Discussion:Invariants de similitude
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Pour être plus précis[modifier le code]
Voici comment P. Tauvel, Algèbre, 2e éd., 2010, théor. 12.6.8, p. 204, énonce le théorème permettant de définir les invariants de similitude : Soient E un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps commutatif k, soit u un endomorphisme de E. Il existe un entier r ≥ 1, des sous-espaces E1, ..., Er de E et des polynômes unitaires P1, ..., Pr dans k[X] tels que
- 1° les Ei sont non nuls, u-monogènes (ceci signifie que dans chaque Ei, il y a un vecteur x tel que Ei soit le sous-espace de E engendré par les us(x), où s parcourt les naturels ≥ 0) et E est la somme directe des Ei;
- 2° pour 1 ≤ i ≤ r, Pi est le polynôme minimal de u∣Ei (« restriction », ou encore « birestriction », de u à Ei);
- 3° pour 1 ≤ i ≤ r-1, Pi divise Pi+1.
La suite (P1, ..., Pr) est déterminée de façon unique. Pr est le polynôme minimal de u et P1 ... Pr est le polynôme caractéristique de u. On dit que P1, ..., Pr sont les invariants de similitude de u.
Au théorème 12.6.11, p. 206, P. Tauvel démontre que si E es une espac vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps commutatif, si u et v sont des endomorphismes de E, alors u et v ont les mêmes invariants de similitude si et seulement s'il existe un automorphisme w de E tel que v = w ∘ u ∘ w-1.
Ces deux théorèmes et la définition qui suit le premier (définition qu'on peut étendre aux invariants de similitude d'une matrice carrée ∈ M(n, k) à coefficients dans un corps commutatif k, en passant par l'endomorphisme correspondant du k-espace kn, voir Lang, Algèbre, p. 570) ne remplaceraient-ils pas avantageusement tout le contenu actuel de l'article ? Marvoir (discuter) 1 novembre 2016 à 10:36 (CET)
- J'ai ajouté les précisions ci-dessus à l'article. J'aurais voulu lier l'article à la Wikipédia anglaise, mais, bizarrement, la Wikipédia anglaise ne semble pas avoir d'article « Similarity invariants ». Marvoir (discuter) 3 novembre 2016 à 10:08 (CET)