Fonction de Scorer

Les fonctions de Scorer (du nom du mathématicien R. S. Scorer) sont des fonctions spéciales notées Gi(x) et Hi(x).

Les deux fonction Hi(x) et –Gi(x) résolvent l'équation

Graphe de Gi(x) et de Hi(x).

$y''(x)-x\ y(x)={\frac {1}{\pi }},$

et sont données par :

$\mathrm {Gi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t,$

$\mathrm {Hi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t.$

Les fonctions de Scorer peuvent aussi être définies à l'aide des fonctions d'Airy :

${\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,\mathrm {d} t+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,\mathrm {d} t,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,\mathrm {d} t-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$

Propriétés

On a :

$\mathrm {Gi} (0)={\frac {1}{2}}\mathrm {Hi} (0)={\frac {1}{3}}\mathrm {Bi} (0)={\frac {1}{3^{\frac {7}{6}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}}\simeq 0,2049755424...$

$\mathrm {Gi} '(0)={\frac {1}{2}}\mathrm {Hi} '(0)={\frac {1}{3}}\mathrm {Bi} '(0)={\frac {1}{3^{\frac {5}{6}}\Gamma ({\frac {1}{3}})}}\simeq 0,1494294524...$

Bibliographie

• (en) Frank W. J. Olver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert et Charles W. Clark, « Scorer Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)