Discussion:Série formelle

classification

La catégorie "analyse" pour les séries formelles est discutable : comme il est bien dit en début d'article, l'adjectif "formel" signifie qu'on ne se préoccupe pas des questions de convergence (même si par ailleurs il existe une structure d'espace métrique sur l'algèbre $R[[X]]$ pour laquelle toute série formelle est convergente). Je ne sais pas s'il faut aller jusqu'à supprimer la catégorie "analyse", mais il faudrait au moins indiquer la catégorie "algèbre".

Séries formelles de Laurent

L'article dit que les éléments du corps des fractions de l'anneau des séries formelles (à coefficients dans un corps commutatif) sont "les séries formelles de Laurent, de la forme :

$f=\sum _{n\geq -M}a_{n}X^{n}$

où M est un entier qui dépend de f."

La virgule entre "séries formelles de Laurent" et "de la forme" donne l'impression que toutes les séries formelles de Laurent sont de cette forme et qu'on introduit ici la définition d'une série formelle de Laurent. Or, d'après l'article anglais en:Formal_power_series#Formal_Laurent_series, une série formelle de Laurent peut être "illimitée dans les deux sens". Donc les éléments du corps des fractions ne sont que des séries formelles de Laurent d'un type particulier.

Bourbaki, Algèbre, chapitre IV, p. IV.37, consultable sur Google Books, appelle "séries formelles généralisées" les éléments du corps des fractions. Ne faudrait-il pas indiquer cette dénomination ? Et, au cas où les séries formelles de Laurent seraient (conformément à la terminologie anglaise) quelque chose de plus général que les éléments du corps des fractions, ne faudrait-il pas le dire clairement ? Marvoir (d) 28 décembre 2010 à 21:12 (CET)

À mon avis, sur un corps quelconque l'intérêt de considérer les sommes formelles sur $\mathbb {Z}$ est très limité, car cet ensemble a une structure additive mais pas de structure multiplicative naturelle, donc pas de structure naturelle d'anneau. Quant à la terminologie de Bourbaki, mon sentiment personnel est qu'elle n'est pas très heureuse (se méfier des termes généralisés quand il n'y a pas une généralisation standard), et elle n'est pas très suivie (une recherche sur google donne les articles d'une seule personne), alors que la définition de séries formelles généralisées donnée ici est reprise à plusieurs endroits. Liu (d) 28 décembre 2010 à 23:20 (CET)

En tout cas, nous n'avons pas à donner le pas à nos préférences sur l'usage. Si l'usage est d'appeler "série formelle de Laurent" une série pouvant être illimitée dans les deux sens, nous ne pouvons pas décréter qu'une série formelle de Laurent n'a qu'un nombre fini de termes (non nuls) à exposants négatifs. Si j'en juge par l'article en:Formal power series, "séries formelles de Laurent" ne convient pas pour désigner les élément du corps des fractions de l'anneau des séries formelles. La seule expression que je connaisse est celle de Bourbaki : séries formelles généralisées. (Par parenthèse, après avoir donné cette définition, Bourbaki ajoute qu'on dit aussi "série formelle" tout court au lieu de "série formelle généralisée". J'avais donc au moins raison sur un point quand je disais qu'un élément du corps des fractions s'appelle "série formelle".) Marvoir (d) 29 décembre 2010 à 08:49 (CET)

C'est vrai que les éléments du corps des fractions sont appelés "séries formelles de Laurent" dans Bernard RANDÉ (professeur de lycée), Fractions rationnelles et séries formelles, section 1.4.3, page AF 39-6, éd. Techniques Ingénieur, consultable sur Google Books.

Cauchon, « Une fonction eulérienne formelle », Collectanea Mathematica, 46, 1–2 (1995), 49–56p. 50, en ligne, parle du corps des séries formelles de Laurent. (Edit : ici, on pourrait chicaner : l'auteur parle du corps des séries formelles de Laurent, mais cela signifie-t-il que toutes les séries formelles de Laurent appartiennent à ce corps ?)

Même chose dans Jia-yan Yao, « Critères de non-automaticité et leurs applications », ACTA ARITHMETICA LXXX.3 (1997), en ligne, p. 237 (Edit : il parle du corps des séries formelles de Laurent, sans dire expressément que toute série formelle de Laurent appartient à ce corps.)

Définition très claire des séries formelles de Laurent comme éléments du corps des fractions dans Alin Bostan, « Algorithmes rapides pour les polynômes, séries formelles et matrices », ch. 8, Les cours du C.I.R.M, vol. 1, n° 2, 2010, p. 177, en ligne.

etc.

En revanche, je n'ai pas trouvé de texte où on parle de série formelle de Laurent illimitée dans les deux sens. Donc je n'ai plus d'objections à l'expression "série formelle de Laurent" pour désigner les éléments du corps des fractions. Mais je vais peut-être essayer de rendre l'article plus clair. Marvoir (d) 29 décembre 2010 à 10:24 (CET)

L'article de la wikipédia de langue anglaise sur les séries de Laurent en analyse complexe donne à la fin une définition des séries de Laurent formelles où apparaît la condition de finitude des termes non nuls d'exposant négatif (cf. en:Laurent series#See also), contredisant la définition que donne l'article sur les séries formelles (auquel il renvoie). De toute façon, l'ensemble des séries illimitées dans les deux sens n'a pas d'autre structure algébrique naturelle que celle d'espace vectoriel (pour s'en tenir au cas des coefficients dans un corps); si l'on veut définir un produit prolongeant celui des séries entières formelles, on est amené à ne conserver que les séries dont le support est borné à gauche. L'expression « le corps des séries formelles de Laurent » ne peut pas vouloir dire autre chose que « le corps de toutes les séries formelles de Laurent » (de même que « le corps des réels » est celui de tous les réels) et suppose donc qu'une série formelle de Laurent soit définie comme limitée à gauche. Vivarés (d) 29 décembre 2010 à 13:53 (CET)

Je vais m'occuper de modifier la page en:Formal power series. Liu (d) 29 décembre 2010 à 14:34 (CET)

Convergence évitée

Je ne mettrais pas que « les problèmes de convergence sont évités », car quand on parle de série formelle, il n'y a tout simplement pas de problème de divergence ou de convergence, car on ne cherche pas à sommer ces séries ou à les faire converger. Par analogie, c'est comme pour un polynôme qu'on ne cherche pas a priori à associer àune fonction. Que mettre alors? Par exemple, « que le problème de la convergence n'est pas le problème que traitent les séries formelles ». --Pierre de Lyon (discuter) 19 mars 2015 à 22:03 (CET)

Il y a bien une topologie naturelle (où je vais faire le ménage aussi) donc une notion de convergence. C'est seulement les problèmes qui sont évités, car les séries convergent naturellement (la déf de la topo est faite pour). Anne 19/3/15 23h13

Je te renvoie à la discussion que j'ai eu à propos des séries divergentes. Il me semble que tous ces aspects dit "naturels" de la convergences soient, sinon remis en cause, du moins affinés dans les travaux mathématiques actuels, notamment par les publications de Jean-Pierre Ramis. Je sais que cela va à l'encontre de beaucoup de résultats enseignés dans les cours d'analyse des premières années de l'enseignement supérieur, mais je pense qu'une science ne peut pas se reposer sur des dogmes.

D'autre part, une bonne partie des résultats sur les séries formelles restent valides sur les séries formelles dont le rayon de convergence (dans la topologie "naturelle") est 0. --Pierre de Lyon (discuter) 20 mars 2015 à 11:16 (CET)

Je ne veux pas être dogmatique mais pas polémique non plus (ce n'est pas le lieu). Il me semble que tu dévies sur du hors-sujet (ta discussion sur les séries divergentes, ou « les publications » de Ramis) — mais je ne comprends pas tout : je ne sais même pas ce qu'est le « rayon de convergence (dans la topologie "naturelle") d'une série formelle » (à coefficients, rappelons-le, dans un anneau quelconque). Cet article parle d'algèbre (même formulée en partie, de façon tellement spontanée qu'elle est devenue archi-classique donc encyclopédiquement incontournable, en termes topologiques) et non d'analyse. Anne 20/3/15 14h22

Je vais prendre un autre point de vue. Je trouve que l'introduction ne correspond pas à ma vision des séries formelles. En parlant de « convergence évitée », ne risque-t-on pas de troubler le lecteur? Car il y a bien une convergence, puisque dans la section "structure topologique", on présente une limite. En revanche, ce que ne traitent pas les séries formelles est le problème de la sommation. D'où d'ailleurs mon hors-sujet ci-dessus. On pourrait donc mettre que « les séries formelles ne traitent pas le problème de la sommation » ou pour être plus précis « de la sommation infinie ». --Pierre de Lyon (discuter) 21 mars 2015 à 12:13 (CET)

Je suis d'accord que la formulation actuelle risque de troubler le lecteur et qu'il faut l'améliorer, mais je ne comprends pas ta nuance entre ce qui est présenté dans "structure topologique" (surtout à la fin) et « les séries formelles ne traitent pas le problème de la sommation infinie ».

Accessoirement, j'en profite pour annoncer que (après avoir passé en revue la nuit dernière tous les articles liés) je vais me permettre plein de modifications d'intitulés de sections. En effet, le seul intitulé qui sert d'ancre à ce jour est le § Propriétés, et uniquement pour des allusions aux séries formelles de Laurent. Anne, 21/3/15, 21h11

Je me permets d'intervenir dans cette discussion. Je trouve que le fait d'introduire dès le départ la notation en Σ des séries formelles est source de confusion. Une présentation à mon sens plus satisfaisante (mais peut-être n'est-elle pas dans l'air du temps, ni adaptée au public d'une encyclopédie) consiste à définir une série formelle comme une suite $S=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ d'éléments de l'anneau R. En particulier, un polynôme formel est une série formelle (et non pas "s'identifie à") ; c'est une suite dont tous les éléments sont nuls à partir d'un certain rang. On définit ensuite les opérations usuelles (addition, multiplication, multiplication externe par les éléments de R) directement sur les suites, comme dans la construction classique des polynômes formels; on constate alors qu'on a une structure d'anneau et de R-module (l'article actuel ne mentionne pas la multiplication externe). Puis on définit l'indéterminée X comme la suite (la série formelle) dont tous les éléments sont nuls, sauf le deuxième, égal à l'élément unité de R.

On vérifie alors que toute série formelle « tronquée » $S_{N}=(b_{n})$ telle que $b_{n}=0$ pour tout n > N (autrement dit tout polynôme formel de degré inférieur ou égal à N) s'écrit $S_{N}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}X^{n}$, où la notation Σ est de nature purement algébrique.

Enfin, ayant défini la topologie ou encore la distance ad hoc sur l'ensemble des séries formelles, on constate que si $S=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une série formelle et que si pour tout N entier naturel on pose $S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}X^{n}$, alors $d(S_{N},S)\to 0$ lorsque $N\to +\infty$, ce qui par définition des séries convergentes dans un anneau muni d'une distance signifie que $S=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}X^{n}$ (la série de terme général $a_{n}X^{n}$ converge vers S dans l'anneau des séries formelles). C'est seulement à ce moment-là que la notation en Σ des séries formelles et la terminologie « série formelle » sont justifiées. On peut d'ailleurs « oublier » la structure de R-module de l'anneau des séries formelles en identifiant tout élément r de R avec la suite dont l'élément d'indice 0 est r, les autres étant nuls, c'est-à-dire en identifiant R avec un sous-anneau de l'anneau des séries formelles.

Cordialement, Vivarés (discuter) 22 mars 2015 à 13:00 (CET)

• OK pour « tout polynôme formel est une série formelle (et non pas "s'identifie à") » : j'ai rectifié.
• On peut remettre si tu veux la définition des 2 lois d'anneau en termes de suites, juste avant sa réécriture avec ∑, suivie des propriétés purement algébriques, mais je crois préférable de ne pas attendre d'avoir introduit une topologie pour utiliser cette notation usuelle ∑. J'ai mis un lien vers Construction de l'anneau des polynômes : peut-être faut-il insister plus explicitement, et prévenir que cette notation est purement formelle ?
• Inutile de définir la loi externe puis de l'« oublier » ensuite : j'ai mis un lien plus visible qui le justifie.

Cordialement, Anne, 22/3/15 15h38

Cela paraît satisfaisant. J'ai simplement émis quelques remarques que la discussion précédente m'a inspirées, sans autre intention. Vivarés (discuter) 22 mars 2015 à 20:17 (CET)

Substitution d'une série formelle dans une autre

Faut-il consacrer un paragraphe à ce sujet ? Stefan jaouen (discuter) 15 juillet 2022 à 21:11 (CEST)