Discussion:Théorème de Green

Y-a-t'il des matheux dans l'avion?

Existe il plusieurs théorème de Green? Je pense que la version précédente était fausse, je l'ai remplacée par la traduction de en: -- Looxix 11 sep 2003 à 01:25

C'est bel et bien le théorème de Green. Il n'y a qu'un seul théorème de Green mais trois identités reliées à son nom. D'où la possible confusion. Dirac 11 sep 2003 à 01:42

Heu oui OK, mais est-ce la version actuelle ou la précédente ou les deux qui sont correctes? (j'ai horreur de l'analyse). — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Looxix (discuter), le 11/9/3 à 02:04.

Le théorème de green est relier a celui du flux divergent

mais qui a trouver le flux divergent c'est une bonne question

Théorème du flux divergent

$\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\left({\partial P \over \partial x}+{\partial Q \over \partial y}+{\partial R \over \partial z}\right)dx\,dy\,dz=\int \!\!\!\int _{\Sigma }\left(Pp+Qq+Rr\right)d\Sigma$

Où :

$\left({\partial P \over \partial x}+{\partial Q \over \partial y}+{\partial R \over \partial z}\right)dx\,dy\,dz=DivEdv$

v représente le volume inclu dans S. et :

$\left(Pp+Qq+Rr\right)d\Sigma =E.ds$

Ca c'est Green

Soit C, une courbe plane simple, positivement orientée et continue par morceaux et D la région du plan délimitée par C. Si P et Q ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte incluant D, alors:

$\int _{C}Pdx+Qdy=\int \int _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dA$

La notation suivante est parfois utilisée pour indiquer que l'intégrale de chemin est calculée en utilisant l'orientation positive de la courbe fermée C.

$\oint _{C}Pdx+Qdy$

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 69.157.246.116 (discuter), le 24/5/4.

Calcul d'aire ???

Il me semblait pourtant que l'aire du disque unité était 2Pi... — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 80.156.46.53 (discuter), le 15/2/8‎.

Réponse : "L'aire d'un secteur circulaire sous-tendu par un angle α est égale à α/2.r^{2, ainsi pour un angle de 2.π (un tour complet), l'aire est égale à πr2, si r désigne le rayon du disque." — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.66.211.166 (discuter), le 17/11/8.}

Précisions

Il serait peut être bon de préciser que :

• (dQ/dx - dP/dy) (des "d" "ronds") est en fait la rot (ou curv) d'un champ vectoriel F=(P,Q)
• Pdx + Qdy = F.tds (travail le long d'une courbe, d'un chemin si l'on intègre) , s n'étant pas une surface, t étant un vecteur unitaire tangentiel.
• Montrer l'écriture avec la div d'un coté et le vecteur normal de l'autre (en posant Q=M et P=-N), ce qui permet de calculer le flux 2D en passant par une double intégrale.
• et donc de montrer que ce théorème peut être décrit comme l'analogue 2D du théorème de flux divergence (Je vous invite à regarder l'article en anglais).

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.66.211.166 (discuter), le 17/11/8.

Démo simplifiée

J'ai simplifié la démo en traitant Qdy comme a été traité Pdx. Il n'y a pas de raison de faire de jaloux entre x et y . La démo précédente avait l'inconvénient de faire croire que le traitement de l'une des deux variables était beaucoup plus compliqué que l'autre. Theon (d) 8 avril 2013 à 17:05

Ah, oui ! c'est bien plus lisible ! Mais le nouveau dessin et « l'arc orienté ∂D⁺ peut être décomposé en deux sous-arcs » ont l'air de dire qu'on suppose en plus (inutilement) que f et g coïncident en a et b. Anne (d) 8 avril 2013 à 22:48

C'est exact, mais on peut faire le même reproche au dessin initial vis-à-vis de l'autre expression $\phi (y)\leq x\leq \psi (y)$. Il montre en effet des bords verticaux mais pas de bords horizontaux et suppose donc que $\phi (c)=\psi (c)$ et $\phi (d)=\psi (d)$, ce qui est tout aussi inutile. A partir du moment où l'on adopte une démonstration symétrique en x et y, il faut un dessin qui fasse jouer les mêmes rôles aux deux coordonnées. C'est donc pour éviter cette dissymétrie et des digressions compliquant inutilement le discours sur le calcul de l'intégrale curviligne que je propose le domaine le plus simple qui soit, conduisant à la démonstration la plus simple qui soit. Theon (d) 9 avril 2013 à 08:53

Ok. Ce serait peut-être bien — mais je ne peux pas car je n'ai pas de source — de mentionner aussi (sans la détailler) la méthode qui consiste à approximer le contour par une courbe "verticale et horizontale par morcaux" : c'est l'autre manière de symétriser la situation, en privilégiant, au contraire, les segments. On obtient une réunion de rectangles et sur chacun, Green est immédiat. Anne (d) 10 avril 2013 à 09:13

Oui. Mais il faut choisir. Ou bien on prouve Green sur un rectangle ou bien sur un "patatoïde". L'avantage du patatoïde est de faire comprendre rapidement pourquoi la formule de Green marche sur un domaine assez général. Si on prend un rectangle, il faut alors se lancer dans un découpage du domaine par encadrement de rectangles et c'est beaucoup plus long. Par contre, cela peut donner une démonstration dans le cas général. Cela peut faire l'objet d'un autre paragraphe.Theon (d) 10 avril 2013 à 09:29

Ce serait trop long en effet, donc inadapté à WP. Je pensais juste à une allusion (+réf.) (et expliquer aussi, si possible, comment le cas général se ramène à ton patatoïde). Anne (d) 10 avril 2013 à 11:27

Je ne suis pas sûr que le cas général puisse se ramener simplement au patatoïde. Il faudrait découper le domaine général en réunion de patatoïdes et il est plus simple de le découper en rectangles. J'ai cherché dans ma bibliothèque une démonstration directe de ce théorème et je n'en ai pas trouvé. Ca a l'air de faire partie des théorèmes que l'on se transmet de professeur à étudiant sans qu'aucun ouvrage n'ose mettre les pieds dans le plat. Ca a l'air de faire comme le théorème de Stokes dont Laurent Schwartz dit : « On ne connaît pas de bonnes conditions d'applications de la formule de Stokes [...] de façon à être sûr de couvrir tous les cas rencontrés même dans la pratique la plus courante » (Cours d'analyse, Hermann (1967) , p.167). Dans le même ouvrage, Schwartz prouve le théorème de Green, mais à partir du théorème de Stokes. Theon (d) 10 avril 2013 à 15:15

Juste pour signaler que la simplification réduit quand même considérablement l'ensemble des domaines pour lesquels la démonstration s'applique. Il ne reste que les "patatoides" comme vous dites alors que la démo précédente contient plein de "recollements de patatoides" et même tous les "recollements de patatoides" en inversant les rôles de x et y...— Le message qui précède, non signé, a été déposé par ‎Sultan-Thomas (discuter), le 4/6/13.

La première fois que j'ai vu une démo de ce théorème c'était sur http://epiphys.emn.fr/spip.php?article255 . C'est la même démo, sauf qu'il ne parle pas de simplifications. Et finalement si on ne dit pas de quelle simplification on parle, alors les choses ne sont que plus confuses, surtout si le schéma (ellipse) à droite ne correspond pas à la simplification sous entendue. - 1ère simplif. inutile de la version anglaise: condition de croisssante sur les fonctions paramétrisant les bords, histoire de domaine de de type I, II, III. - deuxième simplif. utile: le fait que le domaine est simple, car il pourrait avoir la forme d'un S et alors on fait appel à ces "recollement", dont j'ai une idée, mais pas expert. Quelqu'un modifie le texte? Noix07 (discuter) 16 décembre 2014 à 09:29

Généricité du « cas simplifié »

Je cherche une preuve simple du fait que toute courbe simple fermée C¹ du plan est l'image du cercle unité, par une application C¹ (non nécessairement injective) qui envoie le disque ouvert sur l'ouvert borné bordé par cette courbe. Anne, 13/4/16 On peut découper cette courbe en petits bouts tels que sur chacun, y soit fonction de x ou l'inverse.

Hypothèses pourraient être affaiblies

Les hypothèses pourraient être affaiblies. Il suffit que la fonction soit lipschitzienne sur le compact, que d1Q-d2P soit défini sur l'ouvert, borné et Riemann-intégrable (toujours seulement sur l'ouvert). En particulier la dérivabilité sur le bord n'est pas requise (même si une explosion en s'approchant du bord fera perdre le caractère lipschitzien de la fonction). On pourrait aussi affaiblir le fait que la courbe soit C1. 81.48.144.163 (discuter) 13 janvier 2024 à 23:34 (CET)