Discussion:Trisection de l'angle

J'utilise depuis quelques années, la méthode par pliage suivante: soit un angle aigu quelconque ABC (BC est vertical pour faciliter l'opération), d'un point 0 sur AB je trace un arc de cercle d'un rayon 0B qui coupe BM en un point C. Je plie la feuille sur son envers le long du rayon 0C, et je retourne ce pli sur l'avers de la feuille de manière qu'il passe par le point B et que le point C soit sur la hauteur du triangle B0C. On trace la ligne le long du pli. Si on désigne par H le coin du pli, et par E le point d'intersection du pli avec la hauteur on a HE=HC et EB=EC. Ainsi l'angle 0CB=3 l'angle HBC. J'aimerais connaître si ce procédé vous est connu et si vous connaissez son origine. Si-q-rieux (discuter) 25 octobre 2014 à 20:58 (CEST)

Autres Méthodes

Je constate que votre article sur la trisection, ne donne aucun exemple de solution graphique approchée. Je crois qu’il serait normal d’inclure la description d’un procédé très simple qui permet la trisection d’un angle quelconque avec une très grande précision sans aucun recours à un ajustement quelconque ou à l’itération. Vous remarquerez une similitude de la méthode que je propose avec celle d’ Archimède. Solution graphique simplifiée

Il s’agit d’une solution géométrique approchée qui permet de réaliser la trisection d’un angle A0B quelconque, en n’utilisant que la règle non graduée et le compas. Sa simplicité en fait une méthode à la portée de tous. Description du procédé. (Fig.W.1) 1-D’un point 0 sur le côté AB, mener une droite DE parallèle au côté BC et tracer un cercle d’un rayon 0B. Les points D et E sont sur le cercle qui coupe le côté BC au point F. 2-Mener le rayon 0F et joindre les points D et F pour couper au point G le rayon 0X’, normal à DE. 3-Faire GH parallèle à DE. Le point H est sur 0F. 4-Joindre H à B et prolonger pour couper 0X’ au point I, le cercle au point N et l’axe DE en n. 5-Faire l’angle ABN’ égale à l’angle NBF. 6-Tracer la bissectrice de l’angle N’BF, pour couper l’axe 0X’, le cercle et l’axe DE aux points T, M en m respectivement. 7-Sur les droites In et Tm, positionner les points i et t distants de 2x0B des points I et T et les joindre pour couper l’axe DE au point d. 8-La droite Bd est la trisectrice approximative de l’angle ABC.

Cette méthode permet de positionner la trisectrice d’un angle quelconque avec un écart de la position exacte qui s’exprime en secondes. De 0 à 45 degrés, cet écart est inférieur à 0.38 seconde, alors que pour les angles de 60, 75 et 90 degrés, ils sont respectivement de 3.31, 20.13 et 106.16 secondes.

Référence : Bulletin AMQ, Vol. XLV, No 4, décembre 2005, Note Mathématique. [ http://newton.mat.ulaval.ca/amq/bulletins/dec05/Note.pdf ] --Si-q-rieux (d) 15 octobre 2011 à 20:43 (CEST)

Concernant la méthode géométrique proposée le 15 oct.2011 20:43(CEST)il s'agit d'une simplification de la solution originale publiée dans le bulletin de l'AMQ cité en référence. J'ai uniquement épuré la figure, dont je l'auteur, des lignes superflues. Référence : Bulletin AMQ, Vol. XLV, No 4, décembre 2005, Note Mathématique. http://newton.mat.ulaval.ca/amq/bulletins/dec05/Note.pdf Si-q-rieux (d) 20 août 2012 à 15:34 (CEST)

La publication de Jean Aymes, Ces problèmes qui font les mathématiques (la trisection de l'angle) propose en effet pas moins de 9 approximations de trisection dont une, très simple, de Durer ayant une précision de l'ordre de 7 millième de seconde d'arc pour un angle voisin de 30° à 16 secondes d'arc pour un angle voisin de 90°, et une de D'Ocagne d'une simplicité biblique mais moins précise (3 minutes d'arc pour 45°). L'article est donc certes à compléter en proposant des constructions approchées mais comme il n'est pas question d'en mettre 10, il faudra faire un choix qui, je pense, sélectionnera plutôt les méthodes historiques. HB (d) 16 octobre 2011 à 10:11 (CEST)

Je vous remercie pour votre réponse. J’apprécierais des détails sur l’identité de Durer. Je suis d’accord avec votre commentaire élogieux à propos de la simplicité du procédé de M. d’Ocagne.

Je vous transmets le graphique (Fig.W.1) qui correspond à la méthode décrite dans ma discussion du 15 octobre à 20:43 (CEST).Fichier:Trisection.Solution.graph.simpl.Fig.W.1.jpg

Je profite de l’occasion pour vous informer que la ligne BH dans le graphique (Fig.W.1), correspond géométriquement à celle utilisée par M. d’Ocagne dans son procédé. La solution que je vous ai proposée est en réalité une amélioration de la méthode de M. d’Ocagne, avec la même simplicité légendaire. Pour les angles A0B inférieurs à 90 degrés, l’angle CBH est géométriquement inférieur au tiers de l’angle A0B. Si on le soustrait de l’angle A0B, la valeur résiduelle est égale 2*CBH +2*MBN. On a ainsi A0B= 3*CBH + 2*MBN. ::La solution de cette équation donne :

A0B/3 = CBH + (2/3) MBN

Sachant que la trisectrice est située entre la bissectrice BM et la droite BH, il est simple de définir les points t et i distants de 2*R de la droite 0X’. Le niveau de précision de cette méthode est supérieur à ce qu’on peut espérer d’une solution graphique.

--Si-q-rieux (d) 21 octobre 2011 à 01:52 (CEST)

Il s'agit du peintre et géomètre Albert Dürer. Sa méthode est aussi exposée ici mais avec une majoration très grossière de l'erreur. Je persiste d'autre part à penser que des méthodes "historiques" dont le rapport précision/simplicité est meilleur sont prioritaires si on développe un jour l'article pour parler des constructions approchées. D'autres avis? HB (d) 21 octobre 2011 à 08:47 (CEST)

Je suis du même avis que HB. Theon (d) 22 octobre 2011 à 08:59 (CEST)

Le 15 octobre 2011 à 20:43(CEST) je vous ai proposé une solution géométrique approchée. Il s’agit d’une approche géométrique qui s’appuie sur les travaux connus d’Archimède et de Nicomède. Les côtés de l’angle MBN, sont définis en respectant le théorème sur les angles, ce qui assure que la trisectrice se situe à l’intérieur de cet angle et que les deux points de la conchoïde sont de part et d’autre de la trisectrice. Vous l’avez refusée sans autres commentaires que votre choix irait vers des auteurs connus. Passons! La majorité des méthodes existantes sont des méthodes graphiques approchées sans aucune référence à des théorèmes de la géométrie. Celle de M. d’Ocagne que vous avez mentionnée est sans doute d’une grande simplicité mais sa précision est plutôt faible. Je me permets de vous proposer celle-ci : soit un angle aigu ABC quelconque. On trace la corde AC qu’on sectionne en trois segments AE=EF=FC. Sur le prolongement de cette corde AC, on pose un point S distant du point F d’une longueur égale à AC. La courbe d’un rayon SF coupe l’arc AC en un point K qui appartient à la trisectrice approchée BK de l’angle ABC. Cette méthode Ipso Facto dont la construction est très simple, permet une précision dont les écarts exprimés en minutes, sont: 3.23E-04(15), 1.04E-02(30), 7.90E-02(45), 3.36E-01(60), 1.03(75) et 2.61(90). On peut qualifier cette méthode d’utile vu sa grande simplicité et une précision qui est supérieure à celle d’un rapporteur d’angle courant. Il existe des méthodes avec des écarts inférieurs au centième de seconde mais qui n’apportent rien de plus. Si-q-rieux (d) 19 août 2012 à 16:19 (CEST)

Bonjour, avez-vous une référence livresque pour cette méthode ? (faute de quoi, elle ne peut être mentionnée sur Wikipédia) Anne (d) 19 août 2012 à 17:15 (CEST)

Je ne connais aucune référence livresque pour cette méthode. Il n'existe qu'une très faible similitude avec la méthode «Early folly» soit le no.21 publié par http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm Leur procédé utilise un npoint F(S)obtenu par l'intersection de la normale au centre d'une droite CD définie par le point C(F)et un point D situé sur une circonférence extérieure à l'arc AB et ayant pour centre le milieu de la corde AB. Ce point D appartient à un rayon de ce demi cercle mené à 60 degrés avec la corde AB. Si-q-rieux (d) 19 août 2012 à 23:08 (CEST)

Wikipedia n'a pas vocation à publier des travaux personnels inédits. C'est pourquoi il n'est pas possible de retenir votre solution.Theon (d) 21 août 2012 à 11:39 (CEST)

Pliage

Je n'ai pas compris l'explication du pliage. Je crois qu'il faudrait préciser dans le dessin quels points sont mentionnés dans le texte (par exemple avec des lettres dans le dessin). J'ai essayé de faire le pliage mais sans résultat... Barjak 9 mai 2004 à 20:55 (CEST)

Je vais pointiller l'angle tiers pour éviter le confusion. ℓisllk★✉ 9 mai 2004 à 21:28 (CEST)

Autres méthodes

De Robert MEUNIER xxx@xxx de PARIS 19ème

La trisection d'un angle quelquonque n'est pas impossible. Elle se réalise même très facilement, exclusivement à la règle et au compas sans autres artifices bien entendu. J'ai découvert une méthode très simple il y a peu de temps qui non seulement permet la division en 3 mais aussi la division en n'importe quel autre nombre (qu'il soit de Fermat ou non). Ainsi, la construction des polygônes à 7,9,11,13 etc... cotés est désormais possible et ceci très facilement. De plus elle est très facilement démontrable à l'aide des règles de géométrie et de trigonométrie élémentaires.

Je ne me permettrais pas de vous faire perdre votre temps et le mien si ce que je viens de vous informer n'était pas exact. Il s'agit d'une méthode rigoureusement exacte et non d'une méthode approchée de plus.

Dans l'attente d'une réponse,

salutations.

Avec une règle non graduée et un compas, il a été démontré que la construction n'est pas possible. Si on accepte la règle graduée ou une règle sur laquelle on puisse reporter une longueur alors des méthodes de construction existent, on appelle ces méthodes les constructions par neusis. Un jour, il faudra compléter cet article en les présentant brièvement. Aujourd'hui, je me contente de mettre un livre fort intéressant en bibliographie. HB (d) 7 juillet 2008 à 15:34 (CEST)

PS : j'ai enlevé votre adresse mail car ce n'est pas prudent de la laisser, on se fait trop facilement spammer par des robots

De Dinosaure (d) 2 septembre 2009 à 22:28 (CEST).

Je confirme la méthode de Robert MEUNIER ci-dessus, et je pense qu'il s'agit de la même idée. Je ne me suis pas renseigné au préalable sur l'impossibilité de le faire, mais je suis tout à fait ouvert à toute critique. // La critique a eu raison de ma déraison, et j'abdique : j'efface mon hérésie, en gardant tout de même la discussion.

Méthode courte, accompagnée par un dessin (Vu mon talent graphique, MsPaint était suffisant...) explicatif : //Dommage pour moi, ce fut bien tenté, mais sans prendre en compte une assez lourde série d'imprécisions/d'idées infondées.

Cordialement,

D.

Merci d'avoir pris soin d'aller jusqu'à présenter une illustration. Hélas, je ne peux que confirmer l'affirmation précédente : Il a été démontré (voir Théorème de Wantzel) que la trisection à la règle et au compas n'est réalisable que pour certaines valeurs de l'angle. Il est donc préférable, si la curiosité vous pousse, à rechercher de la documentation concernant ce problème plutôt que de tenter une impossible construction. Concernant votre construction, si je l'ai bien comprise, et si j'appelle BDEC les 4 points permettant la trisection de l'angle (BAC) , on voit immédiatement que, par symétrie, les angles BAD et EAC sont bien égaux mais ils ne sont pas égaux à DAE. Par exemple, pour un angle de 120°, l'angle BAD est voisin de 19°. Donc cette construction, donnée sans démonstration, est invalidée par la donnée d'un simple contre-exemple. (petite curiosité : On peut cependant prouver que, dans cette construction, quel que soit l'angle de départ, les points D et E découpent le segment BC au quart des extrêmités). HB (d) 31 août 2009 à 16:05 (CEST)

Il semblerait en effet que mon dessin soit incorrect, ou que je me sois embrouillé dans mes tracés (voire même probablement les deux cumulés).

Le principe proposé de la trisection d'un angle (et de la x-section du même angle) repose sur le théorème de Thalès.

Le but étant d'obtenir un segment BC scindé en 3 (ou x) morceaux de même longueur, de sorte que l'angle BÂC soit "coupé en 3 (ou x) parties égales".

//Edition de l'inutile.

Cordialement,

Dinosaure (d) 31 août 2009 à 21:38 (CEST)

P.S : En revanche, pour les démonstrations, ça va être dur dur. J'ai beau avoir mon bac depuis quelques années, les démonstrations n'ont jamais été mon fort... //Edition de l'inutile.

Quand le segment [BC] est coupé en trois parties égales les angles BAD et EAC n'ont pas la même valeur que l'angle DAE. HB (d) 31 août 2009 à 22:58 (CEST)

Sinon, je suis étonné : le segment [BC] coupé en 3 (B ]-l-l-[ C) ne donnerait pas les 2 droites qui coupent l'angle BÂC en 3 parties égales ? Je prend note de la remarque, mais mon intuition me dit le contraire, et mes souvenirs de Thalès aussi... Je crois qu'il va me falloir plus de renseignements pour le coup. (Mais il est bien tard.)

//Edition de l'inutile, je confirme ce qui est reproché : la section d'un angle ne vaut pas celle de l'arc associé. (Note personnelle : cette approximation est en revanche relativement bonne à main levée, il faut faire attention à cette erreur !)

Je ne comprends pas que vous insistiez ! on vient de vous dire qu'il a été démontré que cette construction est IMPOSSIBLE à la règle non graduée et au compas seuls. Vous êtes dans la même situation que ces fous qui continuent d'envoyer des prétendues solutions à la quadrature du cercle ALORS QU'IL A ETE DEMONTRE que c'est également impossible. La seule chose qu'il soit possible de faire est d'avoir une trisection approchée (mais pas exacte).Claudeh5 (d) 1 septembre 2009 à 00:02 (CEST)

Que de violence dans cette réponse...

Prenons un angle a (XÂY) quelconque, et BC deux points à égale distance de son origine (A) sur les demi-droites qui le composent ( [AX) et [AY) ).

découpons maintenant le segment [BC] en deux parties égales : nous obtenons la bissectrice (résultat connu et démontré par plus compétent que moi).

découpons maintenant ce segment en trois parties égales : nous obtenons deux angles b de même mesure (les angles BÂD et EÂC sur mon idée plus haut), et un troisième angle (disons c) de mesure inconnue (nommé DÂE plus haut), ce qui donne a = 2*b+c.

Si il est possible de prouver que l'angle c (DÂE) est égal à l'angle b (BÂD et EÂC), alors il aura bien été possible de découper un angle quelconque en 3 parties égales, vu que dans ce cas a = 2*b+b.

Il ne reste plus alors qu'à trouver une technique à la règle et au compas pour obtenir la section de [BC] en 3 segments de même mesure, si cette découpe donne bien un résultat régulier. // Or, il m'a été dit plus haut que ce n'est pas le cas, je dois donc reconsidérer la mesure de c (DÂE) pour obtenir une bonne mesure.

//Edition de l'inutile.

Merci de rester calme et courtois, je ne fais que proposer des idées, en espérant recevoir un avis constructif.

Cordialement, Dinosaure (d) 1 septembre 2009 à 10:10 (CEST)

Cette question a été résolue au 19e siècle (théorème de Wantzel). Vous pouvez vous en procurer la démonstration dans le livre de Carrega, Théorie des corps,la règle et le compas, Hermann, 1981. Mais c'est un résultat difficile.Je ne veux pas être désobligeant mais je trouve singulier de demander de l'aide et de refuser la seule réponse sensée que l'on puisse vous apporter: la trisection d'un angle quelconque est impossible par la règle non graduée et le compas seuls et c'est perdre son temps que de poursuivre dans cette voie.Claudeh5 (d) 1 septembre 2009 à 16:04 (CEST)

Le théorème de Wantzel est disponible (en partie ?) sur Wikipedia, je suis allé y faire un tour comme il me l'a été conseillé, mais ça n'a strictement pas été concluant. (Soit j'ai louppé le gros bout --ce qui est fort probable, vu mon manque de compréhension de ce qu'est une "extension quadratique"--, soit je suis trop obstiné pour me raisonner si facilement.)

"Refuser la seule réponse sensée qu'on puisse m'apporter" serait vous sous-estimer : j'espère mieux que "c'est impossible, car c'est impossible" comme réponse obtenue. //Réponse sensée n°2 obtenue plus bas, j'abdique.

Et je confirme ce que HB a dit plus haut, la section du segment [BC] ne revient pas au même que la section de l'arc )BC(.

Cordialement, Dinosaure (d) 1 septembre 2009 à 18:50 (CEST)

En 1775, l'Académie Royale des Sciences prit la résolution « de ne plus examiner aucune solution des problèmes de la duplication du cube, de la trisection de l'angle, ou de la quadrature du cercle, ni aucune machine annoncée comme un mouvement perpétuel. [...] Une expérience de plus de soixante-dix ans a montré à l'Académie qu'aucun de ceux qui lui envoyaient des solutions de ces problèmes n'en connaissaient ni la nature ni les difficultés, qu'aucune des méthodes qu'ils employaient n'auraient pu les conduire à la solution, quand même elle serait possible. Cette longue expérience a suffi pour convaincre l'Académie du peu d'utilité qui résulterait pour les Sciences, de l'examen de toutes ces prétendues solutions. D'autres considérations ont encore déterminé l'Académie. Il existe un bruit populaire que les Gouvernements ont promis des récompenses considérables à celui qui parviendrait à résoudre le Problème de la quadrature du cercle, que ce Problème est l'objet des recherches des Géomètres les plus célèbres ; sur la foi de ces bruits, une foule d'hommes beaucoup plus grande qu'on ne le croit renonce à des occupations utiles pour se livrer à la recherche de ce Problème, souvent sans l'entendre, et toujours sans avoir les connaissances nécessaires pour en tenter la solution avec succès : rien n'était plus propre à les désabuser que la déclaration que l'Académie a jugé de devoir faire. Plusieurs avaient le malheur de croire avoir réussi, ils se refusaient aux raisons avec lesquelles les géomètres attaquaient leurs solutions, souvent ils ne pouvaient les entendre et ils finissaient par les accuser d'envie ou de mauvaise foi. Quelquefois leur opiniâtreté a dégénéré en une véritable folie. Tout attachement opiniâtre à une opinion démontrée fausse, s'il s'y joint une occupation perpétuelle du même objet, une impatience violente de la contradiction, est sans doute une véritable folie ; mais on ne la regarde point comme telle, si l'opinion qui forme cette folie ne choque pas les idées connues des hommes, si elle n'influe pas sur la conduite de la vie, si elle ne trouble pas l'ordre de la Société. La folie des quadrateurs n'auraient donc pour eux aucun autre inconvénient que la perte d'un temps souvent utile à leur famille ; mais malheureusement la folie se borne rarement à un seul objet, et l'habitude de déraisonner se contracte et s'étend comme celle de raisonner juste ; c'est ce qui est arrivé plus d'une fois aux quadrateurs. D'ailleurs ne pouvant se dissimuler combien il serait singulier qu'ils fussent parvenus sans étude à des vérités, que les hommes les plus célèbres ont inutilement cherchées, ils se persuadent presque tous que c'est par une protection particulière de la Providence qu'ils y sont parvenus, et il n'y a qu'un pas de cette idée à croire que toutes les combinaisons bizarres d'idées qui se présentent à eux, sont autant d'inspirations. L'humanité exigeait donc que l'Académie, persuadée de l'inutilité absolue de l'examen qu'elle aurait pu faire des solutions de la quadrature du cercle, cherchât à détruire, par une déclaration publique, des opinions populaires qui ont été funestes à plusieurs familles. » Theon (d) 1 septembre 2009 à 19:35 (CEST)

Certes, mais cela ne convaincra certainement pas notre génie méconnu. Je propose plus simplement de rappeler que le théorème de Thalès permet de diviser un segment en portions égales mais certainement pas un angle. Ambigraphe, le 1 septembre 2009 à 23:39 (CEST)

Je pourrais vous fournir une copie du livre de Carrega mais malheureusement, d'après vos propres indications ("En revanche, pour les démonstrations, ça va être dur dur. J'ai beau avoir mon bac depuis quelques années, les démonstrations n'ont jamais été mon fort"), vous n'êtes pas au niveau de comprendre ce qu'est une extension quadratique d'un corps: ces questions ne sont abordables qu'avec une licence de mathématique au strict minimum et préférentiellement une maitrise de mathématique ou un master comme on dit aujourd'hui. Mais si vous désirez tout de même le livre, contactez moi.Claudeh5 (d) 2 septembre 2009 à 00:11 (CEST)

Merci pour ces réponses. La citation de l'Académie étant tout à fait pertinente, j'accepte de prendre en compte "ce problème est impossible", maintenant que j'ai une bonne raison de croire ce qui m'est dit.

Il ne s'agit pas (pour moi) de posséder la science ultime, ni de résoudre coûte que coûte un problème, mais plutôt qu'une série de faits approchants m'ont permis de penser que c'était possible. Ce que l'Académie dément de manière honorable. Par ailleurs, vous n'avez besoin de vous soucier ni de ma vie, ni de mes loisirs en particulier. :)

Merci pour la proposition d'obtenir le livre de Carrega, mais comme indiqué plus haut (et si bien relevé), je risque d'être totalement dépassé par les informations inscrites dedans.

Pour autant, la discussion n'aura pas été vaine, puisque mes connaissances ont été améliorées (un p'tit peu : la section d'un segment ne revient pas au même que celle d'un arc qui lui est associé), et que le problème est résolument clos du point de vue Académicien.

Si il était possible d'avoir confirmation de mon erreur sur cette dernière figure, je vous laisserai tranquilles :

(Construire l'arc BC depuis le sommet A de l'angle XÂY. La bissectrice de XÂY est sécante en F avec [BC], puis les points D et E sont construits par une section entre le cercle de centre F et de diamètre BC, et les arcs sécants de même longueur et de centres B puis C.)

Comment calculer la valeur des angles BÂD, DÂE et EÂC ? (En prenant que l'angle XÂY soit noté a, est-il possible d'avoir une valeur ? exemple : BÂD = 1/10*a, DÂE = 3/10*a, et EÂC = 6/10*a ?)

Je vous remercie encore du temps passé à expliquer/informer, et j'espère au-moins qu'une prochaine personne pensant trouver la trisection d'un angle saura (et comprendra) que c'est impossible.

Dinosaure (d) 2 septembre 2009 à 22:28 (CEST).

Pour info, je dessinai des figures géométriques inscrites dans un cercle (type triangles équilatéraux, hexagrammes, octogrammes), quand je suis tombé sur un os pour le pentagramme et l'heptagramme. Un tour sur Wikipedia (anglaise) dans le coin des figures géométriques (Hendécagone) m'a interpellé : "Le nombre 11 n'étant pas un nombre de Fermat, il est impossible de construire à la règle et au compas un hendécagone régulier." Puis, j'ai dérivé sur les construction impossibles. Et donc, "Pour voir", je me suis intéressé à la trisection d'un angle, bille-en-tête : ça semble au premier abord si simple, si intuitif.. Comme un bonbon pour l'esprit, je dirais. Bref, voilà l'histoire de ma (passionnante) vie, et le pourquoi du comment cette discussion.

Si vous pouviez répondre à mes dernières interrogations, cela serait un véritable plaisir. /+ ajout d'une raison d'édition, pardon./

Les formules obtenues ne seront pas très jolies, mais si vous vous intéressez à la géométrie, je vous conseille d'étudier les fonctions trigonométriques, qui vous permettront de calculer tout ça. Je vous aide. Notez G le milieu de [CD] et r la longueur de [AB]. Calculez successivement BÂF, BF, DG, FG, AF, AG, DÂG et DÂE. Vous vous rendrez compte que DÂE ne vaut pas le tiers de BÂC.

En cas de difficulté à faire ces calculs, parlez-en sur ma page de discussion plutôt qu'ici. Considérons que cette section n'a pas besoin d'être développée davantage. Ambigraphe, le 3 septembre 2009 à 22:53 (CEST)

Règle à deux graduations = règle + compas ?

Voilà, je n'ai pas lu toute la discussion, celà dit j'ai bien compris qu'il ne fallait pas parler ici de la non-impossibilité de la trisection de l'angle. Pourtant, je ne peux m'empêcher de penser que la méthode par règle graduée et compas est adaptable à la règle et au compas.

En fait, pour tout dire, je trouve la méthode "règle graduée+compas" très... peu élégante, disons, voire carremment douteuse. Et la méthode que je vous propose me semble tout ausi douteuse. A vous de juger. Je m'explique.

Je reprends les mêmes notations que pour la méthode compas et règle graduée. On prend donc notre angle, et on trace autour de son sommet B un cercle de rayon r (ici, nous ne disposons pas de règle graduée, donc r est quelconque). Ce cercle coupe un cotès de l'angle en A, et on prolonge l'autre par delà le sommet. C'est là que je doute de l'exactitude de la méthode. On place la règle sur le point A, on la fait pivoter autour de A, et on la fait glisser de manière à ce que les graduations se placent sur le cercle et la droite. On trace la doite suivant la règle et on obtient C sur le cercle et D sur la droite. (dans le cas où A, C et D sont bien alignées dans l'ordre, puisque le cas où l'ordre est A, D et C n'a aucun interet : AC est un diamètre et D=B). Je fais de même sans graduations : On place la règle sur le point A, on la fait pivoter autour de A, et on fait coulisser le compas (ouvert d'un écart r) le long de la règle de manière à ce que ses deux pointes se placent sur le cercle et la droite. On trace la doite suivant la règle et on obtient C sur le cercle et D sur la droite. Après ça et sans surprise, l'angle BDA est le tiers de l'angle de départ.

J'ai fait le test et cette méthode de construction est tout aussi facile avec ou sans gradations.

Je conçois que ce qu'on appelle "construction à la règle et au compas" correspond en fait à un ensemble de construction qui sont les composées de constructions de base. Ma méthode ne correspond sans doute pas à cette définition d'une "construction à la règle et au compas", mais... je n'en reste pas moins persuadé que téchniquement, une telle construction est possible à la règle et au compas.

Qu'en pensez-vous ?

--Benwat (d) 27 juin 2011 à 15:18 (CEST)

Wikipédia n'est pas le lieu pour discuter de nouvelles découvertes, qu'elles soient correctes ou erronées. Adressez-vous plutôt à un forum de mathématiques. Cordialement, Ambigraphe, le 29 juin 2011 à 08:37 (CEST)

Il me semble que Benwat cherche simplement à mieux comprendre l'article et non à proposer une découverte révolutionnaire. L'opposition construction à la règle et au compas vs construction à la règle graduée et au compas n'est pas très judicieuse à mon avis car elle prête le flanc à l'objection de Benwat : la construction proposée à la règle graduée et au compas peut s’effectuer aussi bien avec une règle non graduée (moyennant une gymnastique un peu compliqué, faire pivoter la règle... faire glisser le compas... en même temps !). Les méthodes à opposer sont les constructions directes - on trace des cercles de centre et de rayon pris sur la figure, et des droites passant par des points pris sur la figure - et les constructions par neusis (ajustement ou inclinaison ou règle glissante) - on positionne la règle par pivotement de telle sorte que deux points marqués sur celle-ci soient situés sur deux courbes (cercle ou droite) déjà tracées. La méthode que tu proposes Benwat est donc analogue à la méthode avec règle graduée, c'est une construction par neusis, dans laquelle on est obligé de tâtonner. Tu l'appelles douteuse à juste de titre. Les anciens ne la reconnaissaient pas comme une méthode pure. HB (d) 29 juin 2011 à 09:56 (CEST)

La construction à la règle et au compas est définie dans l'article du même nom. Les constructions autorisées consistent à tracer une droite passant par deux points donnés, et à tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. A l'inverse, la construction par règle graduée est qualifiée dans le présent article par ajustement. Comme le dit HB, ce qui oppose les deux méthodes est moins les instruments utilisés que les règles conventionnelles qu'on s'impose, le nom des instruments utilisés n'étant là que pour mémoriser facilement ces règles. Theon (d) 29 juin 2011 à 10:12 (CEST)

Conchoïde de Nicomède

Plusieurs remarques concernant cette section :

• Il faudrait s'entendre sur le nom du pôle o ou O. Actuellement le même point porte tantôt le nom de o tantôt le nom de O. Dans le dessin, le pôle porte le nom de o
• Dans l'exposé c'est la branche gauche de la conchoïde qui est utilisée (la branche droite n'ayant aucune utilité ici) or cette branche gauche a pour équation polaire $\rho ={\frac {a}{cos\theta }}-d$ avec d=OI (avec tout le problème du ρ négatif) et non $\rho ={\frac {a}{cos\theta }}+d$
• Cette branche gauche permet bien d'obtenir une trisection de l'angle OIH à condition de savoir construire cette portion de conchoïde. J'ai donc cherché quel moyen mécanique utilisait Nicomède pour construire sa conchoïde. Ce qui m'a amené à ce site de l'ens où l'on montre l'outil de Nicomède qui permet de tracer la portion droite de la conchoïde. Une recherche plus approfondie m'amène à deux autres sites[1], [2] proposant une autre conchoïde pour la trisection de l'angle : celle d'équation $\rho ={\frac {a}{cos\theta }}+2d$ où d=OI. Cette conchoïde facile à tracer avec l'instrument de Nicomède permet d'obtenir la trisection de l'angle HOI (et non plus OIH) par intersection de la conchoide avec la parallèle à OH passant par I. Si N est ce point d'intersection, HON=¹⁄₃HOI. Ce qui me parait plus logique

Du coup, je me pose la question de la pertinence de notre exposé. Remplacer une construction par une autre ne résoudra pas le problème essentiel des sources : où trouver une source historique pertinente qui nous indique ce que fit réellement Nicomède?. HB (d) 27 février 2013 à 11:27 (CET)

Tracé approximatif

Bonjour,

Dans le livre "courbes usuelles, tracés géométriques" de Fernand Arthot et Paul Mansion (ISBN 2-7135-0423-6), on trouve une méthode pour diviser un angle en 3 parties égales.

La construction décrite est la suivante (Un peu développé par rapport au livre, pour marcher sans illustration) :

• Admettons l'angle XOY.
• Traçons le cercle de centre O coupant les cotés de l'angle en B & C et la bissectrice en A.
• Traçons le cercle de centre A et de rayon AB, coupant la bissectrice en D.
• Construire G milieu de AD.
• Traçons la parallèle de GB passant par O et la parallèle de GC Passant par O.

Je suis conscient que celle-ci n'est qu'approximative et géométriquement fausse, c'est pour cela que je la présente ici avant de d'essayer une modification de l'article. Mais au vu du fait que je me suis retrouvé sur cette page cherchant un moyens approximatif de tracé cette trisection, je me dit qu'elle a quand même sa place ici. Effectivement cette approximation est amplement suffisante pour des tracés de construction, comme ce dont j'avais besoin.

Qu'en pensez vous?

--Frederiiiic (discuter) 26 octobre 2019 à 02:06 (CEST)

Cette proposition reprend le fil d'une discussion datant de 2011, plus haut dans cette page. Il en ressortait qu'il existait de nombreuses solutions approchées et qu'il vaudrait mieux privilégier une solution approchée historique, par exemple celle de Dürer. Theon (discuter) 26 octobre 2019 à 07:42 (CEST)