Espace de Thom

En topologie, l'espace de Thom est un espace topologique associé à un fibré vectoriel. Il est au cœur de plusieurs constructions homotopiques, parmi lesquelles la construction de Thom-Pontrjagin et le spectre (en) de Thom.

Il porte le nom de René Thom, qui a introduit ces constructions en 1954^[1].

Construction[modifier | modifier le code]

Soit $\eta$ un fibré vectoriel de rang k sur un espace topologique $X$ . Notons $E(\eta )$ l'espace total de ce fibré. Si l'on munit les fibres de $\eta$ d'un produit scalaire, on peut définir les fibrations en boules et en sphères associées :

$D(\eta )=\left\{v\in E(\eta )\,|\,\|v\|\leq 1\right\}$ et $S(\eta )=\left\{v\in E(\eta )\,|\,\|v\|=1\right\}$ .

La restriction de $\eta$ à ces deux espaces topologiques définit naturellement une fibration en boules $B^{k}$ et en sphères $S^{k-1}$ , respectivement. On vérifie facilement qu'à isomorphisme près, ces deux fibrations ne dépendent pas du choix initial d'un produit scalaire et sont donc naturellement associées à $\eta$ .

L'espace de Thom $T(\eta )$ du fibré $\eta$ est alors simplement le quotient $D(\eta )/S(\eta )$ . En d'autres termes, on obtient $T(\eta )$ à partir du fibré en boules $D(\eta )$ en identifiant tous les points de $S(\eta )$ . De manière équivalente, $T(\eta )$ est le compactifié d'Alexandroff de l'espace total $E(\eta )$ .