Espace semi-localement simplement connexe

La boucle d'oreille hawaïenne (seuls les dix premiers cercles sont représentés) est un exemple d'espace topologique qui n'est pas semi-localement simplement connexe. En effet, tout voisinage du point de concours des cercles contient nécessairement une infinité d'entre eux.

En mathématiques, spécifiquement en topologie algébrique, la semi-locale simple connexité est une propriété topologique qui apparaît en théorie des revêtements. Cette condition est nécessaire par exemple pour qu'un espace topologique admette un revêtement simplement connexe ou encore pour établir la correspondance de Galois entre revêtements connexes et sous-groupes du groupe fondamental.

La plupart des espaces usuels tels que les variétés et CW-complexes sont semi-localement simplement connexes, alors que les espaces topologiques qui ne satisfont pas cette condition sont quelque peu pathologiques. L'exemple standard d'espace non semi-localement simplement connexe est la boucle d'oreille hawaïenne.

Définition

Un espace topologique $X$ est dit semi-localement simplement connexe si tout point $x$ de $X$ admet un voisinage $V$ vérifiant la propriété suivante : tout lacet en $x$ dans $V$ est homotope dans $X$ au lacet constant en $x$. Cette définition diffère en deux points de celle de la locale simple connexité. Premièrement, il n'est pas demandé que le voisinage $V$ soit simplement connexe. L'homotopie entre un lacet de $V$ et le lacet constant a lieu dans $X$. Deuxièmement, on ne demande l'existence que d'un seul tel voisinage, alors que la locale simple connexité requiert l'existence d'une base de voisinages qui soient simplement connexes.

De manière équivalente, un espace topologique $X$ est semi-localement simplement connexe lorsque tout point $x$ de $X$ admet un voisinage $V$ tel que le morphisme du groupe fondamental en $x$ de $V$ vers celui de $X$, induit par l'injection canonique de $V$ dans $X$, est trivial.

La plupart des principaux théorèmes concernant les revêtements, parmi lesquels l'existence d'un revêtement universel et la correspondance de Galois, requièrent que l'espace soit connexe, localement connexe par arcs et semi-localement simplement connexe, une condition aussi connue sous le nom de délaçable.

Exemples et contre-exemples

Tout espace localement contractile est semi-localement simplement connexe.

Tout espace simplement connexe est semi-localement simplement connexe (il suffit de considérer l'espace entier comme voisinage).

La boucle d'oreille hawaïenne est un exemple d'espace topologique non semi-localement simplement connexe. Elle est définie comme la réunion dans $\mathbb {R} ^{2}$ des cercles $C_{n}$ de centre $(1/n,0)$ et de rayon $1/n$ pour chaque entier naturel non nul $n$. Tous ces cercles s'intersectent en le point $(0,0)$. Tout voisinage de ce point contient alors le cercle $C_{n}$ dès que $n$ est assez grand.

Un autre exemple d'espace qui n'est pas semi-localement simplement connexe est le plan $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ privé de $\mathbb {Q} \times \mathbb {Q}$. Le groupe fondamental de cet espace est indénombrable.

Les notions suivantes ne doivent pas êtres confondues :

(1) localement simplement connexe

(2) tout point admet un voisinage simplement connexe

(3) semi-localement simplement connexe

On a seulement les implications suivantes : $(1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)$. Les réciproques sont fausses en général. En effet, il est possible de construire des contre-exemples.

Le cône de la boucle d'oreille hawaïenne vérifie (2) mais pas (1).

Lorsque l'on identifie la pointe du cône de la boucle d'oreille hawaïenne avec le point de concours des cercles, on obtient un espace topologique vérifiant (3) mais pas (2).

Si $H$ désigne la boucle d'oreille hawaïenne, alors le cône $C(H)$ obtenu comme le quotient de $H\times [0,1]$ par la relation d'équivalence engendrée par : $\forall x,x'\in H,(x,1)\sim (x',1)$, est un exemple d'espace topologique dont tout point admet un voisinage simplement connexe (2), à savoir l'espace entier ; mais qui n'est pas localement simplement connexe (1).

Si $x_{0}$ désigne le point de concours des cercles de $H$, alors l'espace topologique obtenu comme le quotient de $H\times [0,1]$ par la relation d'équivalence engendrée par $\forall x\in H,(x_{0},0)\sim (x,1)$ est un exemple d'espace topologique semi-localement simplement connexe (3) mais ne vérifiant pas la propriété (2). En effet, l'image $z$ du point $(x_{0},0)$ dans le quotient n'admet aucun voisinage simplement connexe. Si un voisinage $V$ de ce point $z$ contient l'anse de cet espace, alors il est possible d'y tracer un lacet faisant le tour de cette anse et que l'on ne puisse pas contracter en $z$. À l'inverse, si un voisinage $V$ de $z$ ne contient pas complètement cette anse, alors il est possible de tracer un lacet effectuant le tour de l'un des cercles contenus dans $V$, et cedit lacet ne peut pas être contracté en $z$ sans sortir de $V$ car cela nécessite de faire le tour de l'anse.

Bibliographie

• Nicolas Bourbaki, Topologie algébrique, Springer, 2016 (ISBN 978-3-662-49360-1), chap. 1-4, p. 339-480.
• (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002 (ISBN 0-521-79540-0).