Discussion:Inégalité triangulaire

Je ne sais pas si je dois en parler ou pas de la relation ||x+y||<=||x||+||y|| (car ceci est bien une relation d'inégalité triangulaire mais ceci définit la norme)(Si on applique ceci on aurait alors | ||x||-||y|||<=||x-y||

---

Non l'inégalité triangulaire ne dit pas que le chemin direct est le plus court

Explication de la modification que je viens de proposer. La version précédente de la page contient une erreur: "En mathématiques, l'inégalité triangulaire exprime en substance que le chemin direct est le plus court." Ceci est faux car si la fonction de distance mesure la durée d'un chemin (attention on passe de la longueur au temps et on quitte le domaine euclidien puisque ce sont des chemins et non plus des segments de droite du plan) alors un chemin indirect, prenant une autoroute par exemple peut être plus court qu'un chemin direct empruntant des petites routes lentes.

Dans le cadre des métriques, la seule fonction de l'inégalité triangulaire est de garantir le fait que la distance est une mesure minimale. Pour bien enfoncer le clou l’inégalité triangulaire ne dit rien de la forme de la distance et s'applique à toutes les distances, y compris les distances-réseaux très utilisées en géographie. -- AlainLHostis (discuter) 5 septembre 2014 à 14:30 (CEST)

Problème avec la démonstration

Athanatophobos 7 octobre 2018 18:40 CEST

Bonjour, je ne comprends pas très bien la démonstration :

"D'où $\|x+y\|^{2}\leq \|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\|x\|\|y\|$.

Et donc $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$."

Comment passe-t-on de l'avant-dernière ligne à la dernière ? À mon avis, il manque une étape intermédiaire.

Cordialement.

C'est parce que $\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\|x\|\|y\|=(\|x\|^{2}+\|y\|)^{2}$ en utilisant une identité remarquable donc on se retrouve avec $\|x+y\|^{2}\leq (\|x\|^{2}+\|y\|)^{2}$ d'où le résultat en prenant la racine carrée. Je vais rajouter ça pour que ce soit plus clair. --Valvino ^(discuter) 7 octobre 2018 à 18:45 (CEST)