Discussion:Phénomène de Runge
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Je me suis contenté de traduire l'article de wikipedia anglais. Il y a encore du boulot.
Interpolation ou approximation ?[modifier le code]
L'article utilise les deux termes sans véritable distinction mais il me semble qu'à la différence d'une approximation, l'interpolation passe forcement par les points. Donc on ne devrait pas utiliser du tout le terme d'approximation ici... non?
my 2 cents
--Plouceur 30 août 2006 à 22:00 (CEST)
- tu as raison sur la différence. Mais le phénomène de Runge montre qu'une interpolation ne constitue justement pas une bonne approximation. L'idée naïve (vraie dans certains cas) voudrait qu'en multipliant le nombre de points d'interpolation, le polynôme interpolateur se rapproche de la fonction. Le phénomène de Runge montre que ce n'est pas le cas. L'article ne fait pas d'erreur, mais devrait poser le problème plus clairement au départ vu qu'il y a risque de confusion justement. J'essaye d'améliorer Peps 31 août 2006 à 00:16 (CEST)
L'approximation est de plus en plus mauvaise.[modifier le code]
L'approximation n'est pas de plus en mauvaise, il me semble qu'après un certain niveau, la courbe recolle à niveau même vers les bornes, je viens d'essayer pour des degrés > 20 sous scilab cela à l'air de fonctionner.
- je vois deux raisons possibles
- le phénomène de Runge ne s'observe pas avec n'importe quelle fonction : il y a des fonctions pour lesquelles l'interpolation donne une bonne approximation. Il faut donc utiliser par exemple celles citées dans l'article.
- il peut y avoir un pb d'affichage à cause des très grosses variations d'amplitude
- chez moi (avec Maple), l'approximation est vraiment nulle pour n=50, sauf sur la portion centrale où elle est excellente Peps (d) 19 décembre 2007 à 18:28 (CET)
- En effet cela est surement à l'affichage, j'ai comparé la soustraction des deux courbes, et en effet il y quelque chose qui collent de moins en moins lorsqu'on augmente le degré du polynome. Mea-culpa
Effectivement le phénomène de Runge ne s'observe pas avec des fonctions très régulières, comme l'exponentielle. En effet on montre que si la fonction f est analytique et que le rayon de convergence R de sa série entière vérifie R > 3a, alors les polynômes interpolateurs tendent vers f uniformément sur [-a,+a] quand leurs degré augmente. Le phénomène de Runge est donc typiquement un problème de bord.