Discussion:Parabole de sûreté

léger changement

comme on me l'a demandé, j'ai supprimé le 1,3,5,7 de Galilée, qui peut être repris ailleurs:

(1,3,5,7...)

La suite est mieux connue : très habilement en construisant le diagramme des vitesses, Galilée retrouve la célèbre loi du trapèze : B1B2 = (V1+V2)/2 .(t2-t1) , soit des accroissements de distance comme 0+1, 1+2 , 2+3 ,3+4 , ... Nous préférons dire aujourd'hui un anachronique et sec z = 1/2 g t^2.

Et, rajoutera Torricelli, V(x) = $sqrt(2gx)$ qui ne cessera de choquer Mersenne (si V=0, le mobile ne peut avancer! ); ou $V2^{2}-V1^{2}=2g(z1-z2)$

Soit V1^2 + 2g z1 = V^2 + 2g.z = cste = (2E° pour nous aujourd'hui): c'est la formule de Torricelli qu'il appliquera à l'écoulement de l'eau. Comme V^2 >0, on obtient un z maximum : c'est cette idée que Torricelli va transmettre au jeune Huygens via Mersenne : jamais le "centre" ne pourra remonter plus haut. On sait ce que donnera ce "principe" chez ce calculateur hors pair qu'était Huygens.

suite

J'ai aussi mis en exergue que dans le losange "caractéristique" de Torricelli, OPRQ , QP était la tangente en P à la courbe (C) ( Méthode de la caractéristique de Clairaut ??). Dans les écrits de Torricelli, cela vient après des considérations sur "le funiculaire à rochets" qui me semble LA figure capitale de la relativité galiléenne.

Bien sûr, la démonstration via Vx et Vy, et le théorème de Didon sont connus, et la consigne en 2005 était de faire de la WP une Scholarpedia. ma foi , on progresse, mais doucement. --Guerinsylvie (d) 4 septembre 2008 à 01:28 (CEST)

PS: bien sûr , je vais rédiger ellipse de sureté , qui est calqué sur parabole de sureté.

Proposition de modification

--Guerinsylvie (d) 14 juillet 2009 à 16:06 (CEST) : je considère que le "statut" de la Wikipédia a changé ( évolué) depuis les temps anciens : il n'est plus question de dire des choses inédites et personnelles, mais bien plutôt de répéter ce que d'autres ont dit ( et le plus banalement possible ; ce qui enlève toute originalité à la Wikipedia). Je rerédige donc les articles en conséquence, et de manière plus compacte et auto-suffisante. Voici un exemple :

Nouvelle rédaction proposée

--Guerinsylvie (d) 14 juillet 2009 à 16:06 (CEST)

Le boulet d'un "petit" canon ne saurait aller trop loin.

En balistique extérieure, la parabole de sûreté est une courbe théorique que ne saurait dépasser un boulet balistique.

Précisons : soit O, le point de la base de lancement du projectile. Le problème est le même dans tous les azimuts ; on considère donc le problème dans un plan vertical,contenant O, d'azimut donné, disons l'Est. De plus,pour simplifier,on considère le boulet B (lancé à une vitesse initiale Vo), tombant dans le vide, dans un champ de pesanteur uniforme g.

Sa trajectoire sera dans le plan vertical (O, Vo, g). Selon la célèbre loi de la chute libre énoncée en 1602 par Galilée (1568-1642), son mouvement ne dépend ni de sa masse, ni de sa densité.

Il est régi par la seule équation :

${\vec {OB}}={\frac {1}{2}}.{\vec {g}}t^{2}+{\vec {V_{0}}}.t$ ,

qui est l'équation d'une parabole en coordonnées affines (de vecteurs de base g et Vo).

Pour un module Vo donné, quelle que soit la direction donnée à la « hausse » du canon, certains points seront hors de portée du canon. L'ensemble de ces points forme une région du plan limitée par une courbe (C) qui « entoure » le point O ; au-delà de (C), « on est en sûreté », d'où le nom de la courbe.

Dans le cas présent, (C) est une parabole, d'où le titre de l'article : parabole de sûreté :

• la portée horizontale du tir est maximale si $p={\frac {V_{0}^{2}}{g}}$
• la hauteur maximale atteinte (en tirant verticalement) est moitié moindre : $h=OH={\frac {V_{0}^{2}}{2g}}$
• L'équation cartésienne de la parabole de sûreté est donc : $y=h-{\frac {x^{2}}{2h}}$ .
• En coordonnées polaires,d'origine O,en prenant pour axe origine la verticale ascendante,c'est à dire en partant de l'apex H de la parabole,son équation est alors :

$OP=r={\frac {p}{(1+cos\theta )}}$ ,

Limitations du modèle == Evidemment, cette modélisation est simpliste et ne correspond pas à la réalité pour au moins trois raisons :

• il faudrait tenir compte de la résistance de l'air ( car on tire sur Terre et pas sur la Lune ! ), dont l'action sur un solide en rotation est très compliquée.
• si la vitesse est plus grande que Vo = 1km/s ( soit non très petite devant la première vitesse cosmique de 8.2 km/s ), la portée maximale de 100km commence à être suffisamment grande pourque l'on ait à faire la correction de courbure de la Terre ; alors le concept d'ellipse de sûreté est mieux adapté.
• pour une telle portée, il FAUT compter avec la rotation de la Terre , et négliger la force d'inertie de Coriolis serait une erreur (par exemple, la Grosse Bertha qui tirait sur Paris,en 1916,rectifiait son tir en conséquence).

Démonstration == Elle a été donnée par Galilée, améliorée par Torricelli, son élève (de 1640 à 1642). La voici :

Démonstration

Démonstration

Voici une première démonstration, dite "algébrique" ( elle sera suivie par une deuxième démonstration plus élégante, mais plus "savante", celle historique de Torricelli).

• L'équation d'une trajectoire du boulet B,pour un lancement selon une "hauteur" alpha, est :

1. $x=Vocos\alpha \cdot t$ ; $y=Vosin\alpha \cdot t-1/2\cdot gt^{2}$
2. L'enveloppe de toutes ces courbes paraboliques,lorsque alpha varie, est la courbe de sûreté. Clairaut a donné la méthode pour faire ce calcul. Mais on peut aussi dire ceci :

• pour un tir vertical, le point maximal sera sur la courbe : OH = h = Vo²/2g.
• la portée maximale est p = 2h ! la courbe passe par ce point.
• SI c'est une parabole, par symétrie d'axe vertical, alors c'est : y = h - x²/2h
• Achevons la démonstration : pour qu'un point P(xo,yo) soit atteint,à une date t quelconque (positive ! ),il faut qu'il existe une solution simultanée en alpha aux deux équations précédentes : soit par élimination de t, soit par élimination de alpha, on obtient : y = h - x²/2h . CQFD.

1. Note : beaucoup d'ouvrages préfèrent passer par l'écriture de l'équation de la trajectoire du boulet, et faire apparaître une équation du second degré en tan(alpha) ; oui, c'est une démonstration que l'on voit dans certains ouvrages français.

---

• Voici maintenant la démonstration de Torricelli :

L'essentiel tient dans la remarque intuitive (?) suivante :

pour atteindre sur une droite, inclinée de $\theta$ sur la verticale, la portée maximale,OP, il faut tirer selon la bissectrice. Ceci résulte du fait que la petite variation du vecteur Vo de module constant est PERPENPICULAIRE à Vo. Il en résultera que la tangente commune en P à la meilleure trajectoire ET à la courbe (C) sera perpendiculaire à Vo. (Evidemment, réciproquement, pour le point P , c'est O qui est la "portée maximale").Ceci une fois bien compris, le reste n'est que calcul géométrique.

Soit $\phi$ = angle (OH,Vo). Soit P le point de portée maximale,sur (C). Il faut démontrer que $\theta =2\phi$, et que OP = p/2$cos^{2}\phi$, avec p/2 = OH.

or, OB = Vo.t -1/2 .g.t^2 = OR +RB.

Dessiner OQ = 1/2.g.t^2 = BR ;

alors V(t) = Vo- g.t = 1/t .(OR + 2.RB)== 1/t .QB.

Or quand OB est maximal, B est confondu avec le point "caractéristique" P , QB := QP ;

ET QP , "droite caractéristique ", doit être parallèle à la petite variation de Vo, donc perpendiculaire à Vo.

Alors, OPRQ est le losange de la figure de Torricelli, de côtés égaux OP=RP=RQ=OQ = 1/2 g.t^2, de centre I : la cote de I vaut z(I) = OH, pour toute direction ; et IP est perpendiculaire à OI.

P(t) décrit donc l'antipodaire de la droite parcourue par I, vue de l'origine O :CQFD [ou bien par le calcul, $OI={\frac {OH}{cos\phi }}$ et $OP={\frac {OI}{cos\phi }}$, soit $OP={\frac {OH}{cos^{2}\phi }}$, CQFD].

[REMARQUE : La démonstration géométrique de Newton, reprise dans Brousse (cours de mécanique rationnelle) est très proche de celle-ci. On peut lui préférer la démonstration algébrique de géométrie affine : soient pour directions d'axes la verticale et la droite inclinée OB = OB .u , et Vz + Vu = Vo, la décomposition de Vo sur ces axes. Alors OB(t) = (-1/2.g .t^2 + Vz .t) + Vu .t ; donc OB = 2VuVz/g à maximiser (compte-tenu de la contrainte Vo^2 =donnée). On en revient à un extremum de Didon et donc Vu = Vz : la vitesse initiale doit être choisie bissectrice, et puis retour au "losange" OPRQ ;

 

Note d'Histoire ==

Le père minime Mersenne (1588-1648) fut ébahi par une démonstration si simple, qui de plus assignait le foyer F de la "meilleure" parabole à être sur la droite OP et à distance constante de O (donc OF = OH): "tout cette recherche est résumée en un demi-cercle" , écrira-t-il au jeune Huygens (1629-1695), alors jeune homme ( en 1642!), qui répondit immédiatement qu'il en était « fort bien ainsi » et qu'il n'était nullement surpris.

La clef du problème tient bien sûr dans le caractère losange du parallélogramme OPRQ, correctement énoncée par Torricelli : OP est maximum si Vo est bissectrice et elle l'est par caractère affine du problème : QP est bien perpendiculaire en I à OR !

• Bien faire attention : ce sont alors des problèmes de théoriciens mathématiciens : on est bien loin de se préoccuper de la trajectoire réelle d'un boulet( bien mieux décrite par Tartaglia qui avait signalé l'existence d'une asymptote verticale en présence d'air)

En réalité, Torricelli est le premier à mettre la relativité galiléenne en acte : son idée ? Extrêmement simple, mais géniale : quelle que soit la position B1 du boulet B, à l'instant t1, avec la vitesse V1, il suffit de se placer dans le référentiel galiléen tangent pour retrouver une chute verticale B1B = 1/2 g (t-t1)^2. Ce sera pour la première fois sans doute le fameux dessin du « funiculaire à rochets » : le mobile poursuit sa course tangentielle , et retombe sur sa trajectoire, etc. Un peu avant , le mobile est en P1 ; un peu après en P2 ; et P1P2 tangent à la trajectoire est confondu avec QP. Cette figure étant apprise très jeune par Huygens, cela ne lui posera aucun problème de calculer ensuite l'accélération centripète du mouvement circulaire (encore qu'il préférât toujours parler de force centrifuge). Il y avait encore un pas à franchir : ce fut le fait de Newton.

Note : Relativité galiléenne ? Ch.Villain est l'auteure d'une thèse sur la relativité galiléenne au XVIIème siècle. La question est alors la suivante, non tranchée actuellement puisqu'il faudrait retrouver les écrits post-1643 de Torricelli :

1. Mais encore bien plus : Torricelli a-t-il pu traiter formellement le problème de covariance galiléenne suivant : soit une vitesse nulle au départ. Intuitivement le corps tombe verticalement : OB = k f(t).

Appliquons maintenant le principe d'inertie et celui de relativité galiléenne et l'invariance temporelle et locale des lois : pour 2 temps t1 et t2, on doit avoir :

OB(t1+t2) = V°(t1+t2) + k f(t1+t2) = OB1 + V1.t2 + k f(t2), avec OB1 = V°.t1 +k f(t1) et V1 = V° +k f '(t1).

Soit f(t1+t2) = f(t1) + f(t2) + f '(t1).t2

Comme t1 et t2 sont commutatifs, f'(t1).t2 = f'(t2).t1 : donc f'(t)/t=cste ; la vitesse est nécessairement fonction linéaire du temps : f'(t) = g.t : dans un champ invariant par position, c’est-à-dire produisant en tout point initial, de vitesse nulle, le même mouvement, alors la relativité galiléenne impose la linéarité temporelle de la vitesse : V(t) = g.t .

voir aussi==

• ellipse de sûreté
• Koyré : études galiléennes
• Koyré : étude sur le mouvement de chute des graves.
• Pour la relativité , voir Ch Villain : Huygens et la relativité.

Nouvelle rédaction

juil 2010

--Guerinsylvie (d) 16 juillet 2010 à 12:56 (CEST) ...Bonjour, que tout cela est vieux, vieilli.

L'apposition d'un bandeau a stoppé tout ce bel élan, cette belle ferveur !

Retour donc à un style plus proche de :

In classical mechanics and ballistics, the parabola of safety or safety parabola is the envelope of the parabolic trajectories of projectiles shot from a certain point with a given speed at different angles to horizon in a fixed vertical plane. The fact that this envelope is a parabola had been first established by Evangelista Torricelli and was later reproved by Johann Bernoulli using the infinitesimal calculus methods of Leibniz.

The paraboloid of revolution obtained by rotating the safety parabola around the vertical axis is the boundary of the safety zone, consisting of all points that cannot be hit by a projectile shot from the given point with the given speed. [edit] References : Philip Robinson, On the Geometrical Approach to Projectile Motion, The Mathematical Gazette, Vol. 82, No. 493, 1998, pp. 118–122.

Pourquoi pas ? cela donne à peu près ceci :

La parabole de sûreté d'un missile désigne en balistique extérieure la courbe-enveloppe de toutes les trajectoires possibles du missile envoyé d'un canon, lorsque la hausse du canon est changé. C'est une parabole. Au-delà, le missile ne saurait tomber ; on est en sûreté : d'où le nom de la courbe.

Torricelli établit ce fait géométriquement (1641); Newton et Jean Bernoulli reprendront ce problème par l'analyse (1687).

tentons, on verra.

--Guerinsylvie (d) 26 juillet 2010 à 13:11 (CEST) :- Bonjour, j'ai été revertée ! courage, continuons ; j'enlève le paragraphe "relativité galiléenne" qui n'a plus rien à faire ici !! je place néanmoins ici ce que j'ai ôté provisoirement ( garder trace ! ) :

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L'essentiel tient dans la remarque intuitive (?) suivante :

pour atteindre sur une droite, inclinée de $\theta$ sur la verticale, la portée maximale,OP, il faut tirer selon la bissectrice. Ceci résulte du fait que la petite variation du vecteur Vo de module constant est PERPENPICULAIRE à Vo. Il en résultera que la tangente commune en P à la meilleure trajectoire ET à la courbe (C) sera perpendiculaire à Vo. (Evidemment, réciproquement, pour le point P , c'est O qui est la "portée maximale").Ceci une fois bien compris, le reste n'est que calcul géométrique.

Soit $\phi$ = angle (OH,Vo). Soit P le point de portée maximale,sur (C). Il faut démontrer que $\theta =2\phi$, et que OP = p/2$cos^{2}\phi$, avec p/2 = OH.

or, OB = Vo.t -1/2 .g.t^2 = OR +RB.

Dessiner OQ = 1/2.g.t^2 = BR ;

alors V(t) = Vo- g.t = 1/t .(OR + 2.RB)== 1/t .QB.

Or quand OB est maximal, B est confondu avec le point "caractéristique" P , QB := QP ;

ET QP , "droite caractéristique ", doit être parallèle à la petite variation de Vo, donc perpendiculaire à Vo.

Alors, OPRQ est le losange de la figure de Torricelli, de côtés égaux OP=RP=RQ=OQ = 1/2 g.t^2, de centre I : la cote de I vaut z(I) = OH, pour toute direction ; et IP est perpendiculaire à OI.

P(t) décrit donc l'antipodaire de la droite parcourue par I, vue de l'origine O :CQFD [ou bien par le calcul, $OI={\frac {OH}{cos\phi }}$ et $OP={\frac {OI}{cos\phi }}$, soit $OP={\frac {OH}{cos^{2}\phi }}$, CQFD].

[REMARQUE : La démonstration géométrique de Newton, reprise dans Brousse (cours de mécanique rationnelle) est très proche de celle-ci. On peut lui préférer la démonstration algébrique de géométrie affine : soient pour directions d'axes la verticale et la droite inclinée OB = OB .u , et Vz + Vu = Vo, la décomposition de Vo sur ces axes. Alors OB(t) = (-1/2.g .t^2 + Vz .t) + Vu .t ; donc OB = 2VuVz/g à maximiser (compte-tenu de la contrainte Vo^2 =donnée). On en revient à un extremum de Didon et donc Vu = Vz : la vitesse initiale doit être choisie bissectrice, et puis retour au "losange" OPRQ ; la démonstration par "tan$alpha$" optimal est aussi très utilisée].}}

Note d'Histoire ==

« Le père minime Mersenne (1588-1648) fut ébahi par une démonstration si simple, qui de plus assignait le foyer de la "meilleure" parabole à être sur la droite OP et à distance constante de O (donc égale à OH): "tout cette recherche est résumée en un demi-cercle" » , écrira-t-il au jeune Huygens (1629-1695), alors jeune homme ( en 1642!), qui répondit immédiatement qu'il en était « fort bien ainsi ».

La clef du problème tient bien sûr dans le caractère losange du parallélogramme OPRQ, correctement énoncée par Torricelli : OP est maximum si Vo est bissectrice et elle l'est par caractère affine du problème : QP est bien perpendiculaire en I à OR !

Bien faire attention : ce sont alors des problèmes de théoriciens mathématiciens : on est bien loin de se préoccuper de la trajectoire réelle d'un boulet(bien mieux décrite par Tartaglia qui avait signalé l'existence d'une asymptote verticale en présence d'air)

En réalité, Torricelli est le premier à mettre la relativité galiléenne en acte : son idée ? Extrêmement simple, mais géniale : quelle que soit la position B1 du boulet B, à l'instant t1, avec la vitesse V1, il suffit de se placer dans le référentiel galiléen tangent pour retrouver une chute verticale B1B = 1/2 g (t-t1)^2. Ce sera pour la première fois sans doute le fameux dessin du « funiculaire à rochets » : le mobile poursuit sa course tangentielle , et retombe sur sa trajectoire, etc. Un peu avant , le mobile est en P1 ; un peu après en P2 ; et P1P2 tangent à la trajectoire est confondu avec QP. Cette figure étant apprise très jeune par Huygens, cela ne lui posera aucun problème de calculer ensuite l'accélération centripète du mouvement circulaire (encore qu'il préférât toujours parler de force centrifuge). Il y avait encore un pas à franchir : ce fut le fait de Newton.

Relativité galiléenne ?

Mais encore bien plus : Torricelli a-t-il pu traiter formellement le problème de covariance galiléenne suivant : soit une vitesse nulle au départ. Intuitivement le corps tombe verticalement : OB = k f(t). Appliquons maintenant le principe d'inertie et celui de relativité galiléenne et l'invariance temporelle et locale des lois : pour 2 temps t1 et t2, on doit avoir :

OB(t1+t2) = V°(t1+t2) + k f(t1+t2) = OB1 + V1.t2 + k f(t2), avec OB1 = V°.t1 +k f(t1) et V1 = V° +k f '(t1).

Soit f(t1+t2) = f(t1) + f(t2) + f '(t1).t2

Comme t1 et t2 sont commutatifs, f'(t1).t2 = f'(t2).t1 : donc f'(t)/t=cste ; la vitesse est nécessairement fonction linéaire du temps : f'(t) = g.t : dans un champ invariant par position, c’est-à-dire produisant en tout point initial, de vitesse nulle, le même mouvement, alors la relativité galiléenne impose la linéarité temporelle de la vitesse : V(t) = g.t . ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

aout 2010

--Guerinsylvie (d) 22 août 2010 à 13:28 (CEST) :bonjour, je tente à nouveau une simplification drastique ( et je mets de côté ce que j'ai enlevé ici) :

reliquat provisoirement conservé  : reliquat-poubelle, à nettoyer :

Cette parabole a son foyer F situé à une distance h de O. La droite (OF) recoupe la parabole en un point C, dit point de Torricelli, de coordonnées $x={\frac {2h}{\tan(\alpha )}}$ et $z=2h-{\frac {h}{\sin ^{2}(\alpha )}}$, et situé à une distance ${\frac {h}{\sin ^{2}(\alpha )}}$ de O. Ce point C est atteint à l'instant $t_{0}={\frac {2h}{V_{0}\sin(\alpha )}}$. Par ailleurs, l'angle ${\widehat {zOF}}={\widehat {zOC}}=\pi -2\alpha$, ce qui signifie qu'on atteint le point C en visant selon la bissectrice de l'angle zOC.

Pour un module V₀ donné, quelle que soit la direction donnée à la hausse du canon, certains points du plan seront hors de portée du canon. L'ensemble de ces points forme une région du plan limitée par une courbe (C) qui entoure le point O. Au-delà de (C), « on est en sûreté », d'où le nom de la courbe. Dans le cas présent, on montre que (C) est une parabole, lieu des points de Torricelli des diverses trajectoires paraboliques.

• En coordonnées polaires, d'origine O, d'axe-origine la verticale ascendante (c'est à dire en partant de l'apex H = (0,h) de la parabole et en prenant comme angle polaire $\phi =\pi /2-\alpha$), l'équation $r=r(\phi )$ s'écrit :

$r={\frac {2h}{1+\cos \phi }}$.

• Géométriquement, c'est la parabole de foyer O et de directrice la droite horizontale d'équation z = 2h, c'est à dire aussi l'antipodaire par rapport à O de la droite z = h.

• Démonstration

Elle a été donnée par Galilée (1638)^{[réf. nécessaire]} améliorée par son élève Torricelli (1641)^{[réf. nécessaire]}. Il suffit de vérifier que la trajectoire du projectile est tangente à la courbe (C) au point C, point de Torricelli de la trajectoire.

Cela se montre géométriquement de la façon suivante : soit H la projection de O sur la directrice. On a vu plus haut que OH = OF. Mais la situation est similaire pour un point atteignable M (il suffit d'imaginer qu'on retourne le temps. On tire depuis M vers O). Soit K la projection de M sur (D), alors MK = MF. F doit donc être intersection du cercle de centre O et de rayon h = OH, et du cercle de centre M et rayon MK. Il y a en général deux solutions, correspondant à deux trajectoires possibles pour atteindre le point M, l'une plombée et l'autre tendue. M est le point de l'enveloppe cherchée lorsque les deux solutions coïncident, ce qui se produit lorsque les deux cercles déterminant F sont tangents l'un à l'autre en F, et donc lorsque OM est corde focale. M est donc bien le point C.

On peut aussi utiliser directement les coordonnées du point C et calculer les vecteurs tangents à la trajectoire et à la parabole de sûreté pour vérifier qu'ils sont effectivement colinéaires.

remarques

remarque : Toutes les trajectoires ont même directrice, la droite (D) d'équation z = h. Le triangle orthoptique de la corde focale OC, à savoir OIC, a son sommet en I, situé sur (D) : l'angle OIC est droit. Quand $\alpha$ varie, I décrit la droite (D) et C décrit l'antipodaire de (D) vue de O : c'est bien la parabole (C) sus-indiquée.

remarque : C joue un rôle similaire à O, par retournement du temps, donc la tangente en C est bissectrice de l'angle OCz. On retrouve bien la notion de triangle orthoptique OIC. Par ailleurs, Torricelli fait remarquer que $OI={\frac {h}{\sin(\alpha )}}={\frac {V_{0}t_{0}}{2}}$ et que $OB(t_{0})=OC={\frac {gt_{0}^{2}}{2}}={\frac {h}{\sin ^{2}(\alpha )}}$ , ce qui donne la valeur de t₀ en fonction de $\alpha$.

• Une démonstration "à la Clairaut" serait : comme le module Vo est constant, quand ${\vec {V_{0}}}$ varie, sa dérivée lui est orthogonale. "Donc", la tangente au point "caractéristique" B(to)= P est perpendiculaire à ${\vec {V_{0}}}$.
• Une autre démonstration de "il faut lancer toujours selon la bissectrice" est : en coordonnées affines, la portée est ~vx.vy , avec Vo donné : donc par Didon-adapté, vx = vy.

 

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Je ne suis pas autrement ennuyée de "liquider ce reliquat", car j'étais une des rares protagonistes de la méthode géométrique. Je placerai la figure_géométrique correspondant à l'équation du second degré, ici bientôt. (Il s'agit de l'intersection de deux cercles ).

• Il faut bien reconnaître que cette jolie démonstration de Torricelli n'est plus de mode aujourd'hui, compte-tenu de la déperdition des connaissance concernant les coniques vues par foyer_directrice. Néanmoins, pour l' ellipse de sûreté, je ne connais pas de méthode analytique simple ...la méthode géométrique semble plus aisée.¤¤¤ cordialement--Guerinsylvie (d) 22 août 2010 à 13:28 (CEST)

C'est un peu dommage de supprimer la démo géométrique qui est particulièrement élégante. Theon (d) 22 août 2010 à 13:46 (CEST)

Range of a projectile

--Guerinsylvie (d) 26 juillet 2010 à 15:19 (CEST):- Bonjour,

pour en avoir le coeur net, je suis allée voir l'article en : range of a projectile : les calculs m'ont laissée abasourdie. néanmoins, pour respecter leur notation, j'ai changé celle de la WP française. Mais, j'ai proposé une version dans la tradition géométrique. Il me manque les figures, que je ne sais pas faire, mais si qq'un veut me tutoriser, je veux bien. .

• L'article me semble plus propre ainsi. Pour les machines de siège, voir le cours de poliorcétique.
• je me souviens, il y a longtemps, un article sur le lancer de poids avait été "blanchi" : apparemment, je constate que cela intéressait la WP-en : d'un pays à l'autre...En tout cas, la réponse est claire : 45°-eps, avec eps = 1/2 Arcsin ( yo/2P) ~ yo/4P , soit eps ~1.80m/4.20m ( ce qui était évident a prioir si l'on pense que l'angle est voisin de 45°); inutile de chercher mieux, il y a aussi la résistance de l'air à prendre en compte !

Wikialement, sylvie.

Ellipse de sûreté

--Guerinsylvie (d) 11 août 2010 à 18:42 (CEST) : Bonjour, je viens de "nettoyer" ellipse de sûreté : la démonstration y est plus claire ; j'y ai introduit le point de Torricelli, C, de la Trajectoire (T); il suffit de montrer que c'est le point de contact avec (C) pour conclure ; du coup,je l'introduit ici ; cela me semble être la plus simple des démonstrations( qui se résument toutes à : c'est la corde focale qui est la clef ! ). Je viens de regarder qq autres Pedia : il est curieux que cette démonstration dûe à Torricelli ( ~1639) ne soit pas plus utilisée.

--Guerinsylvie (d) 22 août 2010 à 13:34 (CEST) : soit ! la messe est dite, pour moi : je ne vais défendre la méthode géométrique que pour ellipse de sûreté. A contrario, je simplifierai tous les " gros calculs" faits dans d'autres articles ( portée, ou range , etc ), en utilisant cette nouvelle rédaction d'août 2010.

Système d'unités réduites

--Guerinsylvie (d) 22 août 2010 à 14:09 (CEST) : bonjour, "amo" , j'aimerais mieux réécrire tout l'article avec comme unité Vo=1 et g= 1 , c'est à dire H=Vo²/g comme unité et garder h = H/2 comme unité secondaire. Ainsi l'équation de C serait : z/H = 1/2 -x²/2H². Certes, cela n'apparaît pas comme plus facile ici. Mais dès qu'on manipule un peu les calculs... ( cf ma page de discussion ).

Avantage de la citadelle (??)

Je comprends que, dû à l'histoire de l'article qui disposait d'un exemple détaillé, il y ait une partie intitulé "Avantage de la citadelle", mais en le lisant aujourd'hui, ça semble hors-sujet. Il faudrait rajouter ou enlever quelque chose. Jelt (discuter) 4 novembre 2013 à 23:30 (CET)