Surface de coordonnées cylindriques paraboliques. Les fonctions cylindre parabolique apparaissent lorsque la séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace dans ces coordonnées
Tracé de la fonction cylindre parabolique D 5 (z ) dans le plan complexe de -2-2i à 2+2i avec des couleurs créées avec la fonction Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
En mathématiques , les fonctions cylindre parabolique sont des fonctions spéciales définies comme des solutions à l'équation différentielle
d
2
f
d
z
2
+
(
a
~
z
2
+
b
~
z
+
c
~
)
f
=
0.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left({\tilde {a}}z^{2}+{\tilde {b}}z+{\tilde {c}}\right)f=0.}
(1 )
Cette équation apparait lorsque la technique de séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace exprimée en coordonnées cylindriques paraboliques.
L'équation ci-dessus peut être amenée sous deux formes distinctes (A) et (B) en complétant le carré et en redimensionnant z , appelées équations de HF Weber (Weber 1869 ) :
d
2
f
d
z
2
−
(
1
4
z
2
+
a
)
f
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}z^{2}+a\right)f=0}
(A)
et
d
2
f
d
z
2
+
(
1
4
z
2
−
a
)
f
=
0.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left({\frac {1}{4}}z^{2}-a\right)f=0.}
(B)
Si
f
(
a
,
z
)
{\displaystyle f(a,z)\,}
est une solution, alors le sont aussi
f
(
a
,
−
z
)
,
f
(
−
a
,
i
z
)
et
f
(
−
a
,
−
i
z
)
.
{\displaystyle f(a,-z),f(-a,\mathrm {i} z){\text{ et }}f(-a,-\mathrm {i} z).\,}
Si
f
(
a
,
z
)
{\displaystyle f(a,z)\,}
est une solution de l'équation (A), alors
f
(
−
i
a
,
z
e
i
π
4
)
{\displaystyle f(-\mathrm {i} a,z\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}})\,}
est une solution de (B), et, par symétrie,
f
(
−
i
a
,
−
z
e
i
π
4
)
,
f
(
i
a
,
−
z
e
−
i
π
4
)
et
f
(
i
a
,
z
e
−
i
π
4
)
{\displaystyle f(-\mathrm {i} a,-z\mathrm {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}),f(\mathrm {i} a,-z\mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}}){\text{ et }}f(\mathrm {i} a,z\mathrm {e} ^{\frac {-\mathrm {i} \pi }{4}})\,}
sont aussi des solutions de (B).
Il existe des solutions paires et impaires indépendantes de l'équation de la forme (A). Ceux-ci sont donnés par (suivant la notation d'Abramowitz et Stegun (1965)):
y
1
(
a
;
z
)
=
exp
(
−
z
2
/
4
)
1
F
1
(
1
2
a
+
1
4
;
1
2
;
z
2
2
)
(
p
a
i
r
e
)
{\displaystyle y_{1}(a;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}};\;{\frac {1}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {paire} )}
y
2
(
a
;
z
)
=
z
exp
(
−
z
2
/
4
)
1
F
1
(
1
2
a
+
3
4
;
3
2
;
z
2
2
)
(
i
m
p
a
i
r
e
)
{\displaystyle y_{2}(a;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {3}{4}};\;{\frac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {impaire} )}
où
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
M
(
a
;
b
;
z
)
{\displaystyle \;_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)}
est la fonction hypergéométrique confluente de première espèce .
D'autres paires de solutions indépendantes peuvent être formées à partir de combinaisons linéaires des solutions ci-dessus (voir Abramowitz et Stegun). Une telle paire est basée sur leur comportement à l'infini :
U
(
a
,
z
)
=
1
2
ξ
π
[
cos
(
ξ
π
)
Γ
(
1
/
2
−
ξ
)
y
1
(
a
,
z
)
−
2
sin
(
ξ
π
)
Γ
(
1
−
ξ
)
y
2
(
a
,
z
)
]
{\displaystyle U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}
V
(
a
,
z
)
=
1
2
ξ
π
Γ
[
1
/
2
−
a
]
[
sin
(
ξ
π
)
Γ
(
1
/
2
−
ξ
)
y
1
(
a
,
z
)
+
2
cos
(
ξ
π
)
Γ
(
1
−
ξ
)
y
2
(
a
,
z
)
]
{\displaystyle V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2-a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}
où
ξ
=
1
2
a
+
1
4
.
{\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}}.}
La fonction U (a , z ) se rapproche de zéro pour les grandes valeurs de z et | arg(z )| < π/2 , tandis que V (a , z ) diverge pour les grandes valeurs de z réel positif.
lim
z
→
∞
U
(
a
,
z
)
/
e
−
z
2
/
4
z
−
a
−
1
/
2
=
1
(
pour
|
arg
(
z
)
|
<
π
/
2
)
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }U(a,z)/\mathrm {e} ^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{pour}}\,|\arg(z)|<\pi /2)}
et
lim
z
→
∞
V
(
a
,
z
)
/
2
π
e
z
2
/
4
z
a
−
1
/
2
=
1
(
si
arg
(
z
)
=
0
)
.
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }V(a,z)/{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {e} ^{z^{2}/4}z^{a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{si}}\,\arg(z)=0).}
Pour les valeurs demi-entières de a , celles-ci (c'est-à-dire U et V ) peuvent être réexprimées en termes de polynômes d'Hermite ; alternativement, elles peuvent également être exprimés en termes de fonctions de Bessel .
Les fonctions U et V peuvent également être apparentées aux fonctions Dp (x ) (une notation datant de Whittaker (1902)) qui sont elles-mêmes parfois appelées fonctions cylindre parabolique (voir Abramowitz et Stegun (1965)) :
U
(
a
,
x
)
=
D
−
a
−
1
2
(
x
)
,
{\displaystyle U(a,x)=D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x),}
V
(
a
,
x
)
=
Γ
(
1
2
+
a
)
π
[
sin
(
π
a
)
D
−
a
−
1
2
(
x
)
+
D
−
a
−
1
2
(
−
x
)
]
.
{\displaystyle V(a,x)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}\left[\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x)+D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(-x)\right].}
La fonction Da (z ) a été introduite par Whittaker et Watson comme solution de l'équation ~(1) avec
a
~
=
−
1
4
,
b
~
=
0
,
c
~
=
a
+
1
2
{\displaystyle {\tilde {a}}=-{\frac {1}{4}},{\tilde {b}}=0,{\tilde {c}}=a+{\frac {1}{2}}}
borné à
+
∞
{\displaystyle +\infty }
. Il peut être exprimé en termes de fonctions hypergéométriques confluentes comme
D
a
(
z
)
=
1
π
2
a
/
2
e
−
z
2
4
[
cos
(
π
a
2
)
Γ
(
a
+
1
2
)
1
F
1
(
−
a
2
;
1
2
;
z
2
2
)
+
2
z
sin
(
π
a
2
)
Γ
(
a
2
+
1
)
1
F
1
(
1
2
−
a
2
;
3
2
;
z
2
2
)
]
.
{\displaystyle D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{2^{a/2}\mathrm {e} ^{-{\frac {z^{2}}{4}}}\left[\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+{\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a}{2}}+1\right)\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)\right]}.}
Un développement en série entière pour cette fonction a été obtenue par Abadir (1993).
(en) Abadir, K. M., « Expansions for some confluent hypergeometric functions », Journal of Physics A , no 26, 1993 , p. 4059-4066 .
(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition ] (lire en ligne )
(en) « Fonction cylindre parabolique » , dans Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer , 2002 (ISBN 978-1556080104 , lire en ligne )
(en) N. M. Temme , « Parabolic Cylinder Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255 )
(de) H.F. Weber , « Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung
∂
2
u
/
∂
x
2
+
∂
2
u
/
∂
y
2
+
k
2
u
=
0
{\displaystyle \partial ^{2}u/\partial x^{2}+\partial ^{2}u/\partial y^{2}+k^{2}u=0}
», Math. Ann. , vol. 1, 1869 , p. 1–36
(en) Whittaker, E.T., « On the functions associated with the parabolic cylinder in harmonic analysis », Proc. London Math. Soc. , no 35, 1902 , p. 417–427 .
(en) Whittaker, E. T. et Watson, G. N., A Course in Modern Analysis : The Parabolic Cylinder Function , Cambridge,, Cambridge University Press, 1990 , 347-348 p. , « 16.5 » .