Discussion:Nombre transfini

Il faut étoffer la partie sur les ordinaux. Exol 15 jul 2004 à 02:14 (CEST)

De quel droit avez-vous supprimé le paragraphe intitulé "contradiction cantorienne" ? Vous devez justifier (mathématiquement) cette décision (relisez la charte WIKIPEDIA). Les mathématiques ne vous appartiennent pas en propre, que je sache. Ou alors nous sommes dans un pays stalinien. Dans son temps, Cantor lui-même a été (toute sa vie) victime de la censure de ses collègues. Quand on pense que, cent ans après, il est consacré par les suiveurs de ces mêmes collègues, c'est à pleurer de rire ! (Y.J, 26/07/05).

Je redonne ici le texte en question, censuré dans l'article (on devine pourquoi).

Contradiction cantorienne

Si l'on prend un certain nombre p d'objets parmi n objets donnés (arrangements avec répétitions de n objets par groupes de p), on a :

A = n^p

Ceci est vrai même si p > n.

On peut calculer, par exemple, le nombre de combinaisons A formées avec 2 objets rangés 3 par 3 :

A = 2^3 = 8

Soit N l'ensemble de TOUS les entiers, ou l'entier infini :

12345678910111213141516171819202122232425...

Que vaudrait A, par exemple, avec 2 objets rangés N par N ?

A = 2^N

Ce nombre correspond à toutes les suites que l'on peut former avec seulement 2 objets, ou 2 éléments (par exemple 0 et 1) :

0001100001111010100011111100101001011101000111000001...

1010111010010001111100010111100000011111110001011001...

Il y en a une infinité (indénombrable).

Avec les 10 premiers nombres du système décimal (de 0 à 9), nous pouvons former toutes les suites imaginables ne contenant que ces 10 nombres :

90366621889609098633334521118769855686664...

84556423111109863782222098345234566621222...

Dans ce cas, A = 10^N.

Il est facile de s'apercevoir qu'un tel ensemble contient, par exemple, tous les nombres irrationnels compris entre 0 et 1 (il suffit de prendre les suites commençant par 0).

D'après Cantor, l'ensemble des nombres irrationnels a la puissance du continu, c'est à dire que Card R > Card N.

Or, toujours d'après Cantor, Card N est un entier infini valant 10 ^ N (1 suivi d'une infinité de zéros), c'est à dire un transfini dénombrant TOUS les entiers finis.

D'où la contradiction :

Si le théorème de Cantor est vrai, 10^N ne peut être à la fois le cardinal de R et de N (ou alors N et R sont équipotents). Car :

- Si 10^N est cardinal de N, l'ensemble des réels n'a pas la puissance du continu.

- Si 10^N est cardinal de R, l'ensemble des entiers à une puissance inférieure à 10^N.

(Y.J, 29/07/05).

Cher Y.J

Avant tout, il est inutile de rappeler le passage ici dans la page de discussion car il figure dans l'historique de la page.

J'ai supprimé ce passage car je le trouve mal écrit. Il met de plus l'accent sur un point très particulier, ce qui déséquilibrait l'ensemble de l'article. Si ce passage mérite d'être dans Wikipédia, je suggère la création d'une page dédiée, et l'ajout d'un lien. Je tiens beaucoup à la qualité du texte et à l'harmonie du tout, pour le plaisir des lecteurs.

Je trouve assez ridicule qu'on dise que je censure Cantor. J'ai moi même créé cette page il y a plus d'un an, et il me semble qu'elle fait honneur aux idées de ce grand mathématicien. Il ne faut pas confondre les travaux de Cantor avec le pauvre passage supprimé, que diable...

J'espère de tout coeur que Y.J prendra à l'avenir plus au sérieux ses ajouts à Wikipédia. Il ne s'agit pas d'un blog !

Exol 30 juillet 2005 à 17:40 (CEST)

Cher Exol,

Merci de votre réaction. Je vais effectivement ouvrir une page nouvelle sur ce concept, que j'aurais bien aimé vous voir critiquer de façon plus objective. Ce " pauvre passage ", comme vous l'appelez, démontre le plus simplement du monde (sans belles fioritures d'écriture acquises grâce à une longue formation mimétique) que CARD N = CARD R. Si vous pensez que tel n'est pas le cas, retournez-le dans tous les sens et prouvez son inanité. Refuser n'est pas critiquer, surtout en sciences exactes.

Cordialement, Y.J (01/08/05)

Grossière erreur, Y.J !

Si Card N = 10^N, Card R ne peut être égal à 10^N, mais à (si nous prenons l'ensemble des entiers infinis ne comprenant que des chiffres de 0 à 9) : 10^10^N - ce qui, à mon sens, est déjà beaucoup plus grand que Card N !

N est un ensemble, non un nombre !

Cordialement, le fantôme de Cantor

Cher Monsieur,

10 ^ 10 ^ infini, c'est 10 ^ infini. Et, 10 ^ infini, c'est 10 multiplié par lui-même une infinité de fois, c'est à dire l'infini.

Désolé, monsieur Cantor. Cela ne m'empêche pas de m'incliner devant votre génie.

Cordialement, Y.J

On peut calculer, par exemple, le nombre de combinaisons A formées avec 2 objets rangés 3 par 3 : je ne comprend pas ce que ça représente ; comment ranger 2 objets 3 par 3 ?--Manu 14 août 2005 à 11:28 (CEST)

en fait à ce qu'il me semble, il n'ya pas de contradiction : d'après ta définition, N est simplement $\aleph _{0}$ ; comme tu l'indique toi-même l'ensemble que tu as constitué contient les irrationnels et on retombe bien sur $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$, comme indiqué dans l'article ! --Manu 16 août 2005 à 21:45 (CEST)

Comme je l'indique moi-même (soyons clair), l'ensemble des suites ne comprenant que les chiffres de 0 à 9 a pour cardinal : 10 ^ N (10 ^ infini). Or, le cardinal de l'ensemble des entiers (aleph 0) est un entier infini (quel qu'il soit) de puissance : 100000000000..., c'est à dire 10 ^ N (10 puissance infini).

C'est là où je veux en venir : le cardinal de l'ensemble des entiers (aleph 0) est égal au cardinal de l'ensemble des suites entières (aleph 1).

10 ^ infini = 10 ^ infini

Autrement dit, il n'y a pas d'aleph 1 !

A moins de soutenir, à l'exemple du fantôme de Cantor, que aleph 1 = n ^ n ^ infini, ce qui, pour moi, est une absurdité.

Il y a donc une contradiction, et de taille.

Y.J (17/0805).

Heu, par définition, $\aleph _{0}$ n'est pas un entier !! c'est un transfini, c'est le sujet même de l'article !! si tu remplaces N dans tous tes calculs par $\aleph _{0}$ et que tu applique les règles propres au nombres transfinis, (et non celles des entiers), alors la contradiction disparait ! --Manu 18 août 2005 à 07:32 (CEST)

" Transfini " n'est qu'un mot imaginé par Cantor pour conforter sa théorie des infinis successifs. " Par définition ", pour moi, ne signifie pas grand-chose. " Par définition " DANS cette théorie, d'accord.

Aleph 0 (encore une expression imaginaire) est le cardinal de l'ensemble de TOUS les entiers. C'est Cantor lui-même qui le dit, et j'ai parfaitement le droit de remplacer aleph 0 par N ou par INFINI, cela ne change rien, c'est même beaucoup plus simple. Or, ce cardinal de TOUS les entiers est LUI-MEME un entier, mais un ENTIER INFINI :

123456789101112131415...

Cantor pensait que ce nombre n'appartient pas à N. je pense que c'est abusif (ce n'est pas prouvé). Pourquoi un entier infini n'appartiendrait pas à N, puisque N est infini ? Depuis quand un cardinal est étranger à son ensemble de formation ? Il faut savoir que des gens très bien, beaucoup plus pertinents que moi (Russell, Poincaré), ont critiqué, à juste titre, la théorie des infinis successifs. Rien, absolument rien, ne permet d'affirmer que cette théorie est la meilleure, seulement l'USAGE et l'habitude (voire l'idéologie) universitaires. J'ai donc besoin d'arguments plus solides et moins " appris " pour baisser les bras...

Cordialement, Y.J (19/08/05).

Bah déjà, pour commencer, $0\in 0$ est une contradiction dans ZF si on prend 0 pour l'ensemble vide (en fait cardinal de...) Par réccurence triviale, pour tout nombre fini n, le nombre n en tant que cardinal n'est pas dans n (ordinal / cardinal correspondant car les notions coïncident dans le cas fini). On peut étendre ce résultat par induction transfinie à tout ordinal et obtenir le résultat fort connu : pour tout ordinal $\alpha$, $\alpha \notin \alpha$. C'est en ce sens que votre cardinal "est étranger à son ensemble de formation". C'est un résultat, plus que connu, complètement prouvé et solidement bâti. Je tiens juste à dire que la contradiction vient simplement de l'assertion : "cantor a suggéré que l'ensemble des entiers est un nombre 10^N" là où N était déjà le nombre d'entiers ! on attribue à N deux sens différents. Concernant le vision d'infini, il se trouve que vous avez deux possibilités : Accepter l'axiome de l'infini : vous ne pouvez alors pas aller contre les constructions cantoriennes, $card(\mathbb {N} )\neq card(\mathbb {R} )$ qui de toute façon se montre au moyen de l'argument diagonnal. il y a lors une série transfinie de cardinaux disctincts et donc des infinis différents.Tout cela est déductions logiques de l'axiome et du reste des règles axiomatiques pas franchement très gourmandes en anormalité ou subterfuges qui servent à faire dire aux mathématiques n'importe quoi. Réfuter l'axiome de l'infini : Cette discussion porte alors sur une entité dont on réfute l'existence et on peut donc affirmer n'importe quoi.

Votre discours laisse, formellement, suggérer la deuxième possibilité. Je tiens aussi à préciser qu'à chaque fois que j'ai pu voir de telles idées sur l'infini, elles provenaient d'esprits dogmatiques qui interprêtent l'infini au sens où il est l'Infini (généralement suivit de philosophique, terme abusivement employé) et qui le considèrent unique et immuable.

Je précise, moi aussi au nom des mathématiques, que c'est justement ce genre de vision qui doit être écarté de la pensée scientifique (et qui n'a rien à faire ici !). Cette dernière attitude a toujours porté ses fruits, bien que choqué les moeurs du moment.

Alors monsieur Cantor, merci d'avoir ébranlé les esprits qui, même maintenant, vascillent encore.

Vous pourrez trouver les références nécessaires et le mode d'emploi pour les comprendre dans un ouvrage de théorie axiomatique des ensembles (je ne pourrais pas citer J.L.K. avec son nom entier mais cela me semble l'auteur le plus brillant parmi les actuels dans le domaine, et je ne suis pas ce monsieur pour information.)

HS. PhD-stu(Logique)

Article passionnant pour un philosophe.

Mais il faudrait expliquer, pour le béotien que je suis, certaines notations, en particulier dans la partie sur les ordinaux: {}. Ensemble des parties d'un ensemble? C'est ce que j'ai cru comprendre.

Merci d'avance.

Slonimsky 13 novembre 2006 à 18:54 (CET)

Non, {} représente l'ensemble vide (aucun élément ne figure entre les accolades).

.

Cela étant, je suis d'accord que ce paragraphe "démarre" un peu sec, et même dérape légèrement..

Ainsi une phrase comme « les entiers naturels peuvent être construits avec des ensembles » suivie de « 0 = {}, ...» est particulièrement ambigüe. Un logicien prudent dirait « un modèle des entiers naturels peut être construit dans les ensembles de la manière suivante : on appelle 0 l'ensemble {}, 1 l'ensemble {0}, ...».

Idem ensuite : « tout entier naturel est un ensemble bien ordonné »: par quelle relation d'ordre ? et que vient faire ici le bonordre ?

Et ensuite une erreur flagrante, le « et réciproquement » après « tout élément de E est un sous ensemble de E »

(l'ensemble {2,3} est sous-ensemble de 4={0,1,2,3}, mais n'en est pas élément)

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Bref, il n'y a pas que le béotien ci-dessus qui peut trouver à redire à ce paragraphe!

.

Quant aux élucubrations anti-cantoriennes du nommé Y.J., je félicite (encore que..) ceux qui ont la patience d'y répondre, et je n'y vois personnellement aucun intérêt, ni philosophique ni autre.

-- Fr.Latreille 15 mars 2007 à 15:12 (CET)

transitivité

Sur un ordinal la relation d'appartenance est transitive donc tout élément d'un ordinal en est aussi un sous -ensemble ; cela ne veut évidemment pas dire que tout sous-ensemble est un élément, ce qui d'ailleurs contredirait la théorie classique des ensembles dite ZF. Je me suis donc permis de reverter le "réciproquement".

A moins que vous n'ayiez voulu dire que le "réciproquement" porte sur un segment de texte plus long et renvoie à "un ordinal si et seulement si, etc..." ; mais dans ce cas le "réciproquement" est redondant du fait qu'il y a un "si et seulement si" - et prête à confusion. Cdlt - Michel421 11 septembre 2007 à 23:00 (CEST)

Retour sur "contradiction cantorienne"

Il y a quand même un hic avec l'infini considéré comme un "tout". Si Aleph est cardinal de N, alors N est un "tout cardinal". Et c'est là que ça cloche, car il est facile de montrer que ce n'est pas le cas. N est équipotent de l'une quelconque de ses parties non finies, donc N n'est pas un ensemble plus grand que toute partie non finie de N prise au hasard. Et N est inclus dans lui-même, donc N est lui-même une partie non finie, et non un "tout". Si N est une partie cardinale non finie et non un "tout", on ne peut lui attribuer un cardinal infini (car N ne contient jamais TOUS ses éléments cardinaux). Je rappelle que le sens originel du mot "infini" n'est pas "infiniment grand" mais "non fini", "inachevé", "incomplet". Ianop (d) 16 décembre 2009 à 15:54 (CET)

J'ai déplacé le paragraphe ci-dessus qui était venu se planter au milieu d'une discussion antérieure.

N n'est certes pas plus grand que toute partie non finie de N enfin, dans ZFC ; N est inclus dans N ; N est une partie non finie de N. Par contre N contient tous ses éléments, par définition ; ou alors vous utilisez "contient" dans un autre sens, qu'il faut à ce moment-là préciser. Ce mot "contient" est ambigu, généralement "E contient m" s'entend au sens de "m ∈ E" ; mais si vous l'entendez au sens de "m ⊂ E", ça marche encore avec la construction de Von Neumann - preuve que le fait de contenir tous ses éléments est indépendant du fait que N est une partie non finie de N, n'est pas la plus grande partie non finie de N, et est inclus dans lui-même. Pour le reste, si vous avez des éléments sourcés, je vous invite à intervenir dans des articles comme Constructivisme (mathématiques) ou Luitzen Egbertus Jan Brouwer, etc.... Cordialement Michel421 _{parfaitement agnostique} 24 juillet 2010 à 12:40 (CEST)

Bonjour, 1. Si un infini se définit comme une entité non finie, si un infini n'est pas implicitement un infiniment grand, il semble évident qu'un infiniment grand ne peut être congru qu'à une forme d'infinitude, et non à une forme de finitude. L'infiniment grand est donc par déduction un infini d'ordre supérieur à un infini quelconque puisqu'il ne peut lui être ni égal ni inférieur... Sinon les mots infiniment grand et infini seraient de nature identique entrainant confusion et rendant par redondance l'usage d'un des 2 termes inutiles. L'infiniment grand est donc de nature différente et plus grande que l'infini. Par voie de conséquence ,l'infiniment grand n'appartient-il donc pas par définition au monde des transfinis ?

2. De même que dans la physique quantique la particule sphérique tridimensionnelle D3 finie, intègre et donc contient sa propre nature ondulatoire infinie , d'ordre dimensionnel inférieur, de même semble t'il tout ensemble fini d'ordre dimensionnel supérieur, semble intégrer tout ensemble infini d'ordre dimensionnel inférieur. En généralisant ne semble-t'il pas que contrairement à la pensée habituelle, le fini d'ordre dimensionnel supérieur intègre toujours les infinis d'ordre dimensionnel inférieur. Ainsi rejoignant Cantor d'une manière simple, l'infini des points est contenu dans la nature d'une seule courbe finie d'ordre transfini supérieur. L'infini des courbes traçables sur une sphère est d'ordre transfini inférieur à la nature finie de la sphère. On peut alors extrapoler ce raisonnement pour un système physiaue spacio-temporel à 4 dimensions, voire à N dimensions.

Il semble donc qu'un transfini se défini toujours par une nature finie comparée à la nature infinie de ses parties constitutives. Et inversement tout transfini d'ordre inférieur est toujours de nature infinie comparée à celle du transfini qui lui est d'ordre supérieur.

3. Du point de vue cosmologique et peut-être mathématique, ne pourrait-on pas faire une différence antinomique entre la vision linéaire de l'infini ou infini linéaire virtuelle, et la vision non linéaire ou transcendante de l'infini, que j'apelerais bien sûr vision transfinie ? De la même manière que la pensée linéaire tend toujours ultimement à tourner en rond (effet de bulle) se transformant inéluctablement en logique dogmatique,là où la pensée non linéaire voire harmonique ou créative, tend toujours à s'ouvrir vers le haut pour se transcender vers des espaces créatifs nouveaux d'ordre supérieurs. Comme ce fut le cas pour les merveilleux transfinis de Cantor, de la monade de Leibnitz, des concepts harmoniques de Kepler, Fibionacci ou de Nicolas de Cuse, par rapport à la pensée linéaire de leurs opposants à leur époque ?

Histoire d'ouvrir le débat !

J'aimerai avoir l'avis des intervenants, dont les développements et débats sont si passionnants à lire. Merci Jean ai.8@free.fr