Discussion:Sous-espace supplémentaire
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Définition à recycler[modifier le code]
La définition se mord a queue il me semble : comment définir une projection AVANT de disposer de supllémentaires ? De plus mettre la définition dans les propriétés équivalentes est pour le moins inhabituel.--Palustris (d) 23 décembre 2009 à 10:56 (CET)
Confusion fréquente[modifier le code]
Comprendre les définitions est indispensable et permet de distinguer les différentes notions. Souvent, les étudiants qui demandent les différences entre deux notions ne cherchent pas à comprendre réellement les notions en jeu. C'est une démarche à ne pas encourager. J'ai un peu peur que la présentation actuel de l'article n'encourage pourtant cette attitude (le paragraphe sur les différences est conséquent et apparaît avant même le paragraphe sur la définition !). — Le message qui précède, non signé, a été déposé par 88.178.225.58 (discuter), le 12 décembre 2012.
- Moi aussi ça me gêne dans une encyclopédie, c'est plutôt le style d'un cours (et encore : d'un cours « maternant », ce qui n'est pas forcément bien). D'un autre côté, il faut reconnaître que ça figure dans des bouquins (de ce style, justement) : [1], [2], [3]… Anne (d) 21 juillet 2013 à 10:01 (CEST)
Supplémentaire topologique (Banach ?)[modifier le code]
La partie sur les supplémentaires topologiques énonce trois équivalences dans le cadre d'espaces topologiques normés. À mon avis (mais je ne suis pas 100% sûr), il manque une hypothèse :
- soit on suppose la dimension finie
- soit on suppose que E soit de Banach (càd complets en plus d'être normé)
C'est ce que j'ai l'air de comprendre de (Bourbaki) qui dit à la page 10 que
> [...] nous verrons que cette condition est aussi suffisante si E est métrisable et complet.
Supposer Banach a aussi été le premier réflexe du premier commentaire de ma question sur stack..
Sinon, ce serait bien de mettre un lien vers une preuve, parce que là, je sèche ;)
Laurent.Claessens (discuter) 20 août 2022 à 16:56 (CEST)
- Je ne trouve pas, dans ton lien vers Bourbaki, la phrase que tu cites.
- Mais surtout, je ne vois pas en quoi ta "question sur stack" est difficile. Si E = F⊕G et si + : F×G → E est un homéo alors la bijection E/G → F est bien continue, puisqu'elle résulte du passage au quotient de la projection E → F, qui est continue par hypothèse.
- Ainsi, parmi les 3 propriétés de la partie sur les supplémentaires topologiques, on vient de prouver que 1 ⇒ 3 et 3 ⇒ 2. Pour prouver que 2 ⇒ 1, on remarque que d'après 2, la projection p : E → F est continue (comme composée) et on en déduit que l'autre projection, q : E → G aussi (car p + q = id). Anne (discuter) 20 août 2022 à 19:44 (CEST)
- Au temps pour moi, c'était à la page 6 et non 10 comme je le disais.
- Par contre je dois être fatigué parce que je comprends pas le raisonnement.
- Dire «+ : F×G → E est un homéo» est (1) et dire «[...] la projection E → F est continue par hypothèse» est (3).
- Donc on ne peut pas combiner les deux pour justifier (2).
- Par contre, l'utilisation de p+q=id pour prouver (1) est maligne. Je note.
- Bref... y'a quelque chose qui m'échappe. Quoi qu'il en soit, je retire ce que j'ai dit : je ne crois pas qu'il manque d'hypothèse (mais je ne suis pas encore 100% sur). En tout cas, il ya une réponse qui prouve ce qu'il me manquait dans (1) => (2). Laurent.Claessens (discuter) 21 août 2022 à 08:23 (CEST)
- Oui, « + : F×G → E est un homéo » est (1) et « la projection E → F est continue » est (3).
- Quand je dis « on vient de prouver que 1 ⇒ 3 et 3 ⇒ 2 », je veux bien dire que j'ai utilisé (3) pour prouver (2), et quand je dis « la projection E → F est continue par hypothèse », je veux dire que 1 ⇒ 3 est évident (si F×G → E est un homéo alors le projecteur E → E d'image F et de noyau G s'identifie à l'application continue F×G → F×G, (f, g) ↦ (f, 0)).
- La réponse sur StackExchange est donc excessivement laborieuse et inutilement limitée aux evn.
- Je vais ajouter en ref ta phrase de Bourbaki p. 6 mais elle ne concerne pas nos équivalences 1-2-3. Elle concerne les espaces dans lesquels des supplémentaires algébriques fermés sont automatiquement supplémentaires topologiques. Anne (discuter) 21 août 2022 à 09:11 (CEST)
- Merci. C'est clair maintenant. Il me maquait effectivement une connexion et quelques connaissances de base sur les applications quotient. Laurent.Claessens (discuter) 21 août 2022 à 15:22 (CEST)