Discussion:Loi d'inertie de Sylvester

Argument pour montrer que G et F+ sont en somme directe

"Comme q est définie positive sur $F^{+}$, ces deux sous-espaces sont en somme directe". J'ai quelques doutes... ou alors il faudrait le justifier. Jean-Luc

pour un x non nul, on ne peut avoir à la fois q(x)>0 et q(x) <0 Jaclaf (d) 6 janvier 2010 à 14:29 (CET)

Lien avec les valeurs propres : attention

je reproduis ici un passage de l'article.

Relation avec les valeurs propres

On peut déterminer directement la signature de la forme Q à l'aide des valeurs propres de la matrice de cette forme, M. En effet, M est diagonalisable (d'après le théorème spectral), et ce dans une base orthogonale (pour le produit scalaire associé à Q) ; appliquant le résultat précédent, on en déduit que le rang de M, et donc de Q, est le nombre de ses valeurs propres non nulles (comptées avec leur multiplicité), et que s est le nombre des valeurs propres de M strictement négatives

C'est quoi le produit scalaire associé à Q ? Q n'est pas forcément définie positive !

Il n'y a pas de produit scalaire naturel (c'est à dire défini à l'aide de la seule structure vectorielle) sur un espace vectoriel réel. Il y a une infinité de produits scalaires (tous isométriques, certes) mais différents.

une formulation plus correcte serait : Deux formes quadratiques réelles $Q_{0}$ et $Q_{1}$ dont l'une est définie positive admettent une base orthogonale commune.

Preuve. Soit $(e_{i})_{1\leq i_{l}en}$ une base orthonormée pour $Q_{0}$, supposée définie positive. La matrice de $Q_{1}$ dans cette base définit un opérateur autoadjoint (pour la structure Euclidienne définie par $Q_{0}$), auquel on applique le théorème spectral.

L'indice de $Q_{1}$ est égal au nombre de valeurs propres négatives de cet opérateur. Mais l'opérateur lui-même (et ses valeurs propres) dépendent du choix de $Q_{0}$ .

Jaclaf (d) 9 janvier 2013 à 15:53 (CET)

J'ai corrigé au plus près du texte (mais (V, Q) plus haut n'est pas expliqué, donc je ne suis pas sûre que cela suffise ainsi). Mais je pense que l'article est un peu trop formel actuellement, et quand il sera stabilisé, je propose qu'on réfléchisse à la matière de mettre quelques phrases explicatives intercalaires. Cordialement, --Cgolds (d) 9 janvier 2013 à 21:21 (CET)

Quelques suggestions pour simplifier

Un seul énoncé pour regrouper les "différentes caractérisations" de l'indice (qui ne sont pas si différentes que ça ; en tous cas leur équivalence peut s'expliquer sans difficulté).

une seule preuve. La preuve qui se trouve dans le corps de l'article et celle "à déplier" sont essentiellement les mêmes. Celle "à déplier" plairait peut-être moins au regretté N.B. mais elle est bien plus facile à lire.

Jaclaf (d) 11 janvier 2013 à 15:21 (CET)

D'accord ! Cordialement, --Cgolds (d) 12 janvier 2013 à 19:39 (CET)

J'ai modifié l'article suivant les principes énoncés ci-dessus, en tenant compte (du moins je l'espère!)

des critiques.

L'article est un peu plus court, mais il y avait beaucoup de reditesJaclaf (d) 23 janvier 2013 à 20:21 (CET)

Effectivement, je pense que plus court, c’est mieux, surtout à l’écran. Je ne suis pas sûre que l’énoncé le plus simple soit celui qui introduit d’abord l’indice (enfin, un des indices ), mais c’est sans doute une question de goût. L’article est bien net, maintenant ! Amicalement, --Cgolds (d) 24 janvier 2013 à 20:55 (CET)

Oui c'est une question de goût. Voici ma motivation : donner une def "invariante" de l'indice .... Amicalement Jaclaf (d) 25 janvier 2013 à 10:47 (CET)