Discussion:Théorème de la médiane

Changement de démonstration

J'ai changé la démonstration précédente qui était pourtant tout-à-fait juste. L'objectif est de proposer une méthode plus générale applicable à toute réduction de fonction scalaire de Leibniz au lieu de privilégier une démonstration faisant appel à une astuce sans gain significatif dans les calculs. On peut toujours revenir à l'ancienne version. HB 28 avril 2006 à 19:28 (CEST)

Deux autres formes du théorème

J'ai ajouté le premier et le troisième théorème de la médiane.

Démonstration copiée de la page : Géométrie du triangle.

PDebart 19 novembre 2006 à 01:42 (CET)

Erreur dans l'écriture du théorème d'Apollonius?

Il est indiqué AB²+AC²=2BI²+2AI² mais aussi AB²+AC²=1/2*BC²+2AI².
Or BI=1/2*BC.
Comment peut-on se retrouver avec l'égalité 2BI²+2AI²=1/2*BC²+2AI² qui donne BI=1/4*BC.
A revérifier.
46.218.195.226 (discuter) 26 mars 2014 à 14:25 (CET)

Non pas d'erreur 2BI²+2AI²=1/2*BC²+2AI² donne l'égalité BI²=1/4*BC² (ne pas oublier les carrés) , soit encore BI²=(1/2BC)² et donc bien BI=1/2BC. HB (discuter) 26 mars 2014 à 14:54 (CET)

triangle isocèle

Dans un triangle isocèle ou la longueur de la base est la longueur l des deux autres côtés, la médiane fait (racine de 3)/2 l.

Triangle équilatéral sans intérêt. PDebart (discuter) 25 janvier 2015 à 23:23 (CET)

Théorème de Menelaus et la démonstration par icelui

Une référence demandée pour la démonstration par Menelaus de son théorème ne peut conduire qu'à un échec : il est rare de trouver explicitement la démonstration de la propriété attribuée au mathématicien dans ses œuvres, surtout s'il s'agit d'un grec dont les écrits ont, soit disparus, soit circulé dans tellement de mains que la version originale en est perdue.

Par curiosité, pour ceux capable de lire le latin, je vous mets le résultat de mes recherches (TI donc pour l'instant en page de discussion en attendant de trouver une source lisible). Dans le De Locis Plani (des lieux plans) reproduit et commenté par Fermat, livre II, proposition I p. 28(48) que je retranscris en langage moderne :

• si AB est un segment et si N est un point se projetant orthogonalement sur AB en C plus proche de B que de A alors NA² est plus grand que NB² de la même quantité que CA² est plus grand que CB² [en math NA² = NB² + (CA² - CB²)]
• si AD est un segment et B et C sont deux points tels que ABCD soient alignés dans cet ordre avec AB = CD alors, pour tout point N, NA² + ND² excède NB²+NC² de 2×AB×BD
  • La démonstration de cette propriété est faite par Fermat (p. 29 (49)) dans le cas où N se projette en I avec ABCDI alignés dans cet ordre
  • NA²+ ND² excèdent NB² + ND² de la même quantité que IA² + ID² excède IB² + IC²
  • IA² + ID² = 2ID²+AD² + 2×AD×ID
  • IB²+ IC² = 2ID² + DB² + DC² + 2×DB×ID + 2×DC×ID mais DC=AB donc 2×DB×ID + 2×DC×ID = 2×AD×ID
  • l'excès entre IA²+ID² et IB²+ IC² est donc l'excès entre AD² et DB² + AB² soit 2×AB×AD
• donc NA² + ND² = NB²+NC² + 2×AB×BD

et là arrive mon TI: le théorème de la médiane est un cas particulier de cette égalité pour B=C=J milieu de AD :

• NA² + ND² = 2 NJ²+2 AJ×JD

Bref, la démonstration présentée sur WP utilise en fait les mêmes outils que ceux du De Locis Plani (projection orthogonale, Pythagore, identités remarquables) donc est probablement voisine de celle de Menelaus mâtinée de Fermat. HB (discuter) 29 juillet 2021 à 15:38 (CEST)