Discussion:Ordre des opérations

Demande de fusion : Ordre des opérations et Priorité (mathématiques)

Les deux articles parlent de la même chose. The RedBurn (ϕ) 17 juillet 2008 à 13:29 (CEST)

J'ai fusionné les deux articles. Mig (d) 6 août 2008 à 23:45 (CEST)

Annulation du vandalisme de l'IP 82.238.59.241

J'ai annulé le vandalisme de celui-ci. Quand on vandalise on le fait bien, c'est la moindre des choses. IL a de la chance que je sache pas comment demander un bannissement.

Anihpalouf

PEDMAS

Il y a une erreur sur le mnémonique PEDMAS Parenthèses, Exposant, Division, Multiplication, Addition, Soustraction

Au même titre que la division, la soustraction se trouve avant son inverse Parenthèses, Exposant, Division, Multiplication, Soustraction, Addition

• exemple n°1 : 22 + 3 - 7

avec la première solution où l'addition est prioritaire, on obtient :

22 + 3 - 7 = ( 22 + 3 ) - 7 = 25 - 7 = 18

avec la deuxième solution, où la soustraction est prioritaire, on obtient :

22 + 3 - 7 = 22 + ( 3 - 7 ) = 22 + (-4) = 18

• exemple n°2 : 22 - 7 + 3

avec la première solution où l'addition est prioritaire, on obtient :

22 - 7 + 3 = 22 - ( 7 + 3 ) = 22 - 10 = 12

avec la deuxième solution, où la soustraction est prioritaire, on obtient :

22 - 7 + 3 = ( 22 - 7 ) + 3 = 15 + 3 = 18

Comme on peut le constater, lorsque l'addition se trouve avant la soustraction (exemple n°1), l'ordre de priorité n'a pas d'importance.

Néanmoins, lorsque l'addition se trouve APRES la soustraction (exemple n°2), l'ordre de priorité prend toute son importance.

Or, si on applique le PEDMAS, l'addition est prioritaire, et le résultat n'est pas juste. Pour les addition et les soustraction, le calcul se fait "à la volée" c'est-à-dire dans le sens de lecture, dans l'ordre où les signes apparaissent. Si le "+" est prioritaire, le résultat est fossé. Si le "-" est prioritaire, le résultat reste correct.

CONCLUSION : L'ordre des opérations est le suivant

Parenthèses, Exposant, Division, Multiplication, Soustraction, Addition.

Le mnémotechnique n'est pas valable.

Références : TI 80 et la Calculatrice Scientifique de Windows

cette intervention, non signé a été déposée le 22 février 2010 à 13:03 par l'IP171.16.208.2

Tout-à fait d'accord ! Installer une priorité de l'addition par rapport à la soustraction est un non sens comme tu le démontres fort justement. Je supprime donc l'allusion à PEDMAS. Cependant, es-tu vraiment sur qu'à l'intérieur des calculatrices, l'autre ordre de priorité intervient en réalité ? Bref le calcul de a+ b - c s'effectue-t-il vraiment sous la forme a+(b-c) ? au lieu de s'effectuer, comme tu le dis toi même à la volée : (a + b) - c ? Si c'est le cas, cela vaut vraiment le coup de créer une section sur l'ordre des calculs dans les calculatrices, surtout s'il existe des sources qui expliquent cet ordre surprenant. Dans cette section, il serait bon alors d'évoquer l'existence d'une nouvelle opération : le coefficientage d'une variable. Regarde par exemple le comportement différent de la calculatrice avec la rentrée de 3/2a et 3/2*a (TI80). HB (d) 22 février 2010 à 14:41 (CET)

Le PEDMAS n'est pas vraiment faux, plutôt maladroit. L'ordre des opérations est bien Parenthèses , Exposant, puis (Division et Multiplication) à égalité, on procède de gauche à droite, puis (Addition et Soustraction) à égalité, on procède de gauche à droite. Je ne vois pas en quoi la démonstration de l'IP montre le contraire. 22-7+3=18 car on procède de gauche à droite. Et alors ? ---- El Caro ^bla 22 février 2010 à 15:18 (CET)

J'avais laissé PEDMAS en l'interprétant comme toi PE(DM)(AS) = PE(MD)(SA) mais il est faux si on l'interprète comme l'IP, soit P puis E puis D puis M puis A puis S. j'ai donc préféré supprimer que de prendre le risque d'une erreur d'interprétation. HB (d) 22 février 2010 à 15:25 (CET)

Bien sûr, comme tout moyen mnémotechnique. L'autre solution aurait été de bien l'expliquer ou de l'écrire avec des parenthèses. Je ne sais laquelle est la meilleure, et je ne milite pas pour son retour. ---- El Caro ^bla 22 février 2010 à 15:54 (CET)

Lorsqu'on saisit 1+10^13-10^13 à la calculatrice (TI-82 Stats.fr), on obtient 0, preuve que la soustraction n'a pas été effectuée avant l'addition, mais que les deux opérations sont effectuées dans l'ordre de gauche à droite (avec une erreur d'arrondi). Ambigraphe, le 8 novembre 2011 à 00:21 (CET)

Euh.... ce n'est pas plutôt que pour la TI-82, 10^13 compte pour infini? Ou alors, dans la mémoire de la calculatrice, ça passe en réel, c'est-à-dire 1,00000 à la puissance 13. Si on y a joute 1, la valeur de changera pas à cause de la différence d'échelle de grandeur et du nombre de chiffre significatif. Donc, la TI-82 calculerait comme cela: 1 + un grand nombre A = un grand nombre A, ensuite A - A = 0. Je m'explique encore d'une autre manière. Dans l'informatique, la partie significative d'un nombre est limitée. Prenons un exemple, si on est limité à 10 chiffres significatifs, si j'écris le nombre 1234567890123456789, c'est un grand nombre. Dans la calculatrice, ce nombre sera converti en 0,1234567890 * 10^19. Si on y ajoute 1, la valeur ne changera pas. Laurent, en Suisse, le 2 novembre 2012 à 19:10

Je ne vois pas de contradiction entre toi et Ambigraphe. C'est bien parce que la calculatrice calcule d'abord 1+A puis ensuite enlève A qu'elle donne, à cause de la gestion des valeurs approchées, la valeur 0 pour résultat . Elle ne calcule pas (A-A) d'abord qu'elle ajouterait à 1. HB (d) 2 novembre 2012 à 23:01 (CET)

Opérations effectuées de gauche à droite

J'ai laissé l'allusion à des opérations qui s'effectueraient de la gauche vers la droite parce que c'est une règle qui est parfois donnée mais il s'agit pour moi d'un contresens qui empêche de comprendre le vrai fonctionnement des additions et des soustractions avec des nombres signés. Une soustraction étant la somme de l'opposé, les opérations peuvent s'effectuer dans l'ordre que l'on veut en tenant compte du signe associé à chaque nombre.

Ainsi l'expression 2 - 0,5 + 1,5 peut-elle se calculer dans l'ordre que le veut

- 0,5 + 1,5 donne + 1 et 2 + 1 donne 3

2 - 0,5 donne 1,5 et 1,5 + 1,5 donne 3

Cette idée de voir dans l'expression des additions et des soustractions est source de nombreuses confusions. Elle est un frein à la compréhension du phénomène important qui est que le signe est attaché au nombre qui le suit. Elle devient obstacle quand il s'agit de regrouper des termes notamment dans du calcul algébrique.

Ainsi l'expression 2 - 0,5 + 1,5 doit-elle pouvoir se lire aussi 2 + 1,5 - 0,5 et se calculer dans l'ordre de son choix.

+ 1,5 - 0,5 donne + 1 et 2 + 1 donne 3

2 + 1,5 donne 3,5 et 3,5 - 0,5 donne 3

Dire que l'on ne peut pas effectuer le dernier calcul - 0,5 + 1,5 car il donnerait -2 pousse à la faute.

J'attends d'autres avis avant de corriger cette affirmation qui me semble une erreur pédagogique. HB (d) 5 octobre 2010 à 18:55 (CEST)

Attention, l'allusion aux opérations de gauche à droite est liée à un cas, pour lequel l'ambiguïté ne peut être levée avec les règles présentes dans l'article : 4:2x3 par exemple. Si l'on prend une lecture de gauche à droite ou les éléments à part, le résultat sera différent selon qu'on commence par 4:2 ou 2x3. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 192.134.152.148 (discuter), le 6 septembre 2017 à 17:02 (CEST)

Composition de fonction

Les exposants sont prioritaires sur toute autre opération: Est-ce le cas avec la composition des fonctions unaires? Il existe également des traditions, par exemple on devrait lire $\cos ^{2}(x)=\cos(\cos(x))$ mais cette première expression est souvent interprétée comme $(\cos(x))^{2}$. Celle-ci est souvent écrite sans parenthèses $\cos(x)^{2}$ mais cette dernière est parfois interprétée comme $\cos(x^{2})$ si l'on en croit la règle de priorité de l'exponentiation. Des suggestions pour trancher? Christian.Mercat (d) 10 novembre 2011 à 14:45 (CET)

Ah oui ! remarques intéressantes! Pour moi cet article présente les articulations entre les opérations fondamentales addition, multiplication, division, soustraction, exponentiation. La seule fonction qui est présentée est la fonction racine carrée avec son vinculum qui remplace la parenthèse.

Mais à tout bien réfléchir, il ne me semble pas que ta première objection concerne un problème de priorité mais un problème de polysémie. En effet, on a pris l'habitude de noter f+g la fonction x -> f(x)+g(x) et fg la fonction x ->f(x)g(x). Il aurait été naturel de noter f² la fonction x -> f(x)f(x). C'est ce qui s'est produit pour les fonction courantes portant un nom on trouve ainsi cos², sin², ln², tan². Mais cette notation s'est heurtée avec une autre définition de f² = f o f. Polysémie de l'exponentiation, ambiguïté dans la lecture....difficulté pour les élèves qui sont peu familiarisés avec la notation fonctionnelle. Il n'est pas rare d'ailleurs de les entendre dire pour parler de ln(x) "je multiplie x par ln". Je crois qu'il existe de la littérature là dessus mais je n'en ai pas sous la main. Maintenant, cela a-t-il sa place ici. Je me pose sérieusement la question.

Ta seconde objection (comment lire cos(x)²?) en revanche me semble en plein dans le sujet et nous entraine dans la notation fonctionnelle que je n'ai pas pensé à aborder mais il faut reconnaitre à ma décharge que je n'ai pas vu de littérature traitant le sujet. Y a-t-il officiellement priorité de la fonction sur toute autre opération, les parenthèses étant comme attachées à la fonction ? Si c'était le cas, la notation f(x)² ne pourrait valoir que [f(x)]² et l'idée d'exécuter d'abord le (x)² comme valant a nous conduirait alors à écrire fa, écriture qui a disparu depuis plus d'un siècle. Cependant, instinctivement je n'écris pas cos(x)² mais (cos(x))² ou, puisque l'usage le permet cos² x avec là disparition de la parenthèse et déplacement du carré. Enfin, j'aurais des doute dans une écriture comme √(x+1)² préférant, selon le sens à donner [√(x+1)]² ou √[(x+1)²] (l'usage de vinculum est lui sans ambiguité quoique .... une notation comme ${\sqrt {x+1}}^{2}$ ... je n'en ai pas souvent rencontrée). Comme quoi rien n'est simple. Malheureusement, sans documentation et avec ma seule expérience professionnelle comme bagage, je ne peux pas faire grand chose.

Ce qu'on peut déjà faire c'est remplacer dans l'intro le tout autre opération par les multiplications, divisions, additions et soustractions.

HB (d) 10 novembre 2011 à 19:00 (CET)

Manque de clarté sur le mélange multiplication/division en linéaire

« Une telle convention n'est pas aussi explicite pour des mélanges de divisions et de multiplications. Les calculs de (a:b).c et de a:(b.c) ne donnent pas le même résultat. L'idée de considérer l'expression a:b.c comme (a:b).c n'est pas encore universellement reconnue. Ainsi certaines calculatrices continuent à effectuer le calcul de a:bc comme a/(bc) à la place de a:b*c comme (a:b)*c. »

Si l'idée n'est pas universellement reconnue, est-ce à dire qu'il y a une convention universelle ? Et qu'elle serait en train de changer ?

Autrement dit, aujourd'hui, comment est-on supposé calculer a:b*c et a:bc ? Même problème pour a/b*c et a/bc qui ne sont pas abordés. Y'a-t-il une recommandation officielle, notamment dans le milieu éducatif ? --Gandalfcobaye (d) 17 septembre 2012 à 02:25 (CEST)

« Comment est-on supposé calculer a:b*c et a:bc ? » Pas de réponse : écriture ambiguë. Les parenthèses sont nécessaires.Le fait de remplacer : par / ne change rien à l'affaire. La formulation «  L'idée de considérer l'expression a:b.c comme (a:b).c n'est pas encore universellement reconnue » est probablement maladroite. Il fait référence à une convention sur certaines calculatrices mais sans automatisme. Je modifie la phrase pour éviter tout contresens. HB (d) 17 septembre 2012 à 08:31 (CEST)

En outre, le point ou l'espace peut être interprété différemment de l'accolement. J'aurais tendance à lire « 1/4x » comme « 1/(4*x) » alors que j'écrirais plutôt « 1/4*x = 1/4.x = 1/4 x = (1/4)*x ». Ambigraphe, le 17 septembre 2012 à 20:59 (CEST)

a^b^c

Pourquoi est-ce à interpréter en a^(b^c) ? (c'est ce que je fais spontanément mais ça contredit la lecture de gauche à droite). Peut-être parce que (a^b)^c possède déjà une écriture plus simple a^bc ? Anne (discuter) 22 septembre 2013 à 11:20 (CEST)

Me suis-je mal exprimée? je croyais avoir écrit que l'écriture a^b^c n'était pas interprétable sans parenthèse ou sans utilisation spatiale (a^bc vs a^bc) à cause de la non associativité de l'exponentiation. Ah moins que ta remarque ne signifie autre chose? HB (discuter) 22 septembre 2013 à 12:05 (CEST)

Tu t'es très bien exprimée, c'est moi qui avait zappé ton « délimitant spatial ». Anne, 13h23

Il est faux de dire "a^b^c n'est pas interprétable". Tout dépend des règles d'associativité décidées. La plupart des systèmes de calcul formel interprètent ceci comme a^(b^c), c'est à dire l'opérateur est associatif à droite. (A mon avis le fait que (a^b)^c simplifie en a^(bc) alors que a^(b^c) n'a pas d'équivalent, est effectivement une justification valable pour ce choix (qui en reste un).) Bien que ceux qui ne veulent pas "se mouiller" pour définir l'associativité de "-" et de "/" afin que a-b-c soient bien définis comme (a-b)-c et a/b/c = (a/b)/c), peuvent trouver la faible "excuse" de dire qu'il ne s'agit pas d'opérateur binaire mais de raccourci pour "+ l'opposé de" resp. "x l'inverse de" (ce qui est fondé mathématiquement mais irrelevant d'un point de vue informatique/calcul formel), cette excuse ne fonctionne plus lorsqu'ils s'agit de donner un sens (ou arbitrairement interdire) à l'opérateur "^" tout comme pour l'opérateur ∧ pour le produit vectoriel. — MFH 30 juin 2018 à 17:57 (CEST)

Informatique

Cette section commence avec "En informatique, le concept de priorité des opérations porte en anglais le nom operator precedence.". Pourquoi cet énoncé, l'informatique n'est pas synonyme d'anglais. Sachez que j'ai fais mon diplôme universitaire en informatique en français en utilisant des termes français. Pour ce sujet, le terme employé était et est toujours: la priorité des opérateurs--69.70.196.38 (discuter) 7 septembre 2016 à 19:26 (CEST)

Je suis plutôt d'accord et j'ai même lu "précédence des opérateurs". JackPotte ($♠) 7 septembre 2016 à 23:53 (CEST)

ordre des opération en absence des parenthèses

prenons cette opération sans parenthèse 6:2*3 nous avons deux opérations la division et la multiplication si on effectue la division avant la multiplication on a 3*3=9 si on effectue la multiplication avant la division on a 6:6=1 entre la division et la multiplication nul n'est prioritaire par rapport à l'autre dire qu'il faut effectuer les opérations de la gauche vers la droite signifie que qu'il y a un ordre dans l'organisation des opérations?????? et ce ordre est un axiome???? comment se justifie cette décision d'opérer de la gauche vers la droite Katako kokou (discuter) 6 décembre 2018 à 10:49 (CET)

il n'y a pas d'ordre entre plusieurs multiplications ou plusieurs addition. L'intervention des opérations inverses brouille le discours. Le nombre est alors associé à l'opérateur qui le précède

• 6-2+3 doit se lire (6) + (-2) + (+3) où les opérations peuvent s'effectuer dans l'ordre que l'on veut et pas seulement de la gauche vers la droite : 6 - 2 + 3 en regroupant les deux derniers donne (-2) + (+3) = -1 , puis 6 - 1 = 5. En lisant de gauche à droite, on laisse l'opérateur négatif accroché au nombre juste à côté sans lui associer les nombres encore plus à droite et trop loin de lui pour être concerné par son signe d'où l'impression qu'en effectuant les opérations de la gauche vers la droite on ne commet pas d'erreur.

• idem pour 6 : 2 * 3 si on le lit comme (cette convention n'est pas aussi officielle que pour l'addition) 6 * (1/2) * (3) peut s'effectuer dans l'ordre que l'on veut (:2)(*3) = *3/2 (en français : diviser par 2 et multiplier par 3 revient à multiplier par 3/2) puis 6*3/2=9.

Bon c'est un peu brouillon comme explication mais l'écrit ne facilite pas les choses. HB (discuter) 6 décembre 2018 à 12:08 (CET)

@ Katako Kokou : Je suis comme toi, curieux de trouver un écrit clair qui explique/justifie la lecture des opérations de la gauche vers la droite. Cette règle est en pratique utilisée par ne nombreux logiciel (tableur (excel, Gsheet, OOffice, etc.), Matlab/Scilab). Mais elle n'est pas respectée par beaucoup de physiciens lorsqu'ils affichent l'unité d'une grandeur. Je vais prendre un exemple que je pratique quotidiennement : la conductivité thermique. Idéalement il faudrait écrire $W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}$. En pratique on voit W/m.K (voir pire W/mK, mK veut dire millikelvin pour moi) et W/m/K. Je suis adepte de la deuxième proposition, car "je lit de la gauche vers la droite". Mais la première proposition est la plus utilisée, et dans des sources "fiables" (bouquin universitaire, souvent anglophone). Si quelqu'un à un document la dessus je suis preneur ! Jean-carambole-denis (discuter) 11 mars 2019 à 11:47 (CET)

C'est ça qu'il faut écrire dans l'article. Là en plus on passe des abc au 12a (?) et c'est encore moins clair. Et je pense aussi que ce qui est dans l'article est faux, en cas d'égalité de priorité on devrait lire de gauche à droite. Emyno (discuter) 4 août 2019 à 17:24 (CEST)

Une source qui corrobore: https://www.piger-lesmaths.fr/priorite-des-operations/ Emyno (discuter) 4 août 2019 à 17:25 (CEST)

Non la source, ne corrobore rien de telle : elle dit « (...) on peut effectuer les opérations de gauche à droite. » ce qui n'a pas le même sens que de dire «on doit effectuer les opérations de gauche à droite.» HB (discuter) 4 août 2019 à 19:23 (CEST)

Mais j'avoue être un peu lasse de voir les consignes de bons sens battues en brèche par des collégiens qui exhibent des sources comme alloprof, sans pour autant toujours comprendre le processus qui régit ces règles. L'article actuellement fait figurer l'obligation d'effecteur les opérations de la gauche vers la droite (?) dès le résumé introductif. Comme à moi toute seule, je ne peux pas maintenir un peu de bon sens sur cette page, si d'autre vrais matheux ne viennent pas me soutenir, je la laisserai aller à vau l'eau. HB (discuter) 4 août 2019 à 19:32 (CEST)