Discussion:Théorème du rang

Cas particulier des endomorphismes

Je vois pas bien ce que cette section apporte : ce cas particulier ne simplifie pas la formule. MicroCitron ^{un souci ?} 5 août 2010 à 22:41 (CEST)

Proposition

Bonjour,
Je souhaiterais tester une restructuration (wikification ? ) de l'ensemble de l'article, sans rien changer au fond : phrase courte d'introduction, plan avec en 1 : l'énoncé, l'application aux isomorphismes, le cas des endomorphismes (est-ce utile?), le cas des matrices ; et en 2 : généralisations , et notion d'indice. Si personne ne s'oppose à la tentative, je ne m'opposerai bien sûr pas à un revert pur et simple, mais je ne veux pas donner l'impression de passer en force. Cordialement, Asram (d) 6 mars 2011 à 01:08 (CET)

Bonjour, j'ai regardé ton brouillon : ça me semble mieux que l'article actuel (sans être révolutionnaire, donc à mon avis tu aurais pu faire tes modifs sans passer par des pdd). Mais je profite de l'occasion pour signaler que c'est moi qui suis coupable de la vilaine démonstration (la précédente n'était pas bien belle non plus), pour les besoins de ceci. Donc si tu veux la remplacer par quelque chose de plus élégant, merci d'assurer la maintenance de endomorphisme nilpotent. Anne Bauval (d) 6 mars 2011 à 01:56 (CET)

Chère Anne Bauval, je ne suis pas révolutionnaire, mais je sais comment je peux être maladroit (incorrect ? ) dans ma manière de faire. Je préfère demander. Merci de ta réponse. J'ai contacté le contributeur principal ? Il n'y a aucune urgence (j'attends 24h ). Mes modif. récentes montrent vite mes limites. Mais je vais jeter un œil sur la nilpotence (ou ma puissance d'être nul ? ). Cordialement, Asram (d) 6 mars 2011 à 02:17 (CET)

Dans Codimension#En algèbre linéaire j'étais hérissée par la nouvelle présentation, qui rajoute inutilement des hypothèses de finitude dans chaque énoncé. Mais j'ai en vain cherché des sources qui parlent de codimension en dim infinie et exposent comme c'était fait avant tes interventions. Donc à moins que quelqu'un d'autre en trouve – et encore – c'est toi qui as raison. Par ailleurs – mais là encore ce n'est qu'une préférence personnelle, qui risque d'être contredite par d'autres préférences et, surtout, par les sources les plus courantes – il me semble que la façon la plus naturelle et la plus économique de démontrer tout ce qui tourne autour du théorème du rang et de la codimension serait :

1. Im(f) est isomorphe à E/Ker(f)
2. d'après 1 (avec f=projection) si F et G sont supplémentaires dans E alors G est isomorphe à E/F (donc les 2 défs de codim_E(F) sont équivalentes)
3. d'après 1 et 2, Im(f) est isomorphe à tout supplémentaire de Ker(f)
4. dim(F+G)+dim(F∩G)=dim(F)+dim(G)
5. d'après 4, si F et G sont supplémentaires dans E alors dim(E)=dim(F)+dim(G)
6. d'après 5, si dim(F) est finie alors codim_E(F)=dim(E)-dim(F) (finie ou pas, peu importe)
7. d'après 3 et 5, dim(E)=dim(Ker(f))+rang(f).

Mais encore une fois, tout ça est goût perso non sourcé, et dans un ordre guidé par l'économie dans les démos, or on peut très bien présenter les choses sans les démontrer et dans un ordre plus didactique, comme tu as fait dans codimension. Anne Bauval (d) 6 mars 2011 à 11:29 (CET)

Je tenais à la notion de codimension finie, c'est pour ça que j'ai sourcé . Mon plan de démo. pour le th. du rang est le suivant :

1. si F sev de E, alors F est un supplémentaire de Ker(f) si et seulement si la restriction de f au départ à F à l'arrivée à Im(f) est un isomorphisme de F sur Im(f)
2. De 1 avec une projection, il découle que deux supplémentaires de F dans E sont isomorphes, et l'on peut définir la codimension (finie) de F dans E
3. De 1, il découle aussi que Ker(f) est de codimension finie dans E si et seulement si Im(f) est de dimension finie, et dans ce cas, il y a l'égalité codim_E(Ker(f)) = dim Im(f)

Mais je ne sais pas si j'ai bien compris ce que tu cherches à faire. Asram (d) 6 mars 2011 à 14:57 (CET)