Discussion:Variable aléatoire réelle

Je pense qu'il faudrait fusionner la page avec celle de loi de probabilité. Exol 15 jul 2004 à 02:13 (CEST)

Médiane

La notion de médiane qui porte sur des populations serait sans doute plus à sa place dans les Statistiques.

Entièrement d'accord. Je modifie donc la définition HB 2 mai 2005 à 11:35 (CEST)

Doublon?

Il y a une ébauche d'article sur la Fonction_de_répartition à prendre en compte. 5 mai 2005

Merci, j'ai supprimé le modèle ébauche, fait un renvoi incitatif sur cet article et corrigé quelques erreurs. HB 5 mai 2005 à 14:56 (CEST)

Correction

C'est bien entendu par convention qu'on parle de nombre "réel" dans l'expression d'une mesure comme la taille (il serait moins inexact de parler d'un flottant).

Il serait bon d'ailleurs de créer une entrée dans l'article "paradoxe" pour expliquer pourquoi en dépit du théorème central limite on ne pourra jamais estimer une longueur au micron près quel que soit le nombre d'observateurs sans instrument qui s'y livre au jugé. En effet, cette idée, que perçoivent parfaitement les néophytes, est rarement abordée par leurs professeurs. Mais bon, j'ai la flemme aujourd'hui 81.65.26.118 4 août 2005 à 12:02 (CEST)

J'avoue que je ne vois pas de quoi vous voulez parler... Quel est ce paradoxe au juste ? Mit-Mit 4 août 2005 à 12:20 (CEST)

??? Jct 4 août 2005 à 18:13 (CEST)

Affirmation fausse (ou imprécise)

L'affirmation selon laquelle la loi d'une variable aléatoire est caractérisée par la suite des moments est fausse, en l'absence d'autres hypothèses (il y a des contre-exemples ; ceci est lié au fait que la formule donnant un développement en série entière de la fonction caractéristique en fonction des moments peut fort bien être fausse) ; en revanche, elle est vraie si l'on suppose par exemple la convergence de la suite de terme général ${\sqrt[{n}]{\frac {|M_{n}|}{n\,!}}}$ (où $M_{n}$ désigne le nième moment), et alors on peut montrer que la fonction caractéristique admet un prolongement holomorphe dans une bande ouverte du plan complexe symétrique par rapport à l'axe réel (cf. Rényi, Calcul des probabilités).

Il s'agit là de points un peu fins d'analyse réelle ou complexe, vraisemblablement trop techniques pour le niveau de l'article : il sera donc prudent de supprimer cette affirmation.

Par ailleurs, la caractérisation de la loi par la fonction de répartition, etc. est vraie, mais n'a rien à voir avec la notion de moment (à l'exception de la fonction caractéristique) : elle est mal placée dans l'article. Vivarés 15 octobre 2005.

De mon point de vue, il n'y a pas de raison de priver un article de détails très pointus, quitte à faire un paragraphe de plus intitulé Pour aller plus loin ou un truc du genre. Quant à la structure de l'article, il ne faut pas avoir peur de le remanier en profondeur, wikipédia est faite pour ça. Mit-Mit 15 octobre 2005 à 19:20 (CEST)

Je viens d'apporter quelques corrections à ma version initiale de ce paragraphe, effectivement contestable. Il se peut qu'il soit encore trop imparfait mais, quand j'ai abordé cet article, il était presque vide. Il m'a donc paru intéressant de le rédiger pour les gens qui veulent découvrir ces sujets sans savoir ce qu'est une fonction holomorphe. Il y a, me semble-t-il, un équilibre à trouver entre la rigueur et la pédagogie.Jct 12:13, 8 novembre 2005 (CET)

Problème des moments

J'ai complété un autre article concernant les moments en y ajoutant un paragraphe sur le problème des moments, dont un contre-exemple probabiliste. Peut-être serait-il préférable d'alléger l'article sur les variables aléatoires de ses affirmations par trop imprécises (la régularité de la densité de probabilité n'a visiblement rien à voir avec la question, puisque la densité de la loi log-normale est aussi régulière que possible) et de mettre un renvoi à l'autre article.

Le traitement de la fonction caractéristique paraît bien léger : à part la définition, la seule propriété indiquée est un développement en série entière dont j'ai déjà dit ce qu'il fallait en penser (en relation d'ailleurs avec le problème des moments). Vivarés 25 octobre 2005

Le mot régulière est effectivement trop vague et l'arithmétique des fonctions caractéristiques n'est pas traitée. Là encore, il n'est pas interdit d'améliorer.Jct 8 novembre 2005 à 12:23 (CET)

Fonction caractéristique (et lacunes diverses)

L'affirmation Si la densité de probabilité est une fonction suffisamment régulière, l'exponentielle se développe en série est étrange : l'exponentielle se développe de toute façon en série : il n'y a pas là le moindre rapport avec la densité de probabilité. En revanche, ce qui pose problème (comme je l'ai indiqué plus haut) est l'échange de l'opérateur d'espérance E et du $\Sigma$, qui non seulement n'a rien d'évident, mais n'a aucune raison d'être vrai dans le cas général. Il ne s'agit pas là d'une simple propriété de linéarité de l'espérance, car la somme est celle d'une série, et non pas une somme finie. À propos : un certain nombre de lacunes importantes de l'article sont à combler :

• la structure d'espace vectoriel (et même d'algèbre) de l'ensemble des variables aléatoires : une combinaison linéaire et un produit de variables aléatoires sont encore des variables aléatoires
• la structure de sous-espace vectoriel de l'ensemble des variables aléatoires dont l'espérance existe (et plus généralement de celles dont le moment d'ordre k existe), et la linéarité de l'espérance.

Et il semble difficile de passer sous silence la notion de variables aléatoires indépendantes, et les propriétés relatives à l'espérance du produit ou à la variance de la somme de telles variables aléatoires. Vivarés 16 octobre 2005.

Là encore, les modifications sont autorisées et le problème du niveau de technicité raisonnable reste posé. D'autre part, cet article s'appelle Variable aléatoire, sans s. Faut-il y introduire les lois de probabilité à plusieurs variables ou créer un autre article ? Jct 12:41, 8 novembre 2005 (CET)

Informatique

Je n'ai aucune compétence en matière de nombres (pseudo)-aléatoires mais la page Lampe à lave possède un lien vers Blum Blum Shub qui parle d'un algorithme capable de générer des nombres pseudo-aléatoires. Jct 8 novembre 2005 à 16:03 (CET)

Proposition d'article de qualité refusée le 25 novembre 2005

Cet article a été proposé comme article de qualité mais a été rejeté car ne satisfaisait pas les critères de sélection dans sa version du 25 novembre 2005 (historique).
Si vous désirez reprendre l'article pour l'améliorer, vous trouverez les remarques que firent les wikipédiens dans la page de vote.

Cet article devrait s'appeler << Variable aléatoire réelle >>

En effet, la définition standard de la variable aléatoire en théorie des probabilités est plus générale que cela, puisque ce peut être n'importe quelle application mesurable (mesurable se traduit par << pouvoir déterminer la probabilité qu'elle prenne une valeur réelle donnée >>) de l'ensemble des résultats possibles sur n'importe quel autre ensemble. Quand l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des réelles, la variable aléatoire est appelée variable aléatoire réelle.

Je propose donc une modification du titre... Commentaire non signé de Ribaute (d)

Je n'ai personnellement jamais (ou très peu, dans des publis pointues entendu cette expression de variable aléatoire réelle, mon manuel deproba (Sheldon Ross initiation aux probabilités) ne fait pas cette distinction et j'ai peur que cela porte confusion. Faudrait-il parler de variable aléatoire réelle discrète, variable aléatoire réelle continue, variable aléatoire complexe discrète? Peut-être la distinction sera-t-elle importante du moment qu'il existe une page sur les variables aléatoires non-réelles (donc complexes?) et qu'en attendant on pourrait juste mentionner dans la page cette précision? EtudiantEco (d) 22 juillet 2008 à 19:00 (CEST)

Je ne parlais pas uniquement des variables complexes bien entendu, cela peut être un vecteur de 3 ou 7 dimensions, mais aussi une fonction (espace fonctionnel de dimension infinie), mais encore un élément d'un espace non vectoriel, etc. Quant aux variables discrètes et continues, elles sont bien citées dans l'article là n'est pas le problème... Peut-être la solution serait de mettre une phrase en préambule. Je vais y réfléchir.--Ribaute (d) 23 juillet 2008 à 07:52 (CEST) Voilà, j'ai modifié seulement les premières phrases de l'article pour rendre un peu plus rigoureuse la définition donnée.--Ribaute (d) 23 juillet 2008 à 10:01 (CEST)

Il me semble que l'article parle non seulement de variables aléatoires réelles (qu'il appelle, selon la terminologie habituelle, variables continues) mais aussi de variables entières appelées variables discrètes. Est-ce que l'introduction des variables aléatoires réelles améliore la compréhension ? Jct (d) 23 juillet 2008 à 11:18 (CEST)

Il semble y avoir confusion dans le mot "réel". Une variable discrète peut très bien être réelle... Par exemple un entier est réel ! Parmi les variables aléatoires réelles, il y a donc les continues (donc en entier variables aléatoires réelles continues) et les discrètes (je vous fais grâce du nom entier :p) . Commentaire non signé de Ribaute (d)

Le présent article prétend montrer, en termes élémentaires, les différentes manières de décrire une variable aléatoire. Le cas des vecteurs de 3 ou 7 dimensions est abordé, toujours en termes élémentaires, ce qui est apparemment contesté, dans Loi de probabilité à plusieurs variables. Jct (d) 23 juillet 2008 à 11:32 (CEST)

Encore une fois, un vecteur de variables aléatoires réelles est lui-même une variable aléatoire (à valeur dans un espace à plusieurs dimensions). Dans l'article que tu cites, le couple (X,Y) est une variable aléatoire dans $\mathbb {R} ^{2}$. Mathématiquement, on montre (facilement) qu'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb {R} ^{2}$ est aussi un vecteur (ici couple) de variables aléatoires réelles. Commentaire non signé de Ribaute (d)

Montre-t-on (facilement) qu'une variable, aléatoire ou non, à valeurs dans $\mathbb {R} ^{2}$ est aussi un vecteur (ici couple) de variables réelles ou est-ce un simple changement de langage ? Ce qui me gêne, c'est qu'on veut mathématiser à tout prix un article qui n'avait au départ pas d'autre ambition que de faire découvrir à des non-spécialistes (c'est, me semble-t-il, le but d'une encyclopédie) ce qu'est une variable aléatoire au sens adopté quasi-universellement, c'est-à-dire une variable entière ou réelle, et de montrer quels outils on peut utiliser dans chaque cas (en regardant les choses de très haut une valeur entière peut très bien être considérée comme réelle, voire comme un vecteur à une dimension, mais il se trouve qu'en probabilités pratiques les outils ne sont pas les mêmes). Le cas des lois de probabilité à plusieurs variables est traité à part et je vois mal quelle clarification on apporte à notre lecteur non-spécialiste en lui disant, contrairement à ce qu'il peut lire dans le premier traité de probabilité qui lui tombera sous la main, qu'il n'y a qu'une variable vectorielle. Pour être complet, je n'ai rien contre le calcul vectoriel ou matriciel... lorsqu'il apporte autre chose que des abstractions comme dans Loi normale multidimensionnelle. Jct (d) 23 juillet 2008 à 15:07 (CEST)

Ta première question dépend de ce qu'on appelle "langage"... Si on parle du langage mathématique (ou les mots n'ont pas forcément le même sens qu'en français), alors la réponse ne souffre d'aucun doute : oui, c'est une démonstration qui se fait à partir d'une définition (en l'occurence de la définition d'une variable aléatoire) et d'enchainements logiques, comme toute démonstration mathématique. Prière de me faire confiance : je suis enseignant-chercheur en mathématiques, et plus précisément en probabilités. En revanche, je partage ta vision de ce que doit être un article de wikipedia : faire découvrir à des non-spécialistes un concept spécialisé. Mais je me refuse à le faire au moyen d'une affirmation fausse, après tout le concept de "variable aléatoire" n'existe carrément pas hors des mathématiques... Si toutefois il apparaît que la simple modification que j'ai effectué en début d'article est source de confusion pour le lecteur, alors pourquoi pas par exemple le mettre en remarque un peu plus loin... Mais en tant que mathématicien d'une part, et en tant que soucieux de vouloir donner les informations les plus fiables possibles sur wikipedia (comme ailleurs) d'autre part, il me semble qu'on ne peut pas faire cette économie.--Ribaute (d) 23 juillet 2008 à 15:55 (CEST)

Lorsqu'on suit la proposition de Ribaute, il ne s'agit pas de "mathématiser" en un sens péjoratif (si "mathématiser" peut avoir un sens péjoratif). Il s'agit d'utiliser les termes exacts, et là, Ribaute a raison. "Variable aléatoire" est utilisé pour des applications à valeur fonction (le mouvement Brownien est un exemple important), à valeur mesure, comme les processus ponctuels de Poisson (ces deux exemples sont omniprésents dans des applications très concrètes, en agronomie, en téléphonie, en maths financières), ou plus simplement et prosaiquement à valeur dans des ensembles finis non numériques, à valeur dans {pile, face} ou à valeur dans {blanc, noir, bleu} par exemple. Si on veut développer le portail proba stat de maniere utilisable par chacun, il faut déjà que la terminologie de base soit correcte. Cet article ne parle que de "variables aléatoires réelles", il faut donc l'intituler ainsi, pour ne pas induire en erreur les débutants. Il faut peut-être ajouter un commentaire sur la terminologie, du genre "les v.a.r. sont les v.a. les plus couramment étudiées, ce qui conduit certains auteurs à omettre le "r.", à parler de v.a. tout court etc ..." Cela suppose l'existence d'une page "variables aléatoires" à côté de cette page "variables aléatoires réelles". Il y a un langage déjà établi et Sheldon Ross s'en écarte, ce qui ne prete pas à conséquence si on reste à un niveau très très basique, mais Wikipedia est plus ambitieux que cela, il me semble. Nota : j'ai beaucoup appris (et me suis fait plaisir) dans les livres de Sheldon Ross.--Chassaing 28 juillet 2008 à 00:38 (CEST)

D'accord pour que cet article élémentaire soit chapeauté par un article Variable aléatoire. Comme je l'ai dit depuis le début, j'ai du mal à l'appeler Variable aléatoire réelle alors que pour moi, et pour les personnes aussi peu savantes que moi qui pourraient être intéressées par cet article élémentaire, il porte sur des variables réelles/continues et des variables entières/discrètes. Pour être complet, j'admets être purement négatif en ne proposant aucun titre. Jct (d) 28 juillet 2008 à 10:19 (CEST)

Personnellement, cela ne me gêne pas d'appeler cet article variable aléatoire réelle (au contraire, c'est le titre le plus exact) car réel n'est pas synonyme de continu et un entier est seulement un réel particulier. En revanche, je ne suis pas capable d'écrire une ligne sur l'article "chapeau". Il faudra que quelqu'un s'y colle. Si pas de désaccord, je m'en occupe demain. HB (d) 28 juillet 2008 à 13:06 (CEST)

Personnellement je n'y connais rien en théorie de la mesure et de fait comprend pas encore très bien la distinction pour les variables aléatoires réelles/non réelles mais ce serait très bien si qqln qui s'y connait (ou qui par hasard est enseignant-chercheur en mathématiques, et plus précisément en probabilités ;-)) pouvait développer cet aspect et écrire un article chapeau qui décrit les variables aléatoire en général et la distinction entre variables aléatoires réelles et non réelles. Je pense qu'introduire le réel dans le titre a de la pertinence surtout du moment qu'on définit aussi son complément (qu'est-ce une variable aléatoire non réelle? quels exemples sur wiki? ) au risque sinon de tomber dans une sorte de pléonasme... qui complique un peu inutilement peut-êtreEtudiantEco (d) 28 juillet 2008 à 14:02 (CEST)

Bêtement je n'avais pas lu les premières lignes de variable aléatoire ni celle de random variable. Les deux introductions sont assez proches, mais celle de random variable est peut-être plus nette sur la distinction "variable aléatoire réelle" versus "variable aléatoire". Le travail ne devrait pas être énorme pour s'aligner sur la version anglaise. Ce serait peut-être un pas vers une solution satisfaisante, en évitant une surcharge d'abstraction, laquelle pourrait être nuisible pour un premier contact. On comprend probablement mieux l'utilité de généraliser la notion de v.a.r. quand on s'en sert concretement pour une application.--Chassaing 28 juillet 2008 à 14:20 (CEST)

Sur la refonte

Quand on pense effectuer une refonte d'un article qui est suivi par plusieurs personnes, il me semble préférable d'en parler d'abord en page de discussion. Enfin, ce qui est fait est fait. Maintenant il y a quelques points qui me posent problème

oups désolé! pour ma décharge la discussion se fait à partir d'une proposition concrète. EtudiantEco (d) 1 août 2008 à 19:47 (CEST)

1. La section : densité de probabilité où l'on entend parler de densité d'une variable discrète. N'y aurait-il pas confusion avec loi de probabilité ?

C'est très possible... et c'est d'ailleurs l'objet de mon intervention sur la page de discussion de variable aléatoire. Tout éclaircissemnt/modification est plus que bienvenu! EtudiantEco (d) 1 août 2008 à 19:47 (CEST)

1. Le déplacement des sections fait que l'on fait longuement allusion à la fonction de répartiton dans la section 3.1. alors que la notion n'est définie qu'en 3.2

Le remède pour le point 1 consisterait à modifier ainsi

3.1. loi de probabilité

3.1.1. cas d'une variable discrète

3.1.2. cas d'une variable continue (avec tout ce que ce terme a d'ambigu)

si j'ai confondu loi de probabilité avec densité c'est effectivement le remplacement à faire. Je pense que c'est mieux que de revenir à la version antérieur, vu que la densité de probabilité est souvent introduit avant le concept de fonction de répartition (comme dans tous les tableaux qui résument les lois par exemple). Comme je le disais cependant, je suis confus entre la notion de loi de probabilité et densiré donc n'hésite pas à modifier comme tu le penses!

Le remède concernant le point 2 est de ne pas évoquer la fonction de répartition dans la section 3.1

c'est effectivement le plus simple... le problème concernant la taille des paragraphes c'est que j'ai simplement réassemblé les textes existants et que effectivement fonction de répartition prend plus de place que les autres, peut-être faudait-il aussi déplacer une partie de ces remarques dans la page détaillée? EtudiantEco (d) 1 août 2008 à 19:47 (CEST)

L'autre solution consiste à revenir à la version antérieure pour la section 3. Qu'en penses-tu? HB (d) 1 août 2008 à 19:07 (CEST)

De préférence pas.. voir mon commentaire plus haut. Ce qui serait bien pour cette page c'est également de rajouter une définition précise des variables aléatoires réeles avec le joli cadre comme dans Variable aléatoire Je suis embeté parce qu'il reste pas mal de choses à faire et je pars ce WE en vacs... je reprendrai dès que possible! Merci pour tes remarques et améliorations! EtudiantEco (d) 1 août 2008 à 19:47 (CEST)

Il m'a paru raisonnable d'apporter deux modifications (je vais encore me faire mal voir, je l'ai fait en lisant l'article avant les commentaires mais cela correspondait à la chronologie) :

• La notion de densité de probabilité d'une variable discréte fait intervenir la distribution de Dirac, la définition élémentaire correspondant (je crois) à la notion de fonction de probabilité.
• La notion de fonction de répartition est plus générale que la notion de fonction de probabilité ou celle de densité de probabilité (sauf généralisation avec les deltas). Il m'a donc paru raisonnable de la faire repasser avant, d'autant plus que les articles particuliers y font référence.
• Je m'aperçois que la partie Espérances mathématiques qui regroupait, logiquement à mon humble avis, la fonction caractéristique et les moments a été démantelée, donc la défintion du symbole E[ ] a disparu dans la bagarre. Jct (d) 2 août 2008 à 11:22 (CEST)

J'ai tenté de remettre l'article en ordre en cherchant essentiellement à définir les notions avant leur utilisation. Jct (d) 4 août 2008 à 11:22 (CEST)

Variable = fonction

Depuis longtemps, il est dit en introduction qu'une variable aléatoire (réelle) est une fonction. Pourrait-on préciser fonction de quoi ? Jct (d) 6 janvier 2009 à 10:44 (CET)

suivant le parti pris de cet article (à savoir éviter la théorie de la mesure, au prix de la rigueur, ce qui me semble raisonnable), c'est expliqué 3 mots plus loin : "fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire" donc, en interprétant, fonction de quoi ? réponse : "fonction du résultat d'une expérience aléatoire". C'est vague, mais si on veut être précis, voir l'article variable aléatoire, où on introduit Ω et où on parle de mesurabilité : certains lecteurs sont allergiques à cette rigueur et à ce formalisme, il y a un article pour eux et un article pour les autres. --Chassaing 6 janvier 2009 à 14:05 (CET)

Il est indiscutable que je fais partie des allergiques à la rigueur et au formalisme. C'est probablement pour cela que je n'arrive pas à faire le lien entre cette phrase et la définition de l'article fonction : « La définition usuelle en mathématiques d'une fonction est donc ensembliste et présuppose essentiellement celle de couple et de produit cartésien. Une application ou fonction est un triplet f = (E, F, G) avec G ⊂ E × F, et qui vérifie que pour tout x de E il existe un unique y de F tel que le couple (x, y) appartiennne à G. » Est-ce que pour tout résultat d'une expérience aléatoire il existe une unique variable aléatoire ? Comment définir la notion d'expérience aléatoire qui sert ici de base à la définition de la notion de variable aléatoire ? Il reste que pour moi (et, peut-être, pour beaucoup d'autres) cette phrase est incompréhensible. Jct (d) 6 janvier 2009 à 15:01 (CET)

si j'en juge d'après ta citation, je pourrais faire une allergie moi-même, si je regarde l'article fonction. Je suppose que les auteurs ont rédigé l'article Variable aléatoire réelle pour des lecteurs qui possèdent la notion de fonction, sans avoir besoin de relire l'article fonction. La réponse à ta première question me semble être : "pour tout résultat d'une expérience aléatoire il existe une unique VALEUR associée à ce résultat par la variable aléatoire (par la fonction)". Comment définir la notion d'expérience aléatoire qui sert ici de base à la définition de la notion de variable aléatoire ? : En secouant les mains, en donnant des exemples, voir Probabilités (mathématiques élémentaires) même si ce n'est peut être pas totalement satisfaisant : le lancer d'une pièce ou d'un dé y est donné comme exemple, une série de 23 lancers est une expérience aléatoire également. Peut-être faut-il compléter cet article là aussi ... Il me semble avoir vu une page à laquelle te renvoyer, un jour, mais je ne la retrouve pas, sur le moment ... --Chassaing 6 janvier 2009 à 15:25 (CET)

Peut-être Variables aléatoires élémentaires ? HB (d) 6 janvier 2009 à 15:39 (CET)

Dans la version HB de Variables aléatoires élémentaires du 16 juillet 2004, il y avait la phrase Une variable aléatoire réelle est une application X d'un univers Ω muni d'une probabilité p vers R. Cette application crée un nouvel univers X(Ω) sur lequel on peut construire une probabilité issue de p. Cette probabilité s'appelle loi de probabilité de X. Il arrive souvent que l'on oublie l'univers Ω pour ne s'intéresser qu'à l'univers X(Ω). Je n'ai aucune capacité pour la critiquer mais c'est le 30 juillet 2004 à 17:12 que François-Dominique a introduit la remarque En français, retenons essentiellement qu’une variable aléatoire se présente comme une fonction. Je reformule donc ma question : quelle information pertinente a été apportée à ce stade ? Jct (d) 6 janvier 2009 à 16:32 (CET)

Il semble donc difficile de créer un bandeau introductif qui te satisfasse . Il est probable que la notion soit suffisamment délicate pour qu'une allusion à l'apparition de la notion, et sa définition précise ne permettent pas l'éclairer suffisamment... peut-être est-il nécessaire de ... lire l'article (qui commence par un exemple). Étant incapable de faire mieux dans un bandeau introductif, je te laisse la main et clos pour ma part cette discussion. HB (d) 6 janvier 2009 à 17:19 (CET)

Je soutiens complètement Jct dans sa réticence vis-à-vis de l'introduction de la notion de variable aléatoire comme une fonction. Cette introduction est à peu près aussi déroutante que si on introduisait la notion de fonction par « fondamentalement, une fonction est un triplet (E, F, G) ».

Pour moi, une variable aléatoire est fondamentalement une variable dont les différentes valeurs suivent une loi de probabilité. Formellement, elle se définit comme une fonction mesurable sur un espace probabilisé. Les formalistes se satisfont de la seconde définition (et je suis formaliste), mais je sais bien que beaucoup de gens (et notamment des élèves ou étudiants) ne le sont pas et ont besoin d'une introduction claire. Ambigraphe, le 6 janvier 2009 à 21:57 (CET)

Cher Jct, les explications que tu demandes ont leur place dans l'article Probabilités (mathématiques élémentaires). Elles n'y sont peut-être pas toutes, il faudra donc attendre que quelqu'un les y ajoute. L'article en:Random variable donne une série d'exemples :"Intuitively, a random variable is thought of as a function mapping the sample space of a random process to the real numbers. A few examples will highlight this." Va voir et traduit éventuellement les exemples pour les francophones. De même, le terme "expérience aléatoire" et le terme "résultats de cette expérience" seront définis avantageusement par une série d'exemples. Si les concepts des probas étaient simples, on ne philosopherait pas dessus, voir en:Probability interpretations, en:Philosophy of probability et en:Philosophy of statistics, qui devrait te convaincre qu'en la matière il n'y a pas de définitions à la fois intuitives, simples et rigoureuses. Je cite par exemple : "The philosophy of probability presents problems chiefly in matters of epistemology and the uneasy interface between mathematical concepts and ordinary language as it is used by non-mathematicians." que j'interprète comme "la terminologie des probas induit en erreur, au premier abord". Pour des définitions simples et rigoureuses mais non intuitives, voir Variable aléatoire.

Contrairement à Ambi, j'approuve totalement la définition d'une variable comme fonction : un exemple ou deux et ça passe, mais même si ce n'est pas le cas, c'est cette vision qui permet d'approfondir plus tard, donc difficile et peu clair peut-être, mais fécond et utile sûrement : il faut donc vaincre cette difficulté dès le départ plutôt que l'escamoter. Il faut juste identifier sur quelques exemples concrets l'espace de départ, la fonction(=variable aléatoire) et l'espace d'arrivée.

Par contre, pour moi, le mot "variable" n'a pas de sens dans ce contexte, où il n'y a pas d'équation ni d'intégrale. A la rigueur, dans X(ω), X est la variable aléatoire, i.e. la fonction appliquée à ω, mais la variable au sens mathématique usuel est ω (alors que dans le vocabulaire des probabilités ω est le résultat de l'expérience aléatoire). On va par exemple intégrer ou sommer X par rapport à la variable ω pour trouver l'espérance de X. Or on intègre une fonction par rapport à une variable. Donc voir X comme une fonction fait parfaitement sens, voir X comme une variable beaucoup moins, sauf à dire que X varie, comme une fonction varie lorsqu'on change l'argument de cette fonction, f(1) étant souvent différent de f(2). Le caractère variable d'une variable aléatoire justifie donc encore plus la vision d'une variable aléatoire comme étant une fonction. La différence entre X(ω) et f(x) est purement typographique.--Chassaing 6 janvier 2009 à 22:20 (CET)

Je ne reviendrai pas sur cette page de discussion pour me battre contre le formalisme, mais au cas où je précise à Chassaing mon avis sur quelques points.

• La présentation d'une variable aléatoire comme fonction sur un espace probabilisé n'est pas « à escamoter », elle est à différer. La présentation formelle est évidemment très utile et féconde, mais elle n'est pas une bonne introduction. De même, on n'introduit pas la notion de vecteur géométrique par celle de classe d'équipollence de bipoints, même si cette présentation est utile ensuite.
• Le terme « variable » est utilisé en mathématiques de façon plus large que dans les équations et les intégrales. En l'occurrence, je veux bien qu'on trouve un terme plus approprié s'il en existe.
• Bien évidemment que le fait de voir une variable aléatoire comme une fonction fait sens ! Ce n'est pas cette définition que je conteste, c'est la place qui lui est donnée en première phrase de l'article.

Amusez-vous bien mais n'oubliez pas que vous avez des lecteurs. Ambigraphe, le 6 janvier 2009 à 23:08 (CET)

Pour moi il n'est pas question de se battre, mais de trouver ce qui rendrait l'information la plus accessible, de la manière la plus ergonomique, et pour cela, de comprendre ce qui gène la compréhension. Ma proposition serait de laisser la phrase telle quelle, et d'ajouter immédiatement "il n'est pas forcément naturel de voir une v.a.r. comme une fonction : on pourra jeter un oeil à Probabilités (mathématiques élémentaires)#Variables aléatoires pour quelques éclaircissements et exemples". Puis développer une petite section là-bas avec quelques exemples éclairants ... (J'ai juste pas le temps et ça m'amuse pas, pour le moment, mille excuses, mais j'espère avoir le temps plus tard).

Il me semble qu'il y a plusieurs niveaux de lecture possibles, pour différentes sortes de lecteurs. Et que sur cette page là on peut continuer à lire même si on n'a pas compris en quoi une var est un fonction, et qu'un lecteur qui n'a pas de problème de conscience avec la définition de "var", mais qui cherche des renseignements précis, pourra être aiguillé rapidement vers des pages utiles comme espérance, densité de probabilité, etc ... La page Probabilités (mathématiques élémentaires) étant le bon endroit pour développer des exemples de dés ou de pile ou face à destination de ceux qui ont des problèmes de conscience avec la définition de "var". On sert ainsi les deux lectorats de manière optimale. Je pense aux lecteurs quasiment en permanence, quand je rédige une section, en fait. Comme il y en a de plusieurs types, il se pourrait qu'un lecteur d'un certain type fasse une crise en tombant sur une page qui est parfaitement utile telle quelle à des lecteurs d'un autre type : faut-il changer la page pour autant ? A la rigueur une section avec un exemple, dans cette page, au début de la page ... Mais la phrase introductive, c'est pas si grave, et elle n'est pas absurde, elle est même juste. La phrase introductive doit être courte, également, pour que le lecteur ne parte pas tout de suite, donc elle ne peut pas forcément être complètement explicite, si son objet est complexe. Notons que je défends cette page, mais que je ne fais pas partie de ses rédacteurs. OK, Salut ! Moi aussi, de temps en temps, j'ai autre chose à faire que de débattre sans fin.--Chassaing 6 janvier 2009 à 23:58 (CET)

Ambigraphe a utilisé une phrase que je regrette de n'avoir pas trouvée moi-même : Amusez-vous bien mais n'oubliez pas que vous avez des lecteurs. C'est le fond du problème dans un article conçu pour certains lecteurs [...] allergiques à cette rigueur et à ce formalisme. Je suis d'autant plus choqué par l'assimilation d'une variable à une fonction que, chez les allergiques, on distingue bêtement une variable aléatoire (ensemble probabilisé de nombres, vecteurs ou êtres mathématiques plus mystérieux) d'une fonction aléatoire (ensemble probabilisé de fonctions ordinaires qui peut sans doute être généralisé). La dernière expression est peu utilisée (*) au profit de processus aléatoire ou, dans un langage précieux à mon goût, de processus stochastique mais elle me semble beaucoup plus intelligible que la phrase de l'article. Accessoirement, quand j'ai reformulé ma question initiale, je me suis heurté à une fin de non-recevoir pure et simple.
(*) Voir par exemple [[1]], [[2]], [[3]], etc.
Toutes ces références sont évidemment dues à des allergiques. Jct (d) 7 janvier 2009 à 11:47 (CET)

l'assimilation d'une variable aléatoire à une fonction n'a rien de choquant, elle est universelle, tout le monde fait comme ça voir l'article en anglais. J'ai expliqué en quoi plus haut. Faire autrement conduirait à induire le lecteur en erreur, car une var est une fonction. Il n'est pas écrit que c'est une fonction ALEATOIRE. Un processus stochastique est une fonction tirée au hasard, une fonction aléatoire, une variable aléatoire à valeur dans un espace de fonctions, qu'on peut aussi, incidemment, voir comme une collection de variables aléatoires : ce sont plusieurs angles de vue qu'on trouve dans les ouvrages classiques sur les probabilités. Une variable aléatoire est une fonction NON ALEATOIRE. La phrase introductive dit que c'est une fonction, comme le disent tous les scientifiques, elle ne dit pas que c'est une fonction aléatoire. Si la phrase introductive disait que c'est une fonction aléatoire ce serait faux, choquant, et cela induirait le lecteur en erreur : comme la phrase introductive ne dit pas cela, où est le problème ? La phrase introductive est en conformité avec le langage communément admis, celui qui permet de parler de probabilité en ayant un langage commun. Si je comprend bien, JCT se mouille et propose une alternative : définir une variable aléatoire comme un ensemble probabilisé de nombres. Pour le coup, ce serait nuire au lecteur que de définir une var de cette manière là: "ensemble probabilisé de nombres" est une expression peu voire pas employée dans les manuels classiques, mais si on essaye de deviner, ce pourrait être un espace probabilisé, par exemple l'univers, ou bien l'espace d'arrivée muni de la loi image, donc "ensemble probabilisé de nombres" pourrait désigner la loi de la variable aléatoire. Or il est important de ne pas confondre une variable aléatoire avec sa loi de probabilité, et cette expression ("ensemble probabilisé de nombres" ) amènerait inévitablement à ce genre de confusion. Désolé que la réalité de cette science que sont les probabilités ne convienne pas à JCT. Si appeler un processus stochastique "fonction aléatoire" convient à JCT (j'aime bien ce point de vue, moi aussi), alors dans la même veine, une var est un "nombre aléatoire". : si la polémique se réduit à cela, on peut commencer par "Une var est en quelque sorte un nombre aléatoire." Et poursuivre avec la phrase initiale actuelle, suivie du renvoi que j'ai proposé plus haut, puisque le point de vue "fonction" est largement prépondérant dans la littérature. Il semble que tout la confusion ressentie par JCT vient de ce que JCT a lu des cours sur les processus stochastiques, c'est donc un lecteur avancé et atypique. Le lecteur ordinaire de cet article ne commence pas les probabilités par l'étude des processus stochastiques. --Chassaing 7 janvier 2009 à 16:50 (CET)

Au fil des heures les réponses aux questions et citations sont devenues de plus en plus personnalisées, ce qui est une manière de les esquiver. (Sans entrer dans une exégèse qui ne ferait qu'embrouiller un peu plus les choses, il ne faut pas aller jusqu'à me faire dire qu'une variable aléatoire est une fonction aléatoire.) C'est surtout une manière de montrer son mépris, non seulement de l'interlocuteur de passage, mais surtout des personnes, atypiques mais largement majoritaires, qui utilisent professionnellement la notion de variable aléatoire. Celles-ci, après avoir lu des cours sans vraiment les assimiler, osent parler de variable aléatoire sans imaginer que c'est une fonction (elles n'imaginent même pas que tout le monde fait çà.) Hors de l'Église, point de salut ! Jct (d) 8 janvier 2009 à 09:15 (CET)

à une demande d'explication personelle de la part de JCT (voir toute premiere ligne de cette section : fonction de quoi ?) il a été répondu avec précision 2 lignes plus loin. Je ne discuterai pas sur le mépris du lecteur en général : il suffit de signaler que j'ai beaucoup travaillé, bénévolement (comme nous tous) sur 3 ou 4 pages dans ce portail, et que les statistiques de lecture de ces pages ont augmenté à cette occasion de l'ordre de 50%, en gros, donc beaucoup de lecteurs ne sont pas rebutés par mon "mépris". Je trouve donc cette agression verbale lamentable. Mon intention est, comme pour beaucoup d'entre nous, de donner un accès gratuit à un certain type de connaissance, et je pense particulièrement à des étudiants d'université qui se paupérisent actuellement, qui doivent travailler en même temps qu'ils mènent leurs études à bien, et qui n'ont pas d'argent pour acheter des livres. Ces étudiants, je les ai en face de moi à l'occasion, nous dialoguons et j'arrive à me faire une idée de ce qui leur pose problème, et parfois j'ai une idée de la manière de leur expliquer, mais bien sûr la transmission de connaissance est un processus complexe que personne ne maitrise parfaitement, donc la collaboration est bienvenue. Pour ce qui est de la vision des var comme fonctions, c'est un des nombreux points de la doctrine d'une église fondée par Kolmogorov, Paul Levy et quelques autres, dont les adeptes sont des milliers, probabilistes, économistes, informaticiens, physiciens, spécialistes de l'actuariat, de la sociologie ou de la théorie du signal, travaillant en collaboration, communiquant à l'aide d'un langage forgé à l'occasion, qui a évolué et qui évoluera (un des problèmes qui freine la collaboration est d'ailleurs celui des langages différents utilisés par ces chercheurs). Cette église a changé le monde en utilisant ce langage et cette vision, et elle continue. Je copublie régulièrement des articles avec des physiciens ou des informaticiens qui ne se plaignent pas de mon mépris, ni de mon hermétisme, mais me proposent plutôt de continuer à collaborer. Quand j'enseigne et que je suis mal compris par mes étudiants (ça arrive hélas), je me remet en cause, mais on a tous rencontré des interlocuteurs qui ne comprennent pas parce qu'il n'ont pas assez réfléchi ou travaillé, mais qui sont incapables de poser les bonnes questions, incapables de comprendre à quel niveau et quel point précis ils ne comprennent pas, qui voudraient comprendre sans effort ce qui requiert un effort, et qui finalement rendent l'enseignant responsable de leurs difficultés. Ca existera toujours. Il faut juste veiller à ne pas adapter le message global à cette minorité, car cela nuirait à la majorité. Pour finir, ceux qui voudront parler de probabilités avec des interlocuteurs un tant soit peu avertis, mathématiciens ou venant d'autres domaines, ou qui voudront réussir à un examen portant sur des probabilités, ont intérêt à parler le même langage que leur collaborateur ou que celui qui va les noter, et la page telle qu'elle est maintenant est raisonnablement conforme au langage commun de ceux qui utilisent des probabilités. Jct est piqué au vif par quelque chose, j'en suis désolé, mais c'est l'intérêt commun qui compte, et c'est cela dont je voudrais discuter.--Chassaing 8 janvier 2009 à 14:14 (CET)

Juste un petit grain de sel dans cette discussion. Ayant enseigné les probabilités à des étudiants de niveau bac+2 (en classe préparatoire), je sais que la notion de variable aléatoire réelle (ou à valeurs dans $\mathbb {R} ^{n}$) vue comme une fonction (déterministe si j'ose dire) du résultat de l'expérience aléatoire ne va pas de soi. Mais ce n'est pas une raison pour la mettre sous le tapis. Et en mathématiques, à moins de tenir des propos inconsistants, on a besoin dès le départ de définitions opératoires; on les maîtrise (on se familiarise avec elles) en les manipulant et en leur donnant un contenu intuitif : exemples, exercices. Par exemple, si l'on refuse de considérer une variable aléatoire réelle comme une application, on ne voit pas très bien comment on peut alors parler d'opérations (somme, produit...) sur ces variables aléatoires ; dans ces conditions, comment énoncer ne serait-ce que le théorème de linéarité de l'espérance ? --Vivarés (d) 8 janvier 2009 à 18:09 (CET)

merci beaucoup :-)--Chassaing 8 janvier 2009 à 18:11 (CET)

Bandeau, aiguillage et référence

J'ai annulé en partie les modifications de R car il ne me parait pas judicieux de supprimer dans l'introduction les conseils de redirection si les personnes sont plus intéressées par un autre aspect de la notion. Il ne me parait non plus adapté d'utiliser un bandeau remettant en cause le contenu entier de l'article (Traiter de TI un exposé de la notion de Variable aléatoire, c'est assez surprenant) pour seulement une phrase maladroite. J'ai failli enlever la demande de référence sur la phrase indiquant l'origine de la notion de variable aléatoire car l'étude des probabilités nait sous la plume de Pascal, Cardan et Pacioli autour du problème des parti(e)s, donc en théorie des jeux. Je l'ai conservé cependant car il ne me semble pas que ces auteurs aient à l'occasion formalisé la notion de variable aléatoire. Il faudrait à la rigueur reformuler l'affirmation. Si, R, tu as d'autres raisons que la maladresse de cette phrase pour poser le bandeau TI, peux-tu venir les exposer ici. Merci. HB (d) 28 mars 2009 à 08:57 (CET)

J'essaie de faire avec À l'origine, une variable était une fonction de gain, qui représentait le gain obtenu à l'issue du résultat d'un jeu.^{[réf. nécessaire]}... Sur l'origine des variables aléatoires, j'ai trouvé [4] section 4.1 (notes de cours : [5]) qui identifie lors origines à la théorie des mesures. On identifie souvent l'histoire des variables aléatoires à cette des probabilités et avec Probabilité#Les_probabilit.C3.A9s_du_XVIIe_au_XIXe.C2.A0si.C3.A8cle, c'est probablement d'où est venue l'affirmation sur l'histoire des variables aléatoires réelles... Par contre, je pense que c'est presque toujours des jeux à valeurs aléatoires entières, comme les dés, dont il est question. Des commentaires ? Gene.arboit (d) 9 janvier 2010 à 01:27 (CET)

Je ne sais pas grand chose sur l'origine du terme "variables aléatoires", j'ai (en) Stephen M. Stigler, The History of Statistics : The Measurement of Uncertainty before 1900, Harvard, Belknap Press of Harvard University Press, 1^er mars 1990, 1^re éd., 432 p. (ISBN 978-0674403413 et 067440341X), chap. 2 (« Probabilists and the measurement of uncertainty »), p. 65-70 avec moi, où l'on parle un peu de Bernoulli ; je jetterai un coup d'oeil ce soir.--Chassaing 9 janvier 2010 à 20:05 (CET)

Tout ce que je peux dire c'est que dans Stigler les résultats du 19eme siècle sont traduits en termes de variables aléatoires, avec à chaque fois une précaution oratoire du genre "dans la terminologie moderne". Ca semble indiquer que "variable aléatoire" date du début du 20ème au plus tôt. Mais il n'y a aucune mention explicite sur l'émergence de la terminologie (Borel ? Kolmogorov ?). Laplace, en 1810, communique le théorème central limite à l'Académie des Sciences en parlant de sommes de grandeurs, apparemment.--Chassaing 9 janvier 2010 à 22:24 (CET)

Confusion entre fonction de probabilité et "densité de probabilité" d'une variable discrète

Dans la section 3.4, la notation p_X désigne : - au début, la fonction de probabilité (autrement dit la densité par rapport à la mesure de comptage) - et, à la fin, la "densité" (au sens des distributions) par rapport à la mesure de Lebesgue (dans l'égalité p_X = F_X'). Ne voulant pas trahir les intentions de l'auteur, je signale simplement le souci en suggérant de reformuler. Par exemple, en appelant f_X la fonction de probabilité et p_X la "densité" par rapport à la mesure de Lebesgue (mais, dans ce cas la dernière formule est inutile, car redondante avec celle du dessus).