Discussion:Théorie de Galois

Projet de rédaction de l'article

J'ai décidé d'écrire la théorie de Galois en entier. Cela va me prendre un certain temps. J'ai l'intention de procéder ainsi

• écrire succintement les théorèmes et les preuves
• tout revoir pas à pas pour avoir une rédaction la plus claire possible.

Bien sûr cela va me prendre du temps mais j'irai jusqu'au bout. Vous me pardonnerez j'espère l'obscurité première de la rédaction mais comme je l'ai dit ce n'est pas mon premier objectif. J'espère pouvoir mener ce projet à bien et ainsi rendre hommage à Evariste Galois (que Dieu ait son âme). J'ai personellement choisi de rédiger cette théorie comme il l'avait fait lui même et non pas comme on la trouve dans n'importe quel livre, car je trouve ses méthodes plus claires et plus directes bien que sa rédaction à lui aussi laisse à désirer.

Toute aide sera la bienvenue, surtout que j'ai de nombreux problème avec l'orthographe et le français.

--Iesvs 21 octobre 2005 à 02:04 (CEST)

Le projet de présenter la théorie de Galois dans son état d'origine (avant l'algèbre linéaire, je pense) est très intéressant d'un point de vue épistémologique. C'est un choix qui peut se défendre dans Wikipedia (mais on peut défendre l'opinion contraire aussi... En fait les 2 sont sûrement possibles). Il est exact que la rédaction initiale est pour le moins assez obscure. En voici un exemple dans le théorème de l'élément primitif: vous écrivez

"L'expression $\prod _{\sigma \in S_{n},\sigma 1=1}\left(V-\phi \left(\alpha _{\sigma 1},...,\alpha _{\sigma n}\right)\right)$, est invariante pour toutes les permutations des racines autres que la première et peut donc s'exprimer en un polynôme en $V$ et $\alpha _{1}$"

Or si je comprends bien (?) l'expression est en réalité "muette" en $\sigma$ puisque vous faites un produit pour $\sigma$ décrivant l'ensemble des permutations telles que $\sigma 1=1$ (C'est la même chose que de dire que $\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ ne dépend pas ... de i  !). Il me paraît donc évident, sans parler d'invariance (?) que le résultat est un polynôme des seules variables $\alpha 1$ et V...

2 petites remarques concernant l'orthographe:

• personnellement (et non personellement)
• appliquant (et non applicant)
• rationnelle, rationnellement etc... (2 n)

Courage et à bientôt.

--pduceux

Refonte de la théorie de Galois

J'ai pris le parti de décrire la théorie de Galois comme elle est maintenant définie. Il existe plusieurs raisons à cela:

• La théorie de Galois dépasse largement l'étude des équations algébriques, une présentation historique ne permet guère d'introduire des pans entiers de la théorie de Galois, comme la géométrie algébrique ou la théorie des corps de classes. Même les articles restreints à la problématique initiale des extensions finies comme l'Extension de Galois ne peuvent être introduit convenablement.
• Même une approche restreinte se limitant au Théorème d'Abel-Ruffini est complexe à comprendre et difficile à présenter rigoureusement. Il en est de même pour le Théorème de Gauss-Wantzel.
• Cette approche ne correspond pas à la définition actuelle de la théorie de Galois, celle maintenant communément admise provient des travaux d'Emil Artin.

En conséquence, j'ai écrit ou réécrit une quinzaine d'articles pour couvrir l'essentiel du cas des extensions finies avec deux applications Abel-Ruffini et Gauss-Wantzel. L'objectif est pour moi un article introductif qui permette de situer la théorie de Galois dans son contexte actuel, compatible avec les évolutions futures qui ne manqueront pas de traiter par exemple Galois inverse ou les relations avec les groupes de revêtements. Jean-Luc W 21 septembre 2006 à 10:33 (CEST)

J'ai déplacé l'ancien article vers Théorie de Galois à l'origine. Jean-Luc W 22 septembre 2006 à 15:07 (CEST)

Bibliographie

Il me semble qu'on pourrait ajouter à la bibliographie : Ivan Gozard, Théorie de Galois, 2^e édition, Paris, Ellipses, 2009, qui m'a l'air très bon. (Nombreux exercices résolus dans la seconde édition.)
Actuellement, les titres de la bibliographie ne sont rangés ni selon l'ordre alphabétique du nom d'auteur, ni selon l'ordre chronologique de publication. Il me semble qu'il faudrait choisir. Pour ma part, je préfère l'ordre chronologique de publication, mais il me semble qu'il y a une règle ou recommandation qui dit de suivre l'ordre alphabétique d'auteurs. (Il est vrai que je ne trouve pas cette règle sur la page Wikipédia:Conventions bibliographiques).
Marvoir (d) 16 août 2009 à 10:01 (CEST)

Équation cubique

Un grand merci à 90.43.101.183 (d · c) pour son alerte, que j'ai « mise en forme » vite fait, mais du coup on tombe sur un cas « dégénéré » moins représentatif. Peut-être vaudrait-il mieux remplacer q=1 par q=-1, car j'imagine que l'erreur ici provient de l'erreur là-bas, corrigée entre-temps. Anne Bauval (d) 17 décembre 2011 à 22:35 (CET)

Sur la section "Structure algébrique"

Dans la phrase: "L'apport majeur de Galois, c'est-à-dire l'utilisation d'une structure algébrique comme outil fondamental, est rapidement compris par la communauté mathématique. Cauchy (1789 1855) publie vingt-cinq articles sur les groupes dont un sur son célèbre théorème etc.", ce qui me gêne, ce n'est pas tant qu'on affirme que "l'utilisation d'une structure algébrique comme outil fondamental" est l'apport majeur de Galois (ce qui est quand même une opinion subjective très discutable), mais c'est que la structure de la phrase donne l'impression que les groupes furent découverts par Galois, et que ce n'est qu'ensuite que Cauchy et les autres ont publiés des théorèmes sur les groupes. Or les théorèmes sur les groupes furent publiés par Lagrange, Cauchy et d'autres avant Galois, et ils s'en sont justement servis intensivement pour démontrer des théorèmes sur la théorie des équations exactement comme Galois (Lagrange - long mémoire sur la théorie des équations et introduction des groupes de permutations, Ruffini - 400 pages, avec des théorèmes sur les groupes, Abel - démonstration de l'impossibilité de la résolution de l'équation du 5ieme degré basée elle aussi sur un théorème de groupe). Ce dernier a certes poussé plus loin l'étude des groupes de permutations, mais je ne vois rien qui diffère fondamentalement de ses prédécesseurs dans ce domaine (en fait, on voit même Galois citer un théorème de Cauchy sur les groupes d'ordre premiers dans le journal de l'école polytechnique, 17, dans une de ses preuves), et c'est manifestement cette façon de démontrer pour les équations littérales qui lui a donnée l'idée de sa théorie (il écrit au sujet d'un théorème (de Cauchy? si ma mémoire est bonne) qui utilisait les permutations laissant fixe la "valeur algébrique d'une expression" (i.e. la valeur formelle), "Je me suis intéressé aux permutations qui laissent fixe la valeur numérique d'une expression" (c'est ce que nous entendons aujourd'hui par "automorphismes"). Maimonid (discuter) 12 avril 2014 à 23:42 (CEST)

Je ne suis pas très compétent dans le domaine, mais je pense que quant à l'antériorité de Cauchy par rapport à Galois, vous avez raison : notre article est trompeur et devrait être corrigé. Hans Wussing, The Genesis of the Abstact Group Concept, 1984, réimpr. Dover 2007, p. 105, écrit : "Compared with the contributions of his predecessors - Lagrange, Ruffini, and Cauchy - Galois's momentous discovery is not the idea of a group but the insight into the structure of the group uniquely associated with an equation, and, in particular, the discovery of the role of certain of its subgroups, namely, the normal subgroups." Il est vrai que p. 102, Wussing écrit ceci, qui me semble aller un peu dans l'autre sens : "Galois's own work stems from an explicit new methodology, and from his deliberate policy of thinking in terms of structures." Ce qu'on peut peut-être retenir, c'est que Galois, bien qu'il fût explicitement soucieux de résultats généraux permettant d'éviter de traiter par calculs de nombreux cas particuliers semblables, n'a pas dégagé (beaucoup ?) mieux que ses prédécesseurs l'idée générale de groupe mais que, dans l'étude d'un groupe particulier, il a formulé (en termes différents de ceux d'aujourd'hui) la notion de sous-groupe normal. Mais je répète que je ne suis pas très compétent en la matière. Marvoir (discuter) 13 avril 2014 à 10:17 (CEST)

Pour m'être beaucoup occupé de ce sujet (je n'ai malheureusement pas fait de publication dans ce domaine), il me semble, personnellement que les notions de groupes de permutations et les premiers théorèmes étaient déjà bien connus avant Galois. Et c'est vrai qu'il a introduit la notion de groupe distingués, de groupes résoluble, l'utilisation des cycles pour démontrer que A_n n'est pas résoluble pour n>4, la notion de groupe linéaire et d'autres choses· Jordan, à qui on doit attribuer le premier ouvrage monumental sur les groupes de permutations écrit (modestement tout de même), "tout ceci n'est qu'un commentaire de l’œuvre de Galois" (cité de mémoire, probablement fautif, mais globalement exact). On peut donc dire que Galois a eu un rôle majeur dans le développement de la théorie des groupes. Mais à mon avis, son idée géniale est surtout la démarche que je qualifierais de fonctorielle, qui consiste à associer de façon bijective les sous extensions aux sous-groupes, et de ramener leur étude à celle des sous groupes. Ça, c'était vraiment vraiment révolutionnaire pour l'époque. Maimonid (discuter) 13 avril 2014 à 17:30 (CEST)

"La démarche fonctorielle de Galois, particulièrement novatrice, est à l'origine de l'algèbre moderne". Cette phrase est ridicule pour 2 raisons. D'abord elle est complètement anachronique et Galois n'y comprendrait rien car les foncteurs datent du XXe. Ensuite Wikipedia est une encyclopédie qui doit être accessible à quelqu'un qui découvre le sujet, surtout en début d'article. En cliquant sur le lien ce lecteur est 'satellisée' : "En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphisme".

Galois et les représentations linéaires

L'article dit maintenant : «  Mais l'apport majeur est dû à Galois, lequel est le premier à dégager la notion de sous-groupe distingué et la notion de représentation linéaire d'un groupe. »

D'après l'article Théorie des représentations d'un groupe fini, le fondateur de la théorie de la représentation des groupes est Ferdinand Georg Frobenius. Il me semble qu'il y a une contradiction... Marvoir (discuter) 13 avril 2014 à 13:40 (CEST)

Voir Bourbaki, p. A I.162 (dernière phrase de la page). Il serait sans doute abusif de dire que Galois a été le fondateur de la théorie des représentations des groupes finis. Néanmoins c'est avec Galois que cette idée de représentation linéaire apparaît pour la première fois.--Otto Cyber (discuter) 13 avril 2014 à 14:49 (CEST)

En effet, Bourbaki dit : « C'est aussi à Galois que revient la première idée de la "représentation linéaire des groupes" », mais il n'indique pas dans quel passage précis de Galois on trouve cette idée. Wussing, lui, p. 91, trouve "a kind of anticipation of representation theory" dans les deux dernières sections du Mémoire sur les arrangements... de 1844 de Cauchy (Exercices d'analyse..., 3, p. 151-252) et il ne crédite pas Galois d'une telle "anticipation"... L'histoire des mathématiques est décidément bien difficile... Marvoir (discuter) 13 avril 2014 à 15:55 (CEST)

À toutes fins utiles, le mémoire de Cauchy est consultable sur le site de l'université de Göttingen. Marvoir (discuter) 13 avril 2014 à 16:30 (CEST)

Unité de l'article?

Je trouve que l'article part un peu dans tous les sens.

1) Par exemple, le petit théorème de Fermat est une belle illustration de la théorie des groupes finis, mais je ne vois pas de rapport avec la théorie de Galois.

2) Cohérence de l'article avec Groupe de Galois et théorème fondamental de la théorie de Galois?

3) Il faudrait peut-être montrer comment la théorie de Galois permet de démontrer le théorème de Ruffini-Abel...

4) Théorie de Galois différentielle: ce qui est dit est un peu court. Il faudrait sûrement créer un article sur la théorie de Picard-Vessiot version Kolchin, et renvoyer à cet article.--Otto Cyber (discuter) 23 mai 2014 à 15:47 (CEST)

Je retire le point 4), puisqu'un article existe--Otto Cyber (discuter) 23 mai 2014 à 15:54 (CEST)