Discussion:Théorème de l'élément primitif

Retour d'un lecteur

"Compte tenu de cette caractérisation, le théorème de l'élément primitif fait partie des deux piliers de la théorie de Galois dans le cas des extensions finies". Qui peut comprendre cette phrase si ce n'est peut-être celui qui l'a écrit. Je connais la théorie de Galois et ne vois même pas à quoi on fait référence.

La phrase précédente est pire : "Une extension finie est séparable si et seulement si le nombre de morphismes de l'extension dans la clôture algébrique laissant invariant le corps de base est égal au degré de l'extension". Elle est digne du film "Comment j'ai détesté les mathématiques".

Je ne sais plus qui a dit, "il existe deux sortes de livres de mathématiques, ceux où on ne comprend plus dès la 2ème page et ceux où l'on ne comprend plus dès la 1ère ligne". J'ai l'impression que certaines des personnes qui rédigent les articles mathématiques en français dans Wikipédia font le défi d'être la 2ème catégorie. Alors je "zappe" sur l'anglais: allez voir, c'est tout sauf l'esprit Bourbaki (mal compris). Et Dieu sait que j'aime le maths : Ca me fait pleurer ! [avis laissé sous IP le 12 février 2014]

Comme il n'y a pas vraiment de "tâche suggérée" (à part d'aller lire la version anglaise) je déplace ici cet avis qui était dans Discussion:Théorème_de_l'élément_primitif/À_faire. Au delà de la réaction d'humeur, il me semble qu'il y a effectivement à améliorer ce résumé, et l'article pourrait être plus accessible (cf. version en:). Proz (discuter) 20 février 2014 à 11:14 (CET)

Paragraphe motivations

Le paragraphe "motivations" me semble assez hors sujet, par exemple je ne crois pas que les questions de nombre constructible (à la règle et au compas) aient à voir avec le sujet. De façon générale il ne motive pas grand chose. Je propose de ne pas le conserver. Proz (discuter) 20 février 2014 à 21:56 (CET)

Critique de l'article et corrections suggérées par l'utilisateur Maimonid

Je vais d'abord poser mes critiques, puis suggérer une version alternative entièrement écrite. Vu l'ampleur des modifications, je n'ai pas voulu remplacer la version officielle sans un minimum de feed-back.

Critiques

• "théorie des extensions finies de corps" : il n'y a jamais eu de théorie des extensions finie des corps; par contre, il y a bien une certaine "théorie des corps".
• par un seul élément (appelé élément primitif) : c'est tout de même amusant de le mettre en parenthèse, alors qu'il s'agit du sujet même et du titre de l'article.
• "Une extension finie est séparable si et seulement si le nombre de morphismes de l'extension dans la clôture algébrique laissant invariant le corps de base est égal au degré de l'extension" : c'est une façon assez alambiquée de définir la notion de séparabilité en premier abord. Je propose de remplacer cette def par la def standard.
• "Compte tenu de cette caractérisation, le théorème de l'élément primitif fait partie des deux piliers de la théorie de Galois dans le cas des extensions finies." : c'est une opinion tout a fait personnelle et fausse. La plupart des ouvrages modernes de référence, qui suivent le traitement d'Artin, ne se servent pas du théorème de l'élément primitif pour établir la théorie de Galois, mais le regardent comme une conséquence de la théorie. Je suis d'accord que cela constitue une régression par rapport à la pensée originale de Galois, mais les faits sont là.
• Il est souvent facile de construire explicitement un élément primitif : bien sûr que non, sauf dans des cas très simple. Et la référence à l'article n'apporte rien à cette assertion.
• Toute la section "Motivation" est non seulement hors-sujet, mais en plus contient des assertions fumeuses, pour ne pas dire erronées.

Pour commencer, c'est hors sujet car l'article n'est pas un article sur la théorie de Galois. Le second sujet traité dans cette motivation, la séparabilité, est elle aussi hors sujet. Enfin, le troisième thème traité, les extensions simples, est lui aussi hors-sujet. Où est le théorème de l'élément primitif dans tout cela?

Deuxièmement, certaines assertions sont assez fumeuses. Ainsi:

1. "La théorie de Galois possède comme structure fondamentale le groupe de Galois"
2. "Pour permettre ces démonstrations, le groupe de Galois doit être suffisamment vaste, ce qui signifie deux propriétés : l'extension doit être séparable et extension normale." La triste vérité est que si une extension n'est pas normale et séparable, il n'y a tout simplement pas de groupe de Galois. Je pense que l'auteur de ces lignes veut parler du groupe des automorphismes de l'extension. S'il s'agit de cela, l'appelation "groupe de Galois" serait assez non-standard. Note ultérieure : il se peut qu'en France, on appelle "groupe de Galois" le groupe des automorphismes d'une extension, même quand celle-ci n'est pas Galoisienne. Personnellement, je n'y vois aucun inconvénient, mais ce n'est pas le cas pour les anglo-americains. Je ne lis presque pas de livres en Français et si c'est la règle en France, merci de me le faire savoir.

Je suggère donc instamment de supprimer le contenu de cette section, et de le remplacer par celui de ma version alternative ci-dessous.

• Remarques suivant le théorème: la seconde remarque est hors sujet, et concerne les articles "extensions simples" et/ou "extensions séparables".

• Section démonstration: je suggère d'introduire la démonstration originale de Galois, qui est très intéressant et subtile; c'est la seule démonstration que je connaisse qui soit essentiellement indépendante des théorèmes d'extension des automorphismes, et donc de la démarche d'Artin. Je le ferai plus tard si mes suggestions sont acceptées. Dans la version alternative proposée ci-dessous, je ne me suis pas particulièrement appliqué sur la cosmétique. Il serait aussi souhaitable d'ajouter quelques références. Le mémoire de Galois se trouve quant à lui sur Gallica.

Version alternative proposée

Voyez le lien https://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisateur:Maimonid/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l%27%C3%A9l%C3%A9ment_primitif Travail de coopération souhaité sur cette page.

J'ai lu en diagonale (désolé mais j'ai également pas mal d'occupations). Je crois cependant être d'accord avec les critiques (d'ailleurs cohérentes avec les miennes, les votres étant bien-sûr plus nombreuses précises et incisives), en particulier vous avez raison sur le fait que le th. de l'élément primitif n'est plus considéré comme un th. de la théorie de Galois (Jean-Luc W qui a beaucoup apporté à ce projet il y a quelques années, identifiait malheureusement "théorie des corps" et "théorie de Galois"). J'avais d'ailleurs en projet de reprendre cet article, mais très bien si vous vous y collez. Pour la "version alternative" : L'idée générale me semble correcte (un peu sèche) mais il y a des soucis de forme. Déjà évitons de distribuer bons et mauvais points, ce n'est pas à nous de donner tort à Artin. Une partie historique à part c'est franchement mieux le plus souvent (sources indispensables, en particulier sur le fait que Galois aurait déduit le th. de la théorie de Galois). La preuve de Galois : si on veut vraiment la faire dans le style de Galois (fractions rationnelles plutôt qu'extensions de corps) autant la mettre dans la partie historique. Les sources (et sources secondaires pour la partie histoire) c'est vraiment très utile, mais vous vous en convaincrez vous même si vous persistez sur ce projet. De toute façon rien n'est irrémédiable, on peut toujours corriger/compléter (moi ou d'autres), et je suis d'accord que cet article n'est pas du tout satisfaisant. Un détail, pour votre proposition : la bonne façon de faire c'est de créer une page de brouillon dans votre espace personnel, du nom que vous voulez, Utilisateur:Maimonid/brouillon, Utilisateur:Maimonid/Théorème de l'élément primitif ... et vous mettez un lien, parce que là la page de discussion devient un peu difficile à utiliser (il faudra effacer à un moment). Proz (discuter) 2 avril 2014 à 00:05 (CEST)

Merci pour vos avis. Je me disais bien que quelqu'un me donnerait le moyen de placer quelque part ma version. Voilà c'est fait. J'ai tenu compte de certaines de vos remarques et corrigé ma version. Pour ce qui est des sources secondaires, je vous approuve dans le principe, mais peut-être ne devriez-vous pas être si excessivement pointilleux à ce stade du developpement de Wikipédia. Il y a encore un tas d'articles qui sont très mal structurés sur le fond et sur la forme, et aussi très incomplets, voir même en partie inexacts. Sans compter les articles qui devraient être écrits et qui ne le sont pas. J'ai pour ma part sué à rechercher la source primaire de cette information historique importante, parce que j'estimais qu'il y aurait peu de chance que quelqu'un d'autre le fasse à ma place (mais est-ce vraiment une source primaire ? après tout, c'est édité par Tannery avec ses commentaires). Il n'y a pas d'autre preuve que Galois était conscient que le théorème de l'élément primitif pouvait être vu comme une conséquence de sa théorie, mais n'est-ce pas une preuve suffisante ? Pour le reste, je crois que ma version (corrigée) est supérieure à la version originale, même avec les problèmes de forme. Ce n'est probablement pas parfait, mais je ne vais pas y revenir beaucoup. Je pense donc, à moins que quelqu'un ne s'y oppose dans les jours à venir, remplacer la version en ligne, en espérant que les lacunes et les petits problèmes de forme/cosmétiques seront comblés par d'autres. N.B.: la preuve de Galois n'a pas besoin d'être rédigée dans le "style de Galois". Il suffit de transcrire ses arguments en termes modernes.

Page remaniée

La page a été remaniée et améliorée depuis quelques jours. J'ai conservé pas mal de choses de l'ancienne page (le théorème et sa preuve, l'exemple, une partie de l'introduction etc.) Comme exposé dans les critiques, j'ai remplacé la section motivation par une section historique. La preuve de Galois avec des commentaires ont aussi été ajoutés. Maimonid (discuter) 8 juillet 2014 à 10:49 (CEST)