Fonction sombrero

Fonction sombrero 3D

Une fonction sombrero (parfois appelée fonction besinc ou fonction jinc) est l'analogue bidimensionnel en coordonnées polaires de la fonction sinc et est ainsi appelée parce qu'elle a la forme d'un sombrero. Cette fonction est fréquemment utilisée dans le traitement d'images. Elle peut être définie via la fonction de Bessel du premier type où ρ² = x² + y² .

$\operatorname {somb} (\rho )={\frac {2J_{1}(\pi \rho )}{\pi \rho }}$ .

Le facteur de normalisation 2 fait somb(0) = 1. Parfois, le facteur π est omis, ce qui donne la définition alternative suivante :

$\operatorname {somb} (\rho )={\frac {2J_{1}(\rho )}{\rho }}.$

Le facteur 2 est également souvent omis, donnant encore une autre définition et faisant que le maximum de la fonction est de 0,5 :

$\operatorname {somb} (\rho )={\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}.$

Propriétés

Dérivée

On a :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\left({\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}\right)=-{\frac {J_{2}(\rho )}{\rho }}$

Équivalents

On a:

${\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}\ {\underset {\rho \rightarrow 0}{\sim }}\ {\frac {1}{2}}\cos \left({\frac {\rho }{2}}\right)\ {\underset {\rho \rightarrow 0}{\sim }}\ {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{8}}\right)\quad ,\quad {\frac {J_{1}(\rho )}{\rho }}{\underset {\rho \rightarrow \infty }{\sim }}{\frac {1}{2}}\cos \left(|\rho |-{\frac {3\pi }{4}}\right){\sqrt {\frac {2}{\pi |\rho |^{3}}}}$

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction sombrero est :

${\mathcal {F}}(\mathrm {somb} )(f)={\frac {\sqrt {1-f^{2}}}{\pi }}1\!\!1_{]-1;1[}(f).$

Démonstration

Pour la dérivée, on utilise les relations de récurrence entre les différentes fonctions de Bessel :

${2J_{1}(\rho ) \over \rho }=J_{0}(\rho )+J_{2}(\rho )$,

dont on déduit :

$\mathrm {somb} '(\rho )={\frac {1}{2}}(J_{0}'(\rho )+J_{2}'(\rho ))={\frac {1}{2}}\left[-J_{1}(\rho )+\left(J_{1}(\rho )-{\frac {2}{\rho }}J_{2}(\rho )\right)\right]=-{\frac {J_{2}(\rho )}{\rho }}.$

Pour la transformée de Fourier, on calculera plutôt la transformée inverse :

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\sqrt {1-f^{2}}}1\!\!1_{]-1;1[}(f)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} fx}\mathrm {d} f&=2\int _{0}^{1}{\sqrt {1-f^{2}}}\cos(fx)\mathrm {d} f\\&{\underset {f=\cos \theta }{=}}2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}\theta \cos(x\cos \theta )\mathrm {d} \theta \\&=2\times {\frac {\pi }{2}}{\frac {J_{1}(x)}{x}}\end{aligned}}$

Applications

La transformée de Fourier de la fonction cercle 2D est une fonction sombrero. Celle-ci apparait donc dans le profil d'intensité de la diffraction d'un champ lointain par une ouverture circulaire, qu'on appelle une tache d'Airy.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Jinc Function », sur MathWorld
• Jinc function sur le blog de John D. Cook

Références

• (en) Qing Cao, « Generalized Jinc functions and their application to focusing and diffraction of circular apertures », Journal of the Optical Society of America A, vol. 20, n^o 4,‎ 2003, p. 661-667 (lire en ligne)