Discussion:Valeur absolue

Définie sur quoi ?

La valeur absolue est-elle définie sur un K-espace vectoriel ou seulement sur un anneau voire un groupe ?

La valeur absolue est traditionnellement définie sur ℝ uniquement (et ses sous-ensembles). Maintenant, les notions de module (sur ℂ) ou de norme (sur un K-espace vectoriel) généralisent cette notion de valeur absolue. Pour ce qui est des anneaux et des groupes en général, je ne connais pas d'équivalent de la valeur absolue.--Ąļḋøø 7 nov 2004 à 19:05 (CET)

Décidément, je réponds à une question mais je ne lis même pas l'article avant !!! Bah effectivement, on dirait que la notion a un sens pour un anneau ou un groupe ;-) au temps pour moi --Ąļḋøø 9 nov 2004 à 23:41 (CET)

En fait tu as bien fait de répondre à la question avant de lire l'article car il est possible que je me soit trompé la valeur absolue et peut-être seulement définie sur un corps -> à voir pour ceux qui s'y connaissent un peu --Delph 11 nov 2004 à 15:07 (CET)

Progression dans l'abstraction

Imaginons un néophite cherchant à se renseigner sur la valeur absolue et tombant sur la définition d'une valeur absolue dans groupe. Il n'ira pas plus loin car il lui faudrait un bac + 2 en math pour comprendre. Il me semble préférable de présenter une notion tranversale comme celle-ci en ordre croissant d'abstraction Donc je modifie le plan.HB 9 nov 2004 à 23:08 (CET)

Bonne idée

C'est vrai je n'y avait pas trop pensé désolé --Delph 11 nov 2004 à 15:07 (CET)

Algorithme

Cette section me semble totalement superflue. L'"algorithme" est tellement évident, et inutile dans la plupart des langages où la fonction "abs" est réjà définie. -> suppression. FvdP (d) 9 nov 2004 à 23:34 (CET)

Tout à fait d'accord ! D'autant plus qu'il s'agit plus d'astuces de programmation pour le cas improbable ou la fonction abs n'existe pas que de véritables algorithme (avec une complexité non triviale) --Ąļḋøø 9 nov 2004 à 23:43 (CET)

Historique

J'ai ajouté un historique que j'avais écrit pour un projet. Voici la référence : Gagatsis, A., and Thomaidis, I. (1994). Un étude multidimensionnelle du concept de valeur absolue. In M. Artigue, R. Gras, C. Laborde and P. Tavignot (eds.), Vingt ans de didactique de mathematiques en France. (pp. 343-348). Grenoble: La Pensée Sauvage.

Démonstration sans doute fausse

Dans la section consacrée à la valeur absolue dans un corps, la démonstration que $|e|=1$ me semble fausse. En effet, tout ce qu'on a au départ, c'est $|e|^{2}=|e|$, et pas $|e|^{2}=1$ comme dit dans le texte. L'équation $|e|^{2}=|e|$ ayant deux solutions dans $\mathbb {R} ^{+}$, à savoir $0$ et $1$, il faut invoquer l'axiome de séparation pour ne retenir que la solution $|e|=1$.

Par ailleurs, la notation $e^{2}$ n'est introduite nulle part : s'agit-il de $|e|^{2}$ (dans $\mathbb {R} ^{+}$) ou de $e.e$ (dans K) ? --MathsPoetry (discuter) 30 décembre 2013 à 22:24 (CET)

Le « sans doute » de l'intitulé vaut apparemment pour toi, mais lis mieux : « Une telle application se restreint en un morphisme de groupes multiplicatifs de K* dans ℝ₊* ».

« Par ailleurs », la notation $e^{2}$ n'a pas à être « introduite » ici : elle signifie, ici comme partout, « $e.e$ (dans K) ».

Anne (discuter) 30 décembre 2013 à 22:41 (CET)

On parle de ceci : "|e| = |–e| = 1 car e² et (–e)² sont égaux au neutre de K* or dans ℝ+*, l'unique élément de carré égal au neutre est 1."

Si e² est le carré dans K, tu passes ensuite à R+*. Bon ok, morphisme de groupes, mais comment le lecteur fait pour deviner que tu as un morphisme de groupes en tête ? Le non-dit dans ces démonstrations atteint des proportions fabuleuses.

Par ailleurs, l'invocation d'un morphisme de groupes est encore une fois un appel à un "bulldozer" là où des considérations élémentaires suffiraient.

Par ailleurs, pourquoi R+* ? L'application valeur absolue a des valeurs dans R+. Tu ne peux pas faire l'économie d'invoquer l'axiome de séparation pour exclure le cas 0. C'est justement lui qui fait que K* correspond bien à ℝ+*.

Pour t'en persuader, je me fais l'avocat du diable : soit f(x) = 0 pour tout x, y compris e. Pour tout x et y de K, f(x . y) = 0 = 0 . 0 = f(x) . f(y), on a bien un morphisme de groupes d'après la définition de Morphisme de groupes.

edit : c'est faux, (R, .) n'étant pas un groupe, c'est (R*, .) qui l'est. My bad.

Cordialement, --MathsPoetry (discuter) 30 décembre 2013 à 23:10 (CET)

Maths Poetry, j'ai un peu de mal à suivre tes objections. Le texte se décompose en deux parties. Une qui donne les arguments clés « Une telle application se restreint en un morphisme de groupes multiplicatifs de K* dans ℝ+* donc vérifie |e| = 1 (où e désigne le neutre de K*) et |–x| = |x| (pour tout élément x de K)» qui permettent de dire que |x-y| est une distance et fournit quelques détails expliquant pourquoi |-x|=|x| (|-x|=|x| car |-e|= 1 et |-e| = 1 car |-e|²=|(-e)²|=|e|=1 et que le seul nombre de R+* dont le carré vaut 1 est 1). Donc, le lecteur n'a pas à deviner que l'on a un morphisme en tête puisqu'il est indiqué. L'idée de se restreindre à K* et à R+* est justement une astuce pour pouvoir utiliser les propriétés du morphisme de groupe et, oui, bien sûr, pour que la restriction à K* et R+* soit bien une application il faut se servir de la propriété appelé ici axiome de séparation.

Mais il ne me semble pas qu'Anne ait eu pour projet de présenter une démonstration complète, juste d'indiquer les pistes à suivre pour obtenir le résultat final «|x-y| est une distance». Il me semble bien que les grandes lignes y sont parfaitement esquissées sans erreur. HB (discuter) 31 décembre 2013 à 00:01 (CET)

Je n'ai lu que la section en question et pas l'ensemble de l'article, donc je n'allais pas "deviner" que Anne utilisait les morphismes de groupe.

Inutile de « deviner » ou de lire ailleurs « que la section en question », où c'est explicite (et pas du tout élitistement astucieux, ni allusif, ni à peu près, comme tu dis plus bas). Anne (discuter) 31 décembre 2013 à 01:44 (CET)

Pour l'astuce de se restreindre à K* et à R+*, c'est sans doute "naturel" pour un prof de fac ou de prépa, et je vois bien maintenant d'où ça sort, mais je doute que ce soit aussi évident pour le lecteur moyen de WP.

Je n'aime vraiment pas ces démonstrations incomplètes, ou pistes de démonstration, appelle-les comme tu veux. Pour moi, une démonstration ça doit être en béton, chaque étape doit être explicitée avec rigueur, ce côté allusif, cet à-peu-près, me dérangent profondément.

Content de voir que je n'ai pas tort sur le rôle joué par l'axiome de séparation dans cette affaire.

Tu avais seulement tort de le monter en épingle alors qu'il était explicitement utilisé dans l'argument. Anne (discuter) 31 décembre 2013 à 01:44 (CET)

'Explicitement', c'est la présence de l'étoile dans K*, c'est ça ? On n'a vraiment pas la même notion de l'explicite. --MathsPoetry (discuter) 31 décembre 2013 à 01:53 (CET)

Qui n'écoute pas qui ? C'était entièrement explicite et sans aucun « non dit », évidemment pas par la seule présence de l'étoile mais, pour la quatrième fois (dont 1 fois dans l'article et 2 fois ci-dessus, par moi puis HB) : « Une telle application se restreint en un morphisme de groupes multiplicatifs de K* dans ℝ+* ». Mais je m'apprête à rendre cette preuve encore plus simple. Anne (discuter) 1 janvier 2014 à 15:53 (CET)

Au lieu d'aller vers le lecteur, on demande au lecteur d'aller vers nous. Ce n'est pas comme ça que j'imagine une encyclopédie.

Au lieu de rédiger de façon neutre, tu imposes au lecteur d'apprendre en suivant le même cheminement que toi, et tends à lui faire croire subtil et compliqué ce que tu n'as pas trouvé tout seul ou simplement pas lu. Anne (discuter) 31 décembre 2013 à 01:44 (CET)

--MathsPoetry (discuter) 31 décembre 2013 à 01:17 (CET)

Il y a un nom pour ce que tu es en train de faire : c'est un procès d'intention. Le cheminement en question, c'est le cheminement de ma source, ni plus ni moins. Raisonnements divins, springer, p. 150 et p. 151. Rédiger de façon neutre, c'est reconnaître qu'il y a plusieurs cheminements pour arriver aux mêmes résultats, ce n'est pas supprimer de façon intolérante les démonstrations rédigées par les autres comme tu le fais. --MathsPoetry (discuter) 31 décembre 2013 à 01:51 (CET)

???!!!!...

À ceux qui, comme moi, s'étonneraient de voir Anne reprocher à MathsPoetry de vouloir imposer un cheminement au lecteur et MathsPoetry reprocher à Anne d'avoir modifié sa dem pourtant sourcée (quelle dem? quelle source ?), je leur signale que cette discussion n'est en fait qu'un dommage collatéral d'un conflit né dans valeur absolue ultramétrique pour savoir où mettre les démonstrations et comment les choisir. J'ai bien mon idée là-dessus mais comme elle ne correspond ni à la ligne choisie par Anne, ni à celle choisie par MathsPoetry, il est inutile que je rajoute à la cacophonie ambiante.HB (discuter) 31 décembre 2013 à 08:36 (CET)

--MathsPoetry (discuter) 31 décembre 2013 à 10:20 (CET)

Le lieu est inadéquat en effet pour discuter de "valeur absolue ultramétrique" mais, MathsPoetry, c'est ici qu'il me faut répondre à tes 2 accusations ci-dessus, graves pour moi, surtout venant de toi.

• Je n'ai pas rêvé, c'est bien toi qui m'as notifié un remerciement le 28/12, pour avoir supprimé de l'article « Valeur absolue ultramétrique » une preuve qui, bien que sourcée, n'avait rien à y faire, comme expliqué dans mon commentaire de diff que tu approuvais donc. Je trouvais ça normal mais tu m'as agréablement surprise. Hélas tu as changé d'avis depuis et as reverté mon nettoyage, de façon tout aussi « intolérante ».
• Ce n'est pas un « procès d'intention » mais un diagnostic que j'avais fait (et maintiens), après avoir observé attentivement ces derniers jours tes multiples balbutiements de rédaction d'une preuve que |–x|=|x|, tes soupçons infondés d'erreurs ou lacunes dans ce que tu lisais, et tes propres erreurs.

Quant aux p. 150-151 de l'édition 2013 de Raisonnement divins que tu dis avoir copié texto, leurs auteurs auraient mieux fait de s'abstenir d'un ajout aussi maladroit dans leur nouvelle édition (ça ne figure pas dans celle de 2006) et toi, de ne pas t'en faire le véhicule. Je vais plutôt mettre la preuve la plus simple de |–x|=|x| (c'est bête comme chou donc on lui trouvera forcément un source après, comme j'ai fait il y a qq jours pour une autre preuve dans distance ultramétrique), reléguer en boîte déroulante le désormais anecdotique |e| = 1, et effacer le redondant |–e| = 1.

Anne (discuter) 1 janvier 2014 à 15:53 (CET)

Je me souviens très bien de t'avoir remercié, mais je me souviens que c'était pour une histoire de mise en forme. L'historique me donne évidemment tort, je ne comprends pas trop ce qui s'est passé, doigt qui a dérapé, confusion entre deux diffs sans doute.

Si, c'est un procès d'intention. Tu supposes ma démarche intellectuelle. Désolé, tu n'es pas dans ma tête. Je t'ai expliqué plusieurs fois que le caractère élémentaire de ces preuves me séduisait, jamais tu ne m'as répondu sur ce point.

C'est facile de me reprocher mes "erreurs" quand tes démonstrations ne présentent pas leur argument majeur et qu'il faut jouer aux devinettes.

Si, je t'ai répondu (plusieurs fois), et HB aussi : les démonstrations présentaient leur argument majeur et il n'y avait aucune devinette. Anne (discuter) 1 janvier 2014 à 18:11 (CET)

Évidemment, si tu considères ta faculté de raisonnement supérieure aux sources, il n'y a plus grand chose à discuter. Bien sûr, elle est supérieure, mais ce n'est pas la règle du jeu sur Wikipédia.

Je ne considère pas du tout cela, je dis simplement qu'il faut chercher et choisir des sources avec plus de ténacité et de discernement. Anne (discuter) 1 janvier 2014 à 18:11 (CET)

J'en ai un peu marre de cette querelle stérile et je compte m'en désintéresser. Je te propose de laisser HB tout réorganiser à son idée et arbitrer. Je te souhaite quand même une très bonne année et qu'on oublie ce vilain échange. --MathsPoetry (discuter) 1 janvier 2014 à 17:03 (CET)

Distance équivalentes et normes équivalentes

La valeur absolue est une fonction de distance et deux distances d1 et d2 topologiquement équivalentes ne sont pas forcément uniformément équivalentes. Donc la phrase suivante est fausse: "Deux valeurs absolues $|~|_{1}$ et $|~|_{2}$ sur K sont dites équivalentes si les distances associées sont topologiquement équivalentes (ou, ce qui revient évidemment au même : uniformément équivalentes)."

N1 et N2 sont équivalentes si (et seulement si) elles induisent la même topologie sur E. N1 et N2 sont équivalentes si (et seulement si) elles induisent la même structure uniforme sur E.

Peut être que la confusion vient du fait que cette relation d'équivalence entre les normes est vraie mais que lorsque l'on passe à la distance associée à la norme seule l'équivalence topologique demeure.

Peut être que je me trompe et dans ce cas: j'ai mal compris la notion d'équivalence uniforme et topologique ... — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Sanjy ANDRIAMISEZA (discuter), le 10 avril 2020

La preuve qui figure dans l'article (depuis février 2017) montre que si deux distances issues de valeurs absolues sont topologiquement équivalentes alors elles sont même mieux que uniformément équivalentes. Mais pour le simple fait qu'elles sont uniformément équivalentes, il suffit de remarquer qu'elles sont invariantes par translation. Anne, 7/9/21

J'avais mal interprété la formulation: "topologiquement équivalentes (ou, ce qui revient évidemment au même : uniformément équivalentes)" pour moi, cela insinuait que topologiquement équivalent <=> uniformément équivalent. C'est en relisant que j'ai compris le ce à quoi "qui revenait au même" faisait référence.

Mais de ce fait il y a bien une chose qui m'échappe, les distances d1(s,t) = |s—t| et d2(s,t) = |s^3-t^3| sont topologiquement équivalentes, mais elles ne sont pas uniformément équivalentes. Cela semble être un contre exemple à "si deux distances issues de valeurs absolues sont topologiquement équivalentes alors elles sont même mieux que uniformément équivalentes" .

Bref finalement même si j'aimerais bien, je n'ai pas tout compris, excusez mon niveau...

Cordialement Sanjy. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Sanjy ANDRIAMISEZA (discuter), le 12 octobre 2021 à 23:31 (CEST)

La seconde n'est pas « issue d'une valeur absolue » au sens de l'article, c'est-à-dire qu'elle n'est pas de la forme d₂(s,t) = |s – t|₂ où | |₂ serait une fonction vérifiant les 3 propriétés d'une valeur absolue sur un corps. Le fait que d₂ ne soit pas de cette forme peut se déduire de votre remarque, ou plus directement, de ce qu'on aurait alors |s|₂ = d₂(s,0) = |s³|, or s ↦ |s³| ne vérifie pas l'inégalité triangulaire : (1 + 1)³ > 1³ + 1³.

Cordialement, Anne, 13/10/21