Discussion:Interpolation polynomiale

Matrice : notation

Il me semble que les matrices devrait être notés avec des parenthèses "()" et non des crochets "[]". J'attends vos réactions et éventuelles confirmation. exemple : ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

--Ribeyren (d) 14 octobre 2008 à 08:18 (CEST)

par convention les matrices sont notées entre parenthèse. Les tenseurs sont notés entre crochets. Cependant un tenseur est une matrice....

193.144.103.123 (d) 18 mars 2009 à 15:16 (CET)Indiana

Non, c'est une erreur: un tenseur n'est pas une matrice. Les matrices ne sont que des tableaux de nombres à deux dimensions - dont les dimensions peuvent être différentes et qui peuvent être utilisés pour représenter des objets à valeur dans un espace vectoriel, alors que les tenseurs sont des objets abstraits à valeur dans un espace vectoriel, et dont toutes les dimensions ont la même taille, et ce ne sont que les nombres qui les représentent qui changent en cas de changement de base.

Prenons par exemple un vecteur : C'est aussi un tenseurs et il peut être représenté par une matrice, mais si on change de base, la matrice qui le représente change, mais pas le tenseur. Seul la représentation du tenseur change. Un matrice est une représentation. Le tenseur pas. -- Camion (discuter) 28 septembre 2017 à 21:23 (CEST)

c'était pas l'erreur la plus grave... Sans parler des espaces de trop, erreurs d'orthographe et mots manquants, l'article disait entre autres que l'erreur serait de l'ordre de O(h^n) alors qu'on connaît bien le phénomène de Runge. — MFH 31 mars 2009 à 16:29 (CEST)

Je me propose de donner un exemple qui concerne la colorimétrie. et un exemple d'utilisation de Sprague.

merci de me dire si cela intéresse quelqu'un. utilisateur:bercier 90.25.234.62 (d) 11 mai 2013 à 20:14 (CEST)

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il vaudrait mieux rajouter " ∀ x" devant il "∃! 𝜁∈ I "

Boutarfa Nafia (discuter) 10 février 2022 à 23:42 (CET)

Non, car x est défini avant (dans les bornes de l'intervalle I). Kelam (discuter) 11 février 2022 à 09:49 (CET)

Preuve de la formule de l'erreur

Il me semble plus simple de considérer juste la fonction d(x) = f(x) - p(x) qui a les n+1 zéros (x₀, ..., x_n) (sans perte de généralité en ordre croissant), donc sur chaque intervalle [x_k-1, x_k] la dérivée d'(x) a au moins un zéro x'_k , k = 1 ... n; pour la même raison, d''(x) aura alors n-1 zéros x"_k , k = 2 .. n, etc, jusqu'à la n-ième dérivée d⁽ⁿ⁾ qui aura alors un zéro x⁽ⁿ⁾_n =: ξ , soit f⁽ⁿ⁾(ξ) = p⁽ⁿ⁾(ξ) = n! (le coefficient de xⁿ). — MFH 6 avril 2022 à 03:44 (CEST)

Evacuation de l'approche "intégration + vandermonde + Gauss-Jordan(?!)"

La formule explicite en termes de la base de Lagrange est tellement simple (tout y est sur 2 lignes) que je ne vois pas l'utilié de l'approche basée sur une intégration obscure et matrice de Vandermondee que l'auteur qualifie lui-même d'impratiquable. Je l'ai copié-collé ci-après pour utilisation éventuelle dans un article plus spécialisé, peut-être dans interpolation lagrangienne ? — MFH 6 avril 2022 à 05:02 (CEST)

(PS: par ailleurs il y a plusieurs "bug" dans la formulation : "en intégrant à l'éq. 1" ? "doit vérifier ... afin de passer par les points" ?? c'est la définition même de "passer par les points" ! puis, "il suffit de résoudre..." mais "calcul lourd etc...". Bref.)

Voici l'original :

Supposons que le polynôme d'interpolation soit donné par

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.\qquad (1)$

Or, il doit vérifier :

$p(x_{i})=y_{i},\qquad \forall i\in \left\{0,1,\dots ,n\right\}.$

afin de passer par l'ensemble des points à interpoler. En intégrant à l'équation (1), on obtient un système d'équations linéaires d'inconnues a_k. L'écriture matricielle est la suivante :

${\begin{pmatrix}x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n-2}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1}^{n}&x_{1}^{n-1}&x_{1}^{n-2}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n-2}&\ldots &x_{n}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}$

Pour construire p(x), il suffit de résoudre ce système afin d'obtenir les valeurs des a_k. Toutefois, inverser une matrice pleine est un calcul lourd (avec une méthode d'élimination de Gauss-Jordan, le calcul est de l'ordre de 2/3n³ opérations). Des méthodes nettement plus efficaces utilisent une base de polynômes lagrangienne ou newtonienne pour obtenir une matrice respectivement diagonale ou triangulaire. Dans la pratique, le calcul des différences divisées remplace la résolution du système linéaire.

La matrice est une matrice du type matrice de Vandermonde. Son déterminant est non nul, ce qui prouve le théorème d'unisolvance : le polynôme d'interpolation existe et est unique. (L'unicité résulte aussi du fait que si deux polynômes de degré inférieurs ou égaux à n coïncident en n + 1 points, alors ils sont égaux.)

(*** fin du contenu évacué ***)