Fonction trigonométrique généralisée

En analyse mathématique, les fonctions trigonométriques généralisées sont une extension des fonctions de la trigonométrie classique (fonctions circulaires, hyperboliques, circulaires réciproques et hyperboliques réciproques). Elles ont d'abord été étudiées par le mathématicien suédois Erik Lundberg (1846–1911) dans le cadre de la résolution des intégrales abéliennes.

Histoire

Courbes de Fermat pour p = 1, 2,...

Erik Lundberg introduit ces fonctions dans le cadre de la résolution de l'équation différentielle :

$y'=(1\pm y^{p})^{\frac {m}{p}}$

avec m et p deux entiers tels que m < p. Il appelle alors les solutions fonctions hypergoniométriques, comme généralisations des fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques. Lundberg s'intéresse aux cas m = p, m = 2 et p impair, et m = p – 1, ce dernier cas correspondant à la courbe de Fermat (en) d'ordre p.

Définitions

On peut définir les fonctions trigonométriques généralisées de trois façons équivalentes.

Par un système différentiel

On peut définir les fonctions cos_p et sin_p comme les solutions du système différentiel :

$${\begin{cases}x'(t)=-y(t)^{p-1},\ \forall t\in \mathbb {R} \\y'(t)=x(t)^{p-1},\ \forall t\in \mathbb {R} \\x(0)=1\\y(0)=0\end{cases}}$$

Par des intégrales abéliennes

Trigonométrie circulaire

On pose la fonction, pour $p>1$ :

$\arcsin _{p}(x)=\int _{0}^{x}(1-t^{p})^{-{\frac {1}{p}}}\mathrm {d} t$

et on note ${\textstyle \pi _{p}=2\arcsin _{p}(1)={\frac {\pi }{p}}\mathrm {csc} {\frac {\pi }{p}}={\frac {2}{p}}\mathrm {B} ({\frac {p-1}{p}},{\frac {1}{p}})}$.

Cette fonction est bijective, et on note sin_p sa réciproque. Cette fonction peut être prolongée de $[0;\pi _{p}/2]$ sur $\mathbb {R}$ par des propriétés de symétrie et d'imparité : on pose d'abord

$\forall x\in [\pi _{p}/2,\pi _{p}],\sin _{p}(x)=\sin _{p}(\pi _{p}-x)$

puis on prolonge sur $[-\pi _{p},\pi _{p}]$ comme une fonction impaire.

On en déduit la définition du cosinus généralisé par sa fonction réciproque :

$\arccos _{p}(x)=\int _{(1-x^{p})^{1/p}}^{1}(1-t^{p})^{-{\frac {1}{p}}}\mathrm {d} t$

Trigonométrie hyperbolique

On pose la fonction, pour $p>1$ :

$\forall x>0,\mathrm {argsh} _{p}(x)=\int _{0}^{x}(1+t^{p})^{-{\frac {1}{p}}}\mathrm {d} t,\mathrm {argsh} _{p}(-x)=-\mathrm {argsh} _{p}(x)$

Cette fonction est bijective, et on note sinh_p sa réciproque.

On en déduit la définition du cosinus hyperbolique généralisé et de la tangente hyperbolique généralisée :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\cosh _{p}(x)=\sinh _{p}'(x),\ \tanh _{p}(x)={\frac {\sinh _{p}(x)}{\cosh _{p}(x)}}.$

On retrouve alors des identités similaires à celles impliquant les fonctions trigonométriques circulaires usuelles :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\cos _{p}^{p}(x)-\sin _{p}^{p}(x)=1$

Par une étude d'aire

En considérant le cercle unité d'équation $x^{2}+y^{2}=1$, on peut montrer que, pour t réel, le nombre X = cos t est l'unique réel vérifiant :

${\frac {1}{2}}X{\sqrt {1-X^{2}}}+\int _{X}^{1}(1-u^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {t}{2}}$

De même, en considérant l'hyperbole unité d'équation $x^{2}-y^{2}=1$, on peut montrer que, pour t réel, X = cosh t est l'unique réel vérifiant :

${\frac {1}{2}}X{\sqrt {X^{2}-1}}+\int _{X}^{1}(u^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {t}{2}}$

Ainsi, par extension, on peut poser que pour t réel, X = cos_p t est l'unique réel vérifiant :

${\frac {1}{2}}X{\sqrt[{p}]{1-X^{p}}}+\int _{X}^{1}(1-u^{p})^{-{\frac {1}{p}}}\,\mathrm {d} u={\frac {t}{2}}$

Cas particuliers

Dans le cas p = 1, qui renvoie à la métrique de la distance taxicab, les fonctions trigonométriques généralisées sont parfois appelées sinus taxicab, cosinus taxicab, etc. Dans le cas p = 4, la courbe est appelée squircle et certains auteurs parlent de squigonométrie.

Propriétés

De façon similaire, on définit les fonctions tangente, sécante, cotangente et cosécante généralisées par :

$\tan _{p}(t)={\frac {\sin _{p}(t)}{\cos _{p}(t)}},\ \mathrm {sec} _{p}(t)={\frac {1}{\cos _{p}(t)}},\ \mathrm {cot} _{p}(t)={\frac {\cos _{p}(t)}{\sin _{p}(t)}}={\frac {1}{\tan _{p}(t)}},\ \mathrm {csc} _{p}(t)={\frac {1}{\sin _{p}(t)}}.$

Expressions directes

On peut exprimer les fonctions trigonométriques généralisées à partir des fonctions trigonométriques usuelles :

${\begin{aligned}\sin _{p}(t)={\frac {\sin(t)}{\sqrt[{p}]{|\cos(t)|^{p}+|\sin(t)|^{p}}}},&\quad \cos _{p}(t)={\frac {\cos(t)}{\sqrt[{p}]{|\cos(t)|^{p}+|\sin(t)|^{p}}}},\\\tan _{p}(t)=\tan(t),&\quad \mathrm {sec} _{p}(t)={\frac {\sqrt[{p}]{|\cos(t)|^{p}+|\sin(t)|^{p}}}{\cos(t)}},\\\mathrm {cot} _{p}(t)=\mathrm {cot} (t),&\quad \mathrm {csc} _{p}(t)={\frac {\sqrt[{p}]{|\cos(t)|^{p}+|\sin(t)|^{p}}}{\sin(t)}}.\end{aligned}}$

Dérivées

On a :

${\begin{matrix}\sin _{p}'(t)=\cos _{p}(t)^{p-1}&\quad &\cos _{p}'(t)=-\sin _{p}(t)^{p-1}&\quad &\tan _{p}'(t)=\mathrm {sec} _{p}(t)^{2}\\\mathrm {cot} _{p}'(t)=-\mathrm {sec} _{p}(t)^{2}&\quad &\mathrm {sec} _{p}'(t)=\mathrm {sec} _{p}(t)^{2}\sin _{p}(t)^{p-1}&\quad &\mathrm {csc} _{p}'(t)=-\mathrm {csc} _{p}(t)^{2}\cos _{p}(t)^{p-1}\end{matrix}}$

Applications

Ces fonctions apparaissent comme fonctions propres du p-laplacien. En effet, on a :

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\sin _{p}(t)=-(p-1)\cos _{p}(t)^{p-1}\sin _{p}(t)^{p-2}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\cos _{p}(t)=-(p-1)\sin _{p}(t)^{p-1}\cos _{p}(t)^{p-2}\end{aligned}}$

Ainsi, cos_p et sin_p sont les solutions de l'équation différentielle non linéaire du second degré :

$u''=-(p-1)u^{p-1}(1-u^{p})^{\frac {p-2}{p}}$

Extensions à deux paramètres

En 2012, Shingeku Takeuchi définit des fonctions trigonométriques généralisées à deux paramètres, ainsi que des extensions des fonctions elliptique de Jacobi; par exemple, en reprenant la définition par les intégrales abéliennes, on peut définir, pour $p,q>1$ :

$\arcsin _{p,q}(x)=\int _{0}^{x}(1-t^{q})^{-{\frac {1}{p}}}\mathrm {d} t$

Voir aussi

Bibliographie

• (en) David E. Edmunds, Petr Gurka et Jan Lang, « Properties of generalized trigonometric functions », Journal of Approximation Theory, vol. 164, n^o 2012,‎ septembre 2011, p. 47–56 (DOI 10.1016/j.jat.2011.09.004, lire en ligne)
• (en) Petr Girg et Lukáš Kotrla, « Generalized trigonometric functions in complex domain », Mathematica Bohemica, vol. 140, n^o 2,‎ 2015, p. 223–239 (lire en ligne)
• (en) Peter Lindqvist et Jaak Peetre, « Two Remarkable Identities, Called Twos, for Inverses to Some Abelian Integrals », The American Mathematical Monthly, vol. 108, n^o 5,‎ mai 2001, p. 403-410 (DOI 10.2307/2695794, JSTOR 2695794)
• (en) Petr Girg et Lukà Kotrla, « Differentiability properties of p-trigonometric functions », Electronic Journal of Differential Equations, Conference 21,‎ 2014, p. 101–127 (ISSN 1072-6691, lire en ligne)

Articles connexes

• Squircle
• Courbe de Lamé