Discussion:Variété algébrique affine

Le vocabulaire est-il standard ?

J'ai deux sources sous la main (le Hartshorne cité dans l'article, et le Géométrie algébrique de Perrin) et je suis gêné par l'apparente discrépance entre ces sources et l'article. Autant que je comprenne et si je ne me méprends, tant Hartshorne que Perrin ont fait le choix d'appeler Affine algebraic variety (p. 3), resp. variété algébrique affine (p. 50) à des machins qui correspondent aux Spm A pour A réduit, ce qui est quand même plus lisible.

Tout choix éditorial peut se justifier, et l'article en son état fait sens. Mais est-il bien titré ? Le terme "variété affine" est-il utilisé par certaines sources pour dénommer un truc si compliqué ? C'est un peu embêtant parce que du coup il "occupe" un titre qui pourrait contenir un article plus élémentaire. Bon certes ensemble algébrique affine est encore libre, mais quand même, ce n'est pas non plus sympa de faire croire aux lecteurs qu'une présentation compliquée est la seule possible. Touriste (d) 6 février 2011 à 19:00 (CET)

Dans Hartshorne, ce qui est appelée variété algébrique affine au chapitre 1 est un ensemble algébrique affine sur un corps de base algébriquement clos. Je n'ai pas le livre de Perrin sous la main, mais j'ai effectivement souvenir qu'il ne traite que des variétés algébriques réduites. La présentation ici ajoute la structure d'espace annelé, c'est peut-être ça que tu appelles un truc compliqué ? Pourtant, pour définir une variété algébrique abstraite (c'est-à-dire pas nécessairement quasi-projective), réduite ou non, je ne connais pas d'autres moyens que de passer par les espaces annelés. Pour répondre à la question du titre, il n'y a pas de définition standard de variétés algébriques: pour certains c'est intègre; pour d'autres c'est seulement réduit; par prudence beaucoup ajoutent que c'est séparé. Enfin, dans l'esprit de Grothendieck, c'est simplement un schéma de type fini sur un corps (commutatif!). Liu (d) 7 février 2011 à 00:14 (CET)

OK merci pour ta réponse, qui me convainc que ma question était judicieuse, même si tu n'as pas bien compris ce que je voulais dire (sans doute parce que le choix du mot « compliqué » était malheureux, je voulais dire « plus technique que le concept d'ensemble algébrique »). Sans que la question du titre ne soit essentielle, elle a quand même son importance, parce que nommer les choses aide à les trouver. En l'espèce, je suis passé ici alors que je recherchais en fait la section « Ensembles algébriques affines » dans l'article Ensemble algébrique... et ne l'ai pas trouvée ! J'ai essayé à tout hasard de rentrer ensemble algébrique affine et ai vu un lien rouge, et ai arrêté de fouiller. Bien sûr si je m'étais un peu obstiné, avais pensé à visiter la Catégorie:Géométrie algébrique par exemple, j'aurais trouvé, mais je n'ai pas. Donc je crains que des lecteurs arrivant ici ne se retrouvent paumés, et plus paumés encore que moi qui savais quand même vaguement avant comment ces notions s'organisent. Bref, la page de liens pointant vers la page très lisible ensemble algébrique, à savoir [1] m'a surpris a posteriori par sa brièveté (3 liens depuis l'espace principal). C'est dommage qu'un article à public assez large soit beaucoup plus caché que le présent article [2] (8 liens depuis l'espace principal), et très très beaucoup plus que Variété algébrique [3] (pléthore de liens depuis l'espace principal). Si tu as le temps un de ces quatre, je pense que tu peux faire des choses utiles en précisant la polysémie de certaines appelations et au contraire la multiplicité de noms pour certains concepts, et en mettant quelques liens internes susceptibles d'aiguiller le lecteur.

Tant que j'y suis, et un peu hors sujet, je voulais parler (à titre d'exemple) de l'anneau $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I(E)$ (avec les notations de Ensemble algébrique) ou A = K[X1, ...,Xn] / √( I(P1, ...,Pr) ) (avec les notations d'ici) et ai renoncé parce que le concept n'est pas nommé, ce qui est peu pratique pour l'évoquer. Je suis demandeur d'une retouche (plutôt dans Ensemble algébrique qu'ici) où il serait clairement isolé dans une phrase, avec un nom issu de la littérature de préférence écrit en gras. Je passe commande plutôt que de faire moi-même parce que les articles sont de très bonne facture, que je connais très approximativement le sujet et que j'ai peur de les dégrader. C'est aussi que ce n'est pas du tout important et que si ça n'est pas fait, c'est pas grave. (Pour être plus précis, c'est au sujet des anneaux quotients, j'ai provisoirement écrit ailleurs la phrase " La géométrie algébrique regorge d'anneaux construits par cette méthode, ainsi l'anneau non réduit des nombres duaux." et que j'aurais bien aimé pouvoir y évoquer en restant clair les anneaux du type $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I(E)$). Touriste (d) 7 février 2011 à 14:53 (CET)

Je sens qu'une fois de plus, je ne comprends pas ce que tu veux dire (sur la recherche sur "ensembles algébriques affines"). Quand on rentre cette phrase dans la fenêtre '"rechercher", la section correspondante dans ensemble algébrique apparaît en première ligne des occurrences trouvées. Et c'est la deuxièmre occurrence quand on fait une recherche par google. Mais je suis d'accord avec toi que l'article ici est un tantinet évolué pour le lecteur lambda (disons muni d'une licence de maths), je vais mettre un pointeur au début pour les aiguiller vers les ensembles algébriques. De même que dans l'article variété algébrique. Pour les anneaux de type $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I(E)$, ce sont exactement les algèbres réduites de type fini sur k. Par rapport à l'ensemble algébriqe I(E), c'est l'algèbre des fonctions régulières sur l'ensemble algébrique I(E). Pas de problème pour mettre tout ça en gras. Liu (d) 7 février 2011 à 23:12 (CET)

Tu as raison pour la recherche avec la loupe, j'ai dû reconstituer plus qu'approximativement le lendemain ma recherche foireuse. Sur le reste, je te remercie de ta coopération, tout roule désormais, je vais pouvoir écrire dans un article généraliste "fonctions régulières sur un ensemble algébrique" et ça suffit à mon bonheur. Bonne continuation, et à nous recroiser ! Touriste (d) 7 février 2011 à 23:33 (CET)