Discussion:Théorème de Hahn-Banach

Je me permets...

... d'utiliser cette page de discussions comme bloc-notes, c'est d'intérêt général.

Vu ce polycopié http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/ap-e-h-b.pdf fort bien fait qui me recadre. Le Hahn-Banach prouvé dans l'état actuel de la page, c'est un Hahn-Banach pour les semi-normes (la version "E3" du polycopié dont je viens de copier-coller l'adresse). Celui dont j'ai besoin c'est celui que je connaissais, (le "E1" du polycopié). Pour l'instant je n'ai pas l'impression qu'ils se déduisent l'un de l'autre ; ils ont des preuves très parallèles et similaires, mais pas identiques. Je ne sais du coup comment faire évoluer l'article. Touriste ✉ 21 novembre 2007 à 21:56 (CET)

MMmouais, E1 => E3 (enfin sa version réelle) dit le polycopié. Malheureusement l'état actuel de l'article prétend que "E3 est la forme la plus générale". C'est peut-être bien totalement bidon et je perds du temps sur un recopiage d'une page en anglais mal fichue. Grmmpfff. Touriste ✉ 21 novembre 2007 à 22:06 (CET)

Une forme linéaire majorée par une fonction bornée ?

L'article dit ceci :

Théorème — Soient V un espace vectoriel sur $\mathbb {R}$ et p une fonction convexe bornée de V dans $\mathbb {R}$.

Soient G un sous-espace vectoriel de V et f une forme linéaire sur G qui vérifie en tout point x de G la condition de majoration $f(x)\leq p(x)$.

Alors il existe un prolongement linéaire g de f sur V vérifiant encore la condition $g(x)\leq p(x)$ en tout point x de V.

Si p est bornée et que f est une forme linéaire majorée par p, alors f est une forme linéaire bornée et est donc nulle...

Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Chapitres 1 à 5, 1981, ch. 11, § 3, n° 2, p. II.24, donne le théorème de Hahn-Banach sous la forme suivante :

Théorème — Soient V un espace vectoriel sur $\mathbb {R}$ et p une fonction sous-linéaire dans V.

Soient G un sous-espace vectoriel de V et f une forme linéaire sur G qui vérifie en tout point x de G la condition de majoration $f(x)\leq p(x)$.

Alors il existe un prolongement linéaire g de f sur V vérifiant encore la condition $g(x)\leq p(x)$ en tout point x de V.

Autrement dit, notre "fonction convexe bornée de V dans R" est remplacé par "fonction sous-linéaire dans V".

Bourbaki (p. II.21) définit une fonction sous-linéaire dans un espace vectoriel réel V comme une application convexe p de V dans R qui est positivement homogène, c'est-à-dire que pour tout scalaire positif a et tout vecteur v, on a p(av) = ap(v).

La forme initiale de notre article parlait elle aussi d'une application sous-linéaire, mais en donnant à cette expression un sens qui ne me semble pas le même que dans Bourbaki.

Alors, quelle forme du théorème donne-t-on ? En tout cas, la forme actuelle me semble erronée, car triviale... Marvoir (d) 21 septembre 2012 à 14:37 (CEST)

C'est moi qui l'ai tapé il y a quelques années et ta remarque évidente a causé un moment de panique chez moi, où était le lapsus, étais-je gâteux ? Après fouille dans l'historique, j'avais correctement écrit (voir au pif cette version : [1]) : « une fonction convexe définie sur V et qui ne prend que des valeurs finies ». Je vais regarder qui a ainsi massacré un énoncé qui était exact, c'est intéressant de voir qu'une telle modification peut passer inaperçue (il y a de longues périodes où je ne regarde que furtivement ma liste de suivi, mais en principe l'entretien des articles ne repose pas sur une seule personne). Merci pour ta remarque, je vais regarder ça doucement, dommage que je n'aie pas le Reed-Simon sous la main pour l'instant. Touriste (d) 21 septembre 2012 à 14:45 (CEST)

Après enquête rapide, c'est une initiative malheureuse d'une IP et ça remonte à janvier 2012 : [2]... Il faut huit mois pour que quelqu'un s'en aperçoive. Aïe. Touriste (d) 21 septembre 2012 à 14:47 (CEST)

Je fais une réparation de fortune (suppression du mot "bornée") et confronterai ce qui demeure au Reed-Simon dès que je passerai dans une bibliothèque. Si quelqu'un d'autre le fait avant moi ce peut être une bonne idée. Touriste (d) 21 septembre 2012 à 14:50 (CEST)

Merci d'avoir réagi. Je n'ai pas le Reed-Simon, donc je te laisse faire la vérification.

La définition d'une application sous-linéaire donnée dans la forme initiale de l'article, à savoir :

"si V est un espace vectoriel sur un corps K (soit le corps des réels, soit le corps de complexes), on dit qu'une application N de V dans R est sous-linéaire si N(ax + by) ≤ |a| N(x) + |b| N(y) pour tout x et tout y dans V et pour tous scalaires a et b dans K."

me semble trop restrictive. En fait, il me semble que cela équivaut à une semi-norme (application satisfaisant à la définition d'une norme, sauf que des vecteurs non nuls peuvent avoir une semi-norme nulle). En effet, en faisant b = 0, on trouve N(ax) ≤ |a| N(x) pour tout scalaire a et tout vecteur x. Si a est non nul, remplaçons a par a^-1 et x par ax; nous trouvons N(x) ≤ |a^-1| N(ax), d'où |a| N(x) ≤ N(ax), d'où finalement N(ax) = |a| N(x) (une des conditions définissant une semi-norme); c'est encore vrai si a = 0, car N(0) = 0; en effet, N(0x + 0x) ≤ 0 N(x) + 0 N(x), d'où N(0) ≤ 0 et d'autre part, N(1.0 + 1.0) ≤ 2 N(0), d'où 0 ≤ N(0).

On a dès lors N(1.x + (-1)x)) ≤ 1.N(x) + 1.N(x), autrement dit N(0) ≤ 2 N(x) d'où 0 ≤ N(x) pour tout vecteur x (encore une des conditions d'une semi-norme).

L'inégalité triangulaire est claire (faire a = b = 1), donc N est une semi-norme (et est donc convexe et positivement homogène, donc c'est une fonction sous-linéaire au sens de Bourbaki, mais une fonction sous-linéaire au sens de Bourbaki n'est pas forcément une semi-norme : prendre l'application identique de R dans lui-même).

Si mon raisonnement est correct, la forme du théorème de Hahn-Banach donnée par Bourbaki est plus forte que celle qui était donnée dans l'état initial de notre article (vu que les fonctions sous-linéaires de Bourbaki sont plus générales). J'ai l'impression que la définition des fonctions sous-linéaires données dans l'état initial de notre article est incorrecte. En tout cas, elle est différente de celle de Bourbaki et elle me semble donner une forme trop étroite au théorème de Hahn-Banach. Marvoir (d) 21 septembre 2012 à 19:29 (CEST)

Je crains qu'avec la seule hypothèse "p est convexe", l'énoncé soit inexact. Je ne connais pas de contre-exemple, mais les cours en ligne où le théorème est énoncé sous l'hypothèse "p est sous-linéaire" (au sens de Bourbaki) ne disent pas que cette hypothèse peut être affaiblie en "p est convexe" (en tout cas ceux que j'ai parcourus), donc je suppose qu'elle ne peut pas l'être. Pour éviter de laisser dans l'article quelque chose qui risque d'être inexact (et n'est de toute façon pas sourcé), je vais mettre la forme donnée par Bourbaki, avec référence. Si le Reed-Simon indique une forme plus forte du théorème, elle sera la bienvenue. Marvoir (d) 24 septembre 2012 à 12:31 (CEST)

Bon, je n'avais pas remarqué qu'il y a bel et bien une référence à Reed-Simon. Je vais laisser les choses en l'état. Marvoir (d) 24 septembre 2012 à 12:42 (CEST)

Vérif faite : c'est bien la version du Reed-Simon, je confirme, il n'y a pas de lapsus (ou plutôt "plus" depuis que le mot "borné" malheureux rajouté en janvier a été retiré). Touriste (d) 24 septembre 2012 à 14:44 (CEST)

Merci ! Marvoir (d) 24 septembre 2012 à 15:52 (CEST)

En fait, la démonstration donnée par Reed et Simon est consultable sur Google livres, pp. 75-76. Et en effet, pour un espace vectoriel réel, elle suppose seulement que p est convexe. La démonstration est brève, facile à suivre et, à mon avis, correcte. Je comprends mal qu'en 1981 encore, Bourbaki ait réduit l'énoncé (pour les espaces vectoriels réels) au cas où p est sous-linéaire (ce qui est une hypothèse plus forte que convexe). D'autant plus que la démonstration donnée par Bourbaki demande tout un attirail de notions préparatoires... Marvoir (d) 24 septembre 2012 à 16:49 (CEST)

Si on donnait une démonstration ?

Vu la curieuse insistance de Bourbaki et, me semble-t-il, de la plupart des sites Internet qui parlent du théorème de Hahn-Banach (y compris l'article de la Wikipedia anglaise, qui me semble d'ailleurs un peu cafouiller) à prendre inutilement pour hypothèse que la fonction p, dans la forme analytique relative aux espaces vectoriels réels, est non seulement convexe mais sous-linéaire, je propose d'exposer dans notre article la démonstration donnée par Reed et Simon. Cela évitera que d'autres lecteurs ne craignent, comme je l'ai fait, que l'hypothèse "p est convexe" ne soit trop faible. Je suggère de donner la démonstration sous la forme qui suit, où, à la différence de Reed et Simon, on part de la thèse, qu'on explicite progressivement. Il me semble qu'en procédant de cette façon, on retrouve facilement la démonstration, même si on l'a à peine mémorisée.

Forme analytique du théorème de Hahn-Banach pour les espaces vectoriels réels.

Théorème — Soient V un espace vectoriel sur $\mathbb {R}$ et p une fonction convexe de V dans $\mathbb {R}$.

Soient W un sous-espace vectoriel de V et f une forme linéaire sur W qui vérifie en tout point x de W la condition de majoration $f(x)\leq p(x)$.

Alors il existe un prolongement linéaire g de f sur V vérifiant encore la condition $g(x)\leq p(x)$ en tout point x de V.

Démonstration. Prouvons d'abord que si z est un élément de V n'appartenant pas à W, on peut prolonger f en une forme linéaire g définie dans $W+\mathbb {R} z$ et telle que g ≤ p dans $W+\mathbb {R} z$.

Pour tout nombre réel a, il existe une et une seule forme linéaire sur $W+\mathbb {R} z$ qui prolonge f et vaut a en z, à savoir la forme linéaire f_a définie par

$f_{a}(w+tz)=f(w)+ta$

pour tout élément w de W et tout t réel. Une telle forme linéaire f_a satisfait à la condition f_a ≤ p dans $W+\mathbb {R} z$ si et seulement si, pour tout élément w de W et tout nombre réel t,

$f(w)+ta\leq p(w+tz)$.

Tout revient donc à prouver que l'ensemble des nombres réels a satisfaisant à cette condition n'est pas vide. On peut restreindre la condition aux t non nuls, car pour t = 0, la condition revient à l'hypothèse f ≤ p dans W. Les nombres a cherchés sont donc ceux qui satisfont aux deux conditions suivantes :
1° pour tout nombre réel t > 0 et tout élément w de W :

$a\leq {\frac {1}{t}}p(w+tz)-{\frac {f(w)}{t}}$

2° pour tout nombre réel t < 0 et tout élément w de W :

$a\geq {\frac {1}{t}}p(w+tz)-{\frac {f(w)}{t}}$.

Cette dernière condition revient à dire que, pour tout nombre réel t > 0 et tout élément w de W,

$a\geq -{\frac {1}{t}}p(w-tz)+{\frac {f(w)}{t}}$.

Les nombres réels a cherchés sont donc ceux qui satisfont à la condition

$\sup _{\stackrel {t>0}{w\in W}}(-{\frac {1}{t}}p(w-tz)+{\frac {f(w)}{t}})\leq a\leq \inf _{\stackrel {t>0}{w\in W}}({\frac {1}{t}}p(w+tz)-{\frac {f(w)}{t}})$.

(A priori, la borne inférieure et la borne supérieure sont prises dans $\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{\infty \}$, mais les relations à démontrer entraîneront évidemment qu'elles sont finies.)

Pour prouver qu'il existe de tels nombres a, tout revient à prouver que

$\sup _{\stackrel {t>0}{w\in W}}(-{\frac {1}{t}}p(w-tz)+{\frac {f(w)}{t}})\leq \inf _{\stackrel {t>0}{w\in W}}({\frac {1}{t}}p(w+tz)-{\frac {f(w)}{t}})$,

auquel cas les nombres a cherchés sont les éléments de l'intervalle limité par les deux membres de cette inégalité.

La thèse revient encore à prouver que, pour tous nombres réel t, u > 0 et tous éléments w, w' de W,

$-{\frac {1}{u}}p(w-uz)+{\frac {f(w)}{u}}\leq {\frac {1}{t}}p(w'+tz)-{\frac {f(w')}{t}}$,

ou encore

${\frac {f(w)}{u}}+{\frac {f(w')}{t}}\leq {\frac {1}{u}}p(w-uz)+{\frac {1}{t}}p(w'+tz)$

ou encore (en multipliant par tu/(t + u), qui est >0)

${\frac {t}{t+u}}f(w)+{\frac {u}{t+u}}f(w')\leq {\frac {t}{t+u}}p(w-uz)+{\frac {u}{t+u}}p(w'+tz)$.

Puisque f est linéaire, cela s'écrit encore

$f\left({\frac {t}{t+u}}w+{\frac {u}{t+u}}w'\right)\leq {\frac {t}{t+u}}p(w-uz)+{\frac {u}{t+u}}p(w'+tz)$.

Puisque f ≤ p dans W, il suffit de prouver que

$p\left({\frac {t}{t+u}}w+{\frac {u}{t+u}}w'\right)\leq {\frac {t}{t+u}}p(w-uz)+{\frac {u}{t+u}}p(w'+tz)$.

Cela s'écrit encore

$p\left({\frac {t}{t+u}}(w-uz)+{\frac {u}{t+u}}(w'+tz)\right)\leq {\frac {t}{t+u}}p(w-uz)+{\frac {u}{t+u}}p(w'+tz)$

ce qui résulte de la convexité de p.

Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que si z est un élément de V n'appartenant pas à W, on peut prolonger f en une forme linéaire g définie dans $W+\mathbb {R} z$ et telle que g ≤ p dans $W+\mathbb {R} z$. Soit maintenant E l'ensemble des formes linéaires définies dans des sous-espaces de V contenant W, prolongeant f et ≤ p dans leur espace de définition. Dans E, considérons la relation (en f et g) : « le sous-espace de définition de f, soit W_f, est contenu dans celui de g et g coïncide avec f dans W_f ». C'est une relation d'ordre dans E et on montre facilement qu'elle fait de E un ensemble inductif. D'après le lemme de Zorn, E admet donc un élément maximal. D'après la première partie de la démonstration, un tel élément maximal doit être défini dans V tout entier.

Qu'en pensez-vous ? Marvoir (d) 25 septembre 2012 à 18:42 (CEST)

Je m'aperçois maintenant qu'il y avait déjà une démonstration dans l'article, quelques sections plus bas... Et personne ne m'a rien dit ! Je crois qu'il ne me reste qu'à supprimer ma démonstration... Marvoir (d) 9 janvier 2013 à 10:06 (CET)

J'ai supprimé la démonstration que j'avais ajoutée dans l'article. Marvoir (d) 9 janvier 2013 à 16:54 (CET)

Séparation des convexes

Bonjour, dans la forme géométrique du théorème on sépare un convexe ouvert d'un sous-espace affine. Pourquoi ne pas mettre le cas général où on sépare un convexe ouvert d'un autre convexe ? La démonstration me paraît identique. Vincent Semeria (d) 25 décembre 2012 à 21:39 (CEST)

Le galimatias des sections introductives

On dirait que ça commence à patauger. Marvoir (d) 10 février 2013 à 14:03 (CET)

Oui; j'ai simplifié le résumé pour rendre ça plus lisible  : l'idée, c'est que le lecteur veut en principe savoir de quoi il s'agit (un théorème de prolongement de formes linéaires ayant de bonnes propriétés), et n'aller chercher les détails que si la question l'intéresse. Je sais que ça respecte pas tout à fait le principe d'autonomie du RI, mais en maths, ce dernier n'amène souvent qu'au galimatias déjà énoncé. Bon, après, faudra encore rédiger le début de l'article...--Dfeldmann (d) 10 février 2013 à 14:49 (CET)

Rôle de l'axiome du choix

Contrairement à ce qui a été écrit : le lemme des ultrafiltres n'est pas plus faible que l'axiome du choix dépendant. (Il est plus faible que l'axiome du choix tout court). — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 109.30.5.215 (discuter), le 6/10/2016 à 22 h 58.

Mea culpa, je ne comprends pas ce qui m'avait pris. Merci à vous d'avoir signalé ma bêtise, et à Dfeldmann de l'avoir réparée. Anne, 8/10/16

Je me suis permis de retirer de cette section de l'article une phrase qui me paraît bien malencontreuse :
« […] Hahn-Banach, dont toute preuve doit donc reposer inévitablement sur une variante ou une autre du lemme des ultrafiltres ou de l'axiome du choix par exemple, en somme sur un axiome additionnel au moins conséquence du lemme des ultrafiltres dans ZF. »
En effet, il est mentionné en référence de cette phrase l'existence d'un modèle de ZF où Hahn-Banach est vrai mais où le théorème de l'ultrafiltre est faux (sous réserve de la consistance de ZF…) ! --ヒナゲシさん (discuter) 9 novembre 2021 à 01:24 (CET)

Notification

dans le corollaire "de même norme que f "est une tautologie inutile . Boutarfa Nafia (discuter) 10/2/2022 à 17 h 30

Eh non ! (en général, les prolongements linéaires continus ont seulement une norme supérieure ou égale — évidemment — à celle de f). Anne, 17 h 45