Discussion:Produit libre

Ambiguïté

Ce passage me semble poser un problème :

« Un mot sur G et H est un produit formel s₁s₂…s_n où chaque s_i est un élément de G ou de H. On peut réduire un tel mot en répétant le plus possible les deux opérations :

• effacer une occurrence de l'élément neutre de G ou de H
• remplacer une succession de deux éléments de G par un seul élément : leur produit dans G, ou une succession de deux éléments de H par leur produit dans H. »

Supposons que G et H aient deux éléments communs a et b tels que le composé de a et de b ne soit pas le même dans G et dans H. Comment va-t-on réduire le mot (de deux lettres) ab ? Va-t-on prendre le produit dans G ou dans H ? Je pense que pour être rigoureux, il ne faut pas prendre ici des « mots » définis comme multiplets d'éléments de $G\cup H$, mais des multiplets de couples, chacun de ces couples étant de la forme (i,x), avec i égal à 1 ou à 2 et x appartenant à G si i = 1, à H si i = 2. Si au lieu d'écrire G et H, on écrit $G_{1}$ et $G_{2}$, cela devient : un « mot » est un multiplet de couples, chacun de ces couples étant de la forme (i,x), avec i égal à 1 ou à 2 et x appartenant à $G_{i}$.

Donc un mot est de la forme

$((i_{1},x_{1}),(i_{2},x_{2}),...,(i_{n},x_{n}))$

avec $i_{j}\in \{1,2\}$ pour tout j et $x_{j}\in G_{i_{j}}$ pour tout j. Autrement dit, les « lettres » formant les « mots » ne sont pas les éléments de la réunion de $G_{1}$ et $G_{2}$, mais les éléments de leur « réunion disjointe ».

Alors, le « mot » ab ne pose plus de problème, car il y a en fait quatre mots distincts

((1,a),(1,b)),

((2,a),(2,b)),

((1,a),(2,b))

et ((2,a),(1,b)).

Le premier de ces mots se réduit en (1,ab) [Edit : plus rigoureusement ((1,ab)) ], où ab est calculé dans $G_{1}$, le second de ces mots se réduit en (2,ab) [Edit : plus rigoureusement ((2,ab)) ], où ab est calculé dans $G_{2}$, et les deux autres ne se réduisent pas. (« Édité ». Marvoir (discuter) 16 janvier 2016 à 08:28 (CET))

Sauf objection, je modifierai l'article dans ce sens un de ces jours. Marvoir (discuter) 15 janvier 2016 à 16:36

Il serait moins lourd de préciser, comme Hungerford, qu'on peut supposer G et H disjoints. Anne 16/1, 0h9

Est-il vraiment plus lourd de parler de la réunion disjointe des deux groupes, comme je le fais, que de supposer qu'ils sont disjoints ? Il me semble que ce n'est pas plus lourd et que ça a l'avantage de permettre de parler du produit libre d'une famille de groupes sans devoir ou bien s'assurer qu'ils sont deux à deux disjoints ou bien construire une famille de groupes qui leur sont respectivement isomorphes et sont, eux, deux à deux disjoints, ce qui revient à construire la réunion disjointe de la famille. Marvoir (discuter) 16 janvier 2016 à 07:28

Ça saute aux yeux que c'est plus lourd de reconstruire explicitement la réunion disjointe comme tu le fais que de l'utiliser sans repartir de zéro comme le fait Hungerford. Anne, 16/1, 9h59

Supposer que les groupes sont disjoints, c'est peut-être utiliser implicitement la réunion disjointe, mais c'est moins rigoureux que de le faire explicitement. Je n'ai jamais dit que je reprendrais dans l'article tous les détails que j'ai donnés ici, il suffirait de dire que si dans le mot

$((i_{1},x_{1}),(i_{2},x_{2}),...,(i_{n},x_{n})),$

on a $i_{j}=i_{j+1}$ pour un certain j, remplacer $(i_{j},x_{j}),(i_{j+1},x_{j+1})$ par $(i_{j},x_{j}x_{j+1})$ est une réduction du mot de départ. C'est vraiment bien peu de lourdeur pour devenir rigoureux. D'ailleurs

1° Bourbaki définit le produit libre d'une famille de groupes à l'aide de leur réunion disjointe (il dit « ensemble somme »):

2° on peut définir le groupe libre construit sur un ensemble X comme le produit libre d'une famille $(\mathbb {Z} )_{x\in X}$, indexée par X, de groupes tous égaux à Z, mais on n'écrit pas un éléments de ce groupe libre comme un multiplet d'entiers rationnels, on l'écrit sous la forme

$x_{1}^{r_{1}}...x_{n}^{r_{n}}$

où les $x_{i}$ parcourent X et où les $r_{i}$ parcourent Z.

C'est dans toute sa splendeur un multiplet d'éléments de la réunion disjointe de la famille $(\mathbb {Z} )_{x\in X}$. Marvoir (discuter) 16 janvier 2016 à 10:45 (CET)