ce Choix ( deux .sinx + tan x) ? et je pense VRAIMENT que Huygens a "intuité" que les termes en x^3 s'éliminait ( je ne pense pas qu'il avait trouvé ( -2/120 +2/15) ! je me suis mal exprimée). LA notion importante, à mon sens, était de placer la remarque de Dieudonné : il faut encadrer-au-mieux.
• Bien, restons-en là! Car la deuxième "amélioration" que je proposais était : cacher la démonstration. Et vous n'en êtes pas partisane non plus. Donc laisse ber-tom.
• merci pour cette diligente réponse.

À propos du portail, je ne crois pas que ce soit le procédé de démonstration qui caractérise le domaine, mais plutôt l'énoncé du résultat. Quand bien même Huygens aurait démontré ce résultat géométriquement, cela reste un encadrement de fonctions, non ? Je ne vois pas bien à quel domaine vous pouvez le rattacher si ce n'est pas de l'analyse. De la géométrie ? De la théorie des nombres ? En fin de compte, je ne tiens pas particulièrement à ce que cet article reste fidèle au portail de l'analyse, en revanche je tiens à comprendre votre argumentation. Ambigraphe, le 15 juillet 2010 à 22:35 (CEST) P.S. : ne croyez-vous pas que la discussion serait plus agréable si vous ne l'enfermiez pas dans des boites ?

peut-être la trigonométrie? Ainsi Zhu ici appelle inégalité du type Huygens des inégalités touchant les fonctions trigonométriques et hyperboliques. Pour moi, c'est le type même du sujet transversal : la motivation de l'inéquation est purement géométrique puisqu'il s'agit de la quadrature du cercle et la première démonstration en est géométrique. Le dessin qui est en préparation illustrera d'ailleurs l'inégalité sous sa forme géométrique. Mais, comme pour la quadrature du cercle, le souci géométrique débouche sur un résultat et des méthodes qui touchent à l'analyse (encadrement de fonction, dérivée, DL). Je trouve personnellement le portail mathématique plus adapté pour ce type de sujet mais si tu penses que l'analyse est prépondérante, je te laisse garder le portail analyse. HB (d) 15 juillet 2010 à 23:50 (CEST) P.S. : j'ai enlevé la boiboite

Oui, il s'agit bien sûr de trigonométrie, qui est effectivement un domaine transversal comprenant le théorème d'Al Kashi, résolument géométrique, et les séries trigonométriques, assez nettement du côté de l'analyse. Un article comme « Fonction trigonométrique » relève à mon avis des deux : à la fois relation géométrique et fonction numérique. Sans doute ne vois-je pas assez pour l'instant l'angle géométrique sous lequel peut être vu cet article, même si j'ai bien compris qu'il est à la fois conséquence de considérations géométriques et lemme pour un résultat à la limite entre géométrie et théorie des nombres.

Pour mieux éclairer mon avis, je peux évoquer le théorème de Brouwer, indubitablement topologique, qui peut être démontré analytiquement par une approximation par des fonctions lisses, ou à l'aide du lemme de Sperner en combinatoire. Un lemme et son utilisation n'appartiennent pas forcément au même domaine. Ambigraphe, le 16 juillet 2010 à 07:44 (CEST)

--Guerinsylvie (d) 16 juillet 2010 à 14:00 (CEST) pour Ambigraphe : "c'est quoi une boîte ?" et comment fait-on pour écrire aussi petit ? Ceci dit , je reviens au sujet et je vais exagérer : si on me parle d'Archimède et si on classe l'article en Topologie différentielle, je trouverais que cela fait un peu anachronique. Etant spécialisée en histoire des sciences, il se trouve que "inégalité de Huygens en analyse" m'a fait tiquer. Voilà , et c'est tout.

La boite dont je parlais était la {{boite déroulante}} apposée par toi sur la remarque de HB.

Pour écrire tout petit, il suffit d'encadrer le texte à réduire avec les balises <small> et </small>.

En ce qui concerne le rapprochement entre Huygens et l'analyse, je ne demande qu'à comprendre tes réticences. Il y a sans doute quelque chose qui m'a échappé pour que l'incongruité te semble manifeste et que je ne la voie pas.

Ta comparaison avec Archimède et la topologie différentielle ne m'éclaire pas, parce que je ne vois pas trop quel résultat d'Archimède aurait à voir avec ce domaine. Ambigraphe, le 16 juillet 2010 à 17:03 (CEST)

--Guerinsylvie (d) 20 juillet 2010 à 20:09 (CEST)Bonjour, pour Ambigraphe : Huygens est mort en 1695 ; s'il a initié Leibniz, parisien en 1672, à l'analyse-balbutiante ( Newton publie en 1669), il est assez réticent à l'analyse. Donc cela m'avait fait suspecté qu'il avait plutôt démontré l'inégalité via la géométrie. Effectivement, l'inégalité est démontrée dans le "deCirculi" de 1654 , comme démonstration d'une conjecture de Snell.

pour HB et Ambigraphe : l'origine de cette conjecture me paraît être une remarque sur les aires : depuis Archimède il est connu ceci : soit la parabole y = x²/2p arrêtée au point M et H = (x,0) ; depuis Archimède, on sait que l'onglet parabolique =1/3.aire (OMH). L'idée est de "confondre" l'onglet parabolique et l'onglet circulaire, dans un premier temps ; puis d'effectuer la majoration. Pour des raisons d'écran, je change de paragraphe.

démonstration géométrique

--Guerinsylvie (d) 20 juillet 2010 à 20:54 (CEST) Bonjour, admettons connue l'inégalité entre onglet discal et onglet parabolique. Alors construisons le point C(0,1) , le point T (tan x, 0), le point M sur le cercle : (sin x , 1- cos x) : l'inégalité s'écrit : l'aire de l'onglet discal est légèrement inférieure à 1/3 de l'aire du triangle (0MT); en effet, aire onglet = (x-sinx)/2 et aire OMT = (tan x -sin x)/2. Et c'est bien ce que va démontrer Huygens par majoration ( avec la méthode d'Archimède), de l'aire de l'onglet par "l'aire parabolique" [Huygens somme des aires de plus en plus petites qui à la limite vont donner l'onglet ]. Voir la référence deCirculi donnée.

Que tu l'interprètes en termes d'aire, c'est ton choix mais ce n'est pas celui de Huygens. Le théorème qui'il démontre en faisant des somme d'aires de plus en plus petites est le théorème 4 p 126, mais ce n'est pas le tien. Huygens y démontre que l'aire de l'onglet discal est inférieur au 2/3 du triangle formé par la corde et les deux tangentes soit avec tes notations le triangle OMT' avec T'(tan(x/2),0). Huygens alors est loin d'avoir démontré le théorème (théorème 9 p 136). Il lui faut encore un autre théorème (théorème 6) sur des aires puis le théorème 8 explicitement sur des longueurs avant d'énoncer le théorème 9 toujours aussi explicitement sur des longueurs.

Mais plus prosaiquement, autant j'ai apprécié de lire la démonstration de Huygens, autant il ne me semble pas judicieux de la présenter dans cet article surtout si toi et moi ne l'interprétons pas de la même façon: il s'agit d'un TI sur des sources primaires formellement interdit sur wikipedia. Quant à dire que la conjecture est une remarque sur des aires, c'est une opinion qui t'est personnelle que je ne partage pas et qui ne me semble pas étayé par des commentaires du de calculi.

Je pense que l'on peut raisonnablement s'arrêter là dans l'interprétation des sources. Si tu n'es pas d'accord avec mon illustration par des longueurs (même si elle me semble conforme à l'énoncé du théorème 9) je ne me formaliserai pas si tu la supprimes. HB (d) 20 juillet 2010 à 23:39 (CEST)

--Guerinsylvie (d) 30 juillet 2010 à 17:21 (CEST):- Bonjour, j'ai quasi-terminé ma lecture du théorème-4 page-126 pour la faire VOIR simplement, et je ne vais pas m'embarrasser des précautions de Huygens, car je veux en promouvoir l'heuristique. Il s'agit donc d'un commentaire_élogieux sur une oeuvre, et non pas de la reproduction d'une oeuvre. Ce qui est interdit, c'est d'attribuer à Huygens un raisonnement par la dérivée ! ça c'est vraiment un TI ! Ceci dit, je ne vais pas publier cela , mais juste le laisser ici, au cas où :

1. • 1/. Soit un onglet de disque(de centre O), d'angle au sommet x, (donc d'aire Onglet(x) = x/2 -sinx /2 ), de corde AB , de sommet C, de flèche CD, de triangle-inscrit ACB d'aire Ins(x) = sin(x/2) - sinx /2 , de triangle-circonscrit AEB (E désigne l'intersection des tangentes), d'aire Cir(x) = tan(x/2) - sinx /2 ;

1. • /.ET le "chapeau" délimité par la partie de tangente en B qui recoupe les tangentes AE et BE en F et G : l'aire de ce chapeau est Hat(x) = tan(x/2)- 2*tan(x/4).

1. • 2/.Le Th2, p122 de Huygens est : Hat(x) > (1/2)*Ins(x) ( simplement parce que EF >FA).

1. • 3/.Et maintenant il SUFFIT de colorer dans la figure, le chapeau FEG en rose et le triangle inscrit ACB en rouge : il reste DEUX-FOIS la figure-moitié. [ ce type d'argument revient bcp dans les textes de Huygens ].

1. C'est fini : il SUFFIT d'ajouter la kyrielle des chapeaux dans l'inégalité(2). A la limite ( et c'est en ce sens que l'article fait partie de la catégorie : débuts de l'Analyse-mathématique, mais ça n'a rien à voir avec "dérivée", à mon sentiment), Cir(x) - Onglet(x) > 1/2 *Onglet(x) <=> Onglet < 2/3 Cir(x) :

on obtient l'inégalité-bonne de Huygens, que Huygens va "massacrer" [ grâce à 4t= 4 tg(x/2) < sin x + tg x ] en l'inégalité du th 9, p136 : 3x < 2sinx + tanx .

¤=¤

• En physique, ce qui est utilisé est similaire : On trace le "cerf-volant" OAEB. On le coupe en deux cerfs-volant_moitié OAFC et OCGB plus le Hat GEF. Et c'est cette figure qui sert, car la série des Hat(x) +2 Hat(x/2) + ... est une série télescopique.
• Wikialement, sylvie.(merci, HB, pour la correction !)

concavité

--Guerinsylvie (d) 27 juillet 2010 à 19:11 (CEST):- Bonjour,

j'ai repris aujourd'hui la lecture du "de Circuli", th IV, p126 ; et je suis bien d'accord avec H.B. : c'est LA page où l'on fait une sommation infinie ; ie où on fait de l'analyse sans le dire; celle qui est "très jolie".

• Mais en calculant un peu, je trouve que l'inégalité de départ se ramène à : soit f(u) = 4 tan(u/2) + sin u , démontrer que f(u) > 2 f(u/2) :
• et il me semble que pour ce faire, j'ai juste besoin de la convexité de f(u) ?
• Ensuite, est-ce juste de dire que le raisonnement itéré de Huygens est "similaire" de l'itération suivante et "passage à la limite" : f(u) > 4 f(u/4) > 8 f(u/8) ... > 3u ! ce qui démontrerait l'inégalité 3u < sin u + 4 tan(u/2) .
• Enfin, cette inégalité,je le répète, me semble être la "vraie" inégalité. Ecrire ((3u < 2.sin u + tan u)) est juste, mais très ABATARDI puisqu'on majore 4 tan(u/2) largement par (sin u + tan u) dans l'égalité précédente [ l'inégalité ((4 t < sin u + tan u)),elle, est triviale en passant aux arcs moitiés ou par géométrie] ; c'est dommage ! Si je reprends la figure sur laquelle j'avais discuté avec HB, cela revient à ajouter "bêtement" l'aire T'MT ( cela parce que je tiens aux "aires" : c'est plus visuel que les longueurs, pour mézigue). Donc, je persiste : dans la mesure où, au fond, la recherche, c'est toujours trouver ce qui encadre au mieux, trouver mieux que ((3u < 3 tan u)) est certes ((3u < 2 sin u + tan u)) , MAIS ENCORE MIEUX : 3u < sin u + 4 tan(u/2), d'autant que c'est de ce théorème 4 que Huygens est parti, pour arriver à l'inégalité publiée dans la WP! Je remarque aussi que cette inégalité peut aussi se démontrer via la dérivée, bien sûr ; alors pourquoi choisir la moins bonne ? parce que c'est elle qui tombe au bac ? je suis perplexe, sur le rôle de la WP : on accepte de publier le th 9, moins bon que le th 4 ; mais pas le th 4 ! bizarre. ¤¤¤ mais maintenant, j'ai l'habitude : je mets mon petit commentaire en discussion , et je vais planter mes oignons ailleurs.

• Pour HB. , légère préférence pour un dessin sans le petit trait horizontal (il ne m'apporte rien). Mais, c'est super de savoir dessiner. Merci encore.
• Wikialement, sylvie.(PS : que veut dire : T I est interdit dans la WP ? ).

Tes raisonnements sont justes mais s'éloignent peu à peu de ceux de Huygens, utiliser une convexité et un passage à la limite au lieu de la dérivée pourquoi pas, mais c'est seulement plus compliqué que la dérivée tout en étant plus simple que le raisonnement de Huygens.

Je ne crois pas que WP ait décidé de nommer cette inégalité inégalité de Huygens, WP ne fait que présenter l'état des connaissances. Il est vrai que peu de documents accessibles étiquettent cette inégalité comme inégalité de Huygens (un livre de math de TS, cet article autre ?). La faiblesse des sources peut effectivement remettre en cause la validité de cette appellation mais ce n'est pas moi qui me lancerai dans cette remise en question car j'ai déjà trop travaillé sur ce sujet.

Le véritable trésor que tu as apporté à cet article est d'avoir trouvé dans quel ouvrage l'inégalité apparaissait (parfois les propriétés sont attribuées à des mathématiciens qui n'en sont même pas les auteurs). Il s'avère que dans cet ouvrage Huygens prouve de nombreuses inégalités. Toi comme moi trouvons que la plus belle est l'inégalité du Théorème IV, mais lui attribuer le nom d'inégalité de Huygens serait pour le coup un TI (travail inédit que je traduirais plus en interprétation personnelle).

Pourquoi, Huygens continue-t-il après le th IV en proposant, dans le th IX, une inégalité moins bonne ? Mon opinion personnelle (qui ne peut donc figurer dans l'article) est que son but était de démontrer le résultat de Snellius [1]. D'autre part, l'inégalité du th IV, meilleure dans l'absolu, se révèle moins efficace en terme de calcul pour un faible gain: calculer 2sin(pi/48)+tan(pi/48) se révèle moins lourd que de calculer sin(pi/48)+4tan(pi/96) (4 division de pi/3 par 2 au lieu de 5). Enfin, si on devait respecter à la lettre l'opinion de Huygens c'est le th XI. que l'on devrait appeler théorème de Huygens car c'est celui-là que Huygens préfère à tous les autres [2]. Maintenant, d'après la préface, les résultats les plus efficaces obtenus par Huygens sont issus de considérations sur les centres de gravité qui donneraient le théorème XVI. Comme quoi des goût et des couleurs... HB (d) 28 juillet 2010 à 11:12 (CEST)

--Guerinsylvie (d) 28 juillet 2010 à 12:30 (CEST) :- Bonjour, OUI, VOUS AVEZ ABSOLUMENT RAISON . J'apprécie grandement votre discours.

• je réponds rapidement : Oui, juste après avoir écrit ma remarque précédente sur "concavité", je me suis aperçue que je disais une "bêtise dans le contexte" : effectivement vous avez raison, et je me sens ridicule, mais merci de m'avoir "déssillée" : si j'ai bien sûr raison d'écrire que : $3u\leq sinu+4tan(u/2)\leq 2sinu+tanu$, j'ai eu tort de m'en indigner puisqu'aussi bien, dans le contexte du "deCirculi", il s'ensuit immédiatement une pseudo-meilleure  :

$3u\leq 4\cdot sin(u/2)+2\cdot tan(u/2)\leq 2\cdot sin(u/2)cos(u/2)+4\cdot tan(u/2)(...et\leq 2sinu+tanu)$ :

ON N'AVAIT PAS LE "DROIT" de combiner dans l'inégalité l'arc u avec de plus petits arcs que u. Car au fond le but est de calculer Pi le plus vite possible. Ayant oublié ce contexte, j'ai écrit des "naïvetés" stupides. Merci de me l'avoir fait comprendre.

• qd j'ai un peu de temps, je lis ce que vous me proposez.
• PS. J'ai lu l'article Textes inédits ; oui, c'est exactement ma confusion des années-2005 ; c'était le temps où il y avait des articles : {article pomme : une pomme est un fruit}. La catégorie physique était exsangue et pourrie de fautes. J'ai donc rédigé pas mal d'articles, mais hélas, en les faisant les plus modernes possibles ("à mon sentiment" et en l'indiquant). Tous ont, à juste titre, été classés " à recycler". Cinq ans après, ils le restent pour la plupart ! Mais je retrouve certains de mes anciens articles dans des WP étrangères, parce qu'ils ont plu ailleurs ; je trouve l'idée de la WP géniale, mais son développement me stupéfait . Heureusement qu'il y a des gens comme vous, qui éclairent leur jugement. Merci. Wikialement, sylvie.
  • Voilà, --Guerinsylvie (d) 28 juillet 2010 à 13:21 (CEST) :- je viens de regarder vos références (curieusement, j'étais en train de recopier la page 95, au moment où j'ai lu votre réponse !) : p95, p97, p150, p169. OUI, c'est OK. Je vais continuer à lire le deCirculi( mais c'est un peu pénible à l'écran !) et continuer d'en faire la transcription en trigo pour ma petite fille.

Pour ce qui est du Sandor, j'y retrouve l'inégalité que je croyais être de deCuse : [sin(u)/ u ]^3 comparé à cos u . Le problème, et c'est le même avec Wilker, c'est que, si l'on se met à avoir des "puissances", on a une foultitude de formules ( [3] ). D'autant que sin(u)/u est réputée en physique pour sa "thermodynamique". Wikialement, sylvie.

Pi et numérologie

--Guerinsylvie (d) 31 juillet 2010 à 11:40 (CEST):- Bonjour, de manière assez amusante, en poursuivant le raisonnement de Huygens, on retrouve les formules "numérologiques" suivantes : 37/20*sqrt(3) > (64*sqrt(2) + 4)/3 > 32 sqrt(2)*(sqrt(3)-1) +26 -16*sqrt(3). Mais je n'ai pas su retrouver une des plus belles: 1.8 +sqrt(1.8). Tous les chemins ne mènent pas à Rome-Syracuse ! Avec 5 cinq racines (n= 60), on trouve : 3.1415926 93 , Vive la formule de Machin-Euler.¤¤¤ Wikialement, sylvie. Cependant, inquiétude : pour n=60, Huygens dit avoir trouvé (p.122 deCirculi): 3.141592653 (3 ou 8), ce qui est bcp mieux que ce que je croyais avoir amélioré : bug, mais où ? l'article est manifestement insuffisant à cet égard. En fait, mon idée présentement est que Huygens a utilisé "Romberg", idée qui est assez naturelle à tout calculateur : il FAUT utiliser les résultats antérieurs, si on peut les "stocker".¤¤¤ je vais essayer de regarder le DeCirculi plus avant.--Guerinsylvie (d) 31 juillet 2010 à 12:18 (CEST). Un rapide essai sur Maple me donne confirmation (?) : "en corrigeant" : au lieu de 93, je trouve 53 71, là où Huygens dit entre 53 3 et 53 8. OK. Il est donc "clair"(?) qu'il s'agit d'une sorte de développement en série de sin(nx) et tan(nx). Au fond, développer u= arcsin(x) en sin(u)^n ou en sin(nu) ne doit pas être très clair à l'époque. Idem pour v = arctan(x); d'ailleurs bien plus tard, qd Euler, très opportun, fera son calcul avec 1/237 et 1/5, il utilisera "l'astuce" bienvenue du sinus. Ces inégalités de Huygens ne sont pas si in-intéressantes...--Guerinsylvie (d) 31 juillet 2010 à 13:08 (CEST)