Discussion:Suite arithmético-géométrique

Suppression de la série géométrique

Pourquoi avoir supprimé le fait qu'une suite arithmético-géométrique peut être vue comme une série géométrique ? Présenter plusieurs facettes d'un concept me semblait intéressant. HB (d) 5 février 2008 à 08:38 (CET)

Parce que je suis en train de remanier l'article et que je suis allé me coucher ^^. Je m'en occupe de suite, mais je préfère le mettre dans une nouvelle section. Valvino ^(discuter) 5 février 2008 à 12:33 (CET)

Trop compliqué

C'est beaucoup trop compliqué votre article — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 83.195.98.193 (discuter), le 10 septembre 2008.

pas mal

j'ai bien aimé ton article et j'aimerai contribuer, je souhaiterais ajouter une troisième démonstration qui ressemble à la deuxième mais en plus progressif et moin brutal, j'aimerais ajouter aussi la formule pour la somme des n termes consécutifs Ce commentaire non signé a été déposé le 21 juillet 2011 à 00:28 par Benguesmia  (d · c · b)

Merci. Concernant les démonstrations, il faut savoir que les avis sont partagées sur leur présence surtout quand elles sont le fruit d'un individu et ne renvoient pas à un livre car on ne peut pas toujours les vérifier. Mais tout le monde s'accorde pour dire qu'il ne faut pas les multiplier mais choisir celles qui sont les plus parlantes. J'ai donc supprimé l'ancienne démonstration que tu trouvais trop brutale. J'ai aussi modifié ton texte pour l'alléger, lui éviter un style trop personnel (ne pas employer nous ou vous dans le corps d'un article). J'ai supprimé les rappels sur les suites géométriques car les liens hypertextes jouent ce rôle là en permettant normalement d'aller lire l'article lié et j'ai homogénéisé les notations.

Sur la somme des termes, méfie-toi sur le nombre de termes, tu sembles confondre le nombre de terme et l'indice du dernier terme pris. J'ai corrigé. J'ai aussi supprimé tous les conseils sur tableur car un article encyclopédique ne doit pas être un cours.HB (d) 21 juillet 2011 à 09:02 (CEST)

PS: pour signer tes commentaires en page de discussion utilise 4 tildes~~~~.

merci pour ces conseils, c ma première contribution à wikipedia, c claire qu'avec tes corrections c plus lisible et plus concis. Personnellement je retiens plus facilement une formule si j'arrive à reproduire la démonstration!

Benguesmia (d) 21 juillet 2011 à 13:32 (CEST)

avis et correction

sur la somme des premiers termes de la suite j'ai testé sur un tableur la formule et j'ai bien vérifier le fait suivant : "pour connaitre la somme des 15 premiers termes consécutifs vous devez mettre n=16 (n=15+1)" c'est pour cela que je préfère cette notation :
$\sum _{i=0}^{n}u_{i}=(u_{o}-r){\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}+(n+1)r$
dans l'article si je met n=14 j'obtiens la somme des 13 premiers termes et non des 15 premiers termes, alors que ci-dessus je peux juste dire n=15 pour la somme des 15 premiers termes. peux tu tester et me corriger si je me suis trompé.. merci
Benguesmia (d) 21 juillet 2011 à 15:04 (CEST)

Dans ta formule, pour n=4 : $\sum _{i=0}^{4}u_{i}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}=(u_{0}-r){\frac {1-a^{5}}{1-a}}+5r$. Il s'agit bien de la somme des 5 premiers termes non?

Pour obtenir la somme des 4 premiers termes, il faut écrire $\sum _{i=0}^{4-1}u_{i}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}=(u_{0}-r){\frac {1-a^{4}}{1-a}}+4r$, c'est-à-dire prendre la formule $\sum _{i=0}^{n-1}u_{i}=(u_{o}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr$ avec n = 4.

C'est l'éternel problème du comptage à partir de 0. HB (d) 21 juillet 2011 à 15:58 (CEST)

oui effectivement, j'ai toujours pensé que le premier terme est $U_{1}$ alors qu'en fait c'est $U_{o}$

merci pour cette précision

Benguesmia (d) 21 juillet 2011 à 16:30 (CEST)

Vieux remord

Je sais que la définition est là depuis longtemps mais je me demande si elle est vraiment pertinente. La suite définie par u_n=1 pour n=0 jusqu'à 9 et u_n=2ⁿ+3 pour n supérieur ou égal à 10 vérifie notre définition et elle n'est pas pour moi arithmético-géométrique, elle ne l'est qu'à partir du rang 10. Certes, on évite par la suite tous les pièges (terme général donné seulement pour n plus grand que n₀, formule de la somme des premiers termes uniquement donnée dans le cas où n₀ = 0,...) mais ne vaudrait-il pas mieux revenir à une forme plus classique en parlant d'une suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq n_{0}}$ au lieu de $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ? HB (d) 6 décembre 2012 à 08:07 (CET)

La nuit portant conseil, je m'apprêtais à ouvrir une section disant en gros la même chose ! On pourait même, comme les bouquins que je vois sur GoogleLivres, définir une suite arithmético-géométrique comme une suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ vérifiant la récurrence à partir de 0 et ajouter – ou pas – que toute suite qui ne vérifie la relation qu'à partir du rang N coïncide à partir de ce rang avec une "vraie" suite arithmético-géométrique (constante si a nul et définie sinon, pour n < N, par récurrence descendante). Anne (d) 6 décembre 2012 à 08:16 (CET)

A part que, c'est un détail mais, si a est nul, la suite n'est constante (égale à b) qu'à partir de son second terme. Je préfère la remarque que je trouve dans le J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p.127 : on peut ramener l'étude d'une suite définie sur [n₀, + oo[ à une suite définie sur N en posant v_p=u_n0+p. HB (d) 6 décembre 2012 à 12:22 (CET)

OK, c'est plus sourçable, et valable même dans un anneau. Anne (d) 6 décembre 2012 à 12:38 (CET)

Cas a ≠ 1

Preuve actuelle :

Deux démonstrations

• Méthode classique

On cherche par translation à se ramener à une suite géométrique. Tout d'abord, on cherche r tel que [...] La suite $(v_{n})_{n\geq n_{0}}$ est donc géométrique [...]

• Méthode utilisant une série géométrique.

Une autre méthode consiste à voir dans la suite $(u_{n})$ une somme des termes d'une suite géométrique.

On remarque que

$u_{n_{0}+1}=au_{n_{0}}+b$

$u_{n_{0}+2}=a(au_{n_{0}}+b)+b=a^{2}u_{n_{0}}+ab+b$

$u_{n_{0}+3}=a(a^{2}u_{n_{0}}+ab+b)+b=a^{3}u_{n_{0}}+a^{2}b+ab+b.$

On démontre alors par récurrence que pour tout entier naturel k,

$u_{n_{0}+k}=a^{k}u_{n_{0}}+b\left(\sum _{0\leq i<k}a^{i}\right).$

L'expression entre parenthèses est la somme des k premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison a ;

$\sum _{0\leq i<k}a^{i}={\frac {1-a^{k}}{1-a}}.$

(Ces deux formules sont valides dès la valeur k = 0, avec la convention usuelle qu'une somme vide est nulle.)

On peut alors simplifier le terme général de la suite $u_{n}$ :

${\begin{aligned}u_{n_{0}+k}&=a^{k}u_{n_{0}}+b{\frac {1-a^{k}}{1-a}}\\&=a^{k}u_{n_{0}}-{\frac {ba^{k}}{1-a}}+{\frac {b}{1-a}}\\&=a^{k}\left(u_{n_{0}}-{\frac {b}{1-a}}\right)+{\frac {b}{1-a}}.\end{aligned}}$

En posant $r={\frac {b}{1-a}}$, on obtient

$u_{n_{0}+k}=a^{k}\left(u_{n_{0}}-r\right)+r$

d'où la formule annoncée, en notant $n=n_{0}+k$.

Proposition pour (outre modif de style mineure dans preuve 1) remplacer dans preuve 2 les "On remarque que" et "On démontre alors par récurrence que" par une méthode systématique, généralisable aux récurrences affines d'ordre supérieur donc plus instructive :

Deux démonstrations

• Par translation

Tout d'abord, on cherche r tel que [...] La suite $(v_{n})_{n\geq n_{0}}$ est donc géométrique [...]

• Par différences

En posant $w_{n}=u_{n+1}-u_{n}$, on se ramène à une récurrence linéaire :

$w_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_{n}+b)=a(u_{n+1}-u_{n})=aw_{n}.$

La suite $(w_{n})_{n\geq n_{0}}$ est donc géométrique, de raison $a$ et de premier terme

$w_{n_{0}}=u_{n_{0}+1}-u_{n_{0}}=au_{n_{0}}+b-u_{n_{0}}=(a-1)u_{n_{0}}+b,$

si bien que la somme de ses k premiers termes vaut, pour tout entier naturel k (avec, pour k = 0, la convention usuelle qu'une somme vide est nulle) :

$\sum _{0\leq i<k}w_{n_{0}+i}=w_{n_{0}}{\frac {a^{k}-1}{a-1}}={\frac {(a-1)u_{n_{0}}+b}{a-1}}(a^{k}-1).$

En posant $r={\frac {b}{1-a}}$, ceci se réécrit :

$u_{n_{0}+k}-u_{n_{0}}=(u_{n_{0}}-r)(a^{k}-1).$

On aboutit ainsi à

$u_{n_{0}+k}=(u_{n_{0}}-r)(a^{k}-1)+u_{n_{0}}=a^{k}(u_{n_{0}}-r)+r$

d'où la formule annoncée, en notant $n=n_{0}+k$.

(en remplaçant éventuellement partout $n_{0}$ par 0, cf. discussion précédente). Anne (d) 6 décembre 2012 à 12:20 (CET)

C'est sans conteste plus élégant. Je suis pour ma part assez favorable à alléger encore en remplaçant n₀ par 0, quitte à indiquer ensuite que la formule se généralise de telle façon pour une suite définie sur [n₀, + oo[.HB (d) 6 décembre 2012 à 13:06 (CET)