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En algèbre linéaire , une forme antisymétrique est une forme multilinéaire pour laquelle une permutation des variables correspond à la multiplication de la valeur par la signature .
Soit
ϕ
∈
L
n
(
E
)
{\displaystyle \phi \in {\mathcal {L_{n}}}(E)}
n
{\displaystyle n}
E
{\displaystyle E}
K
{\displaystyle K}
ϕ
{\displaystyle \phi }
∀
σ
∈
S
n
,
∀
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
E
n
,
ϵ
(
σ
)
ϕ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
ϕ
(
x
σ
(
1
)
,
…
,
x
σ
(
n
)
)
{\displaystyle \forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{n},\;\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\epsilon (\sigma )\phi (x_{1},\dots ,x_{n})=\phi (x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}
Où
S
n
{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}
groupe symétrique de
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n\}}
τ
∈
S
n
,
ϵ
(
τ
)
=
−
1
{\displaystyle \tau \in {\mathfrak {S}}_{n},~\epsilon (\tau )=-1}
∀
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
E
n
,
∀
(
i
,
j
)
∈
N
2
,
1
≤
i
<
j
≤
n
⇒
ϕ
(
x
1
,
…
,
x
i
,
…
,
x
j
,
…
,
x
n
)
=
−
ϕ
(
x
1
,
…
,
x
j
,
…
,
x
i
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\forall (i,j)\in \mathbb {N} ^{2},\;1\leq i<j\leq n\Rightarrow \;\phi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=-\phi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}
Il y a même équivalence entre les deux assertions, la seconde étant plus simple à manier, c'est généralement la définition retenue.
Une forme bilinéaire
f
{\displaystyle f}
E
{\displaystyle E}
∀
x
,
y
∈
E
f
(
x
,
y
)
=
−
f
(
y
,
x
)
{\displaystyle \forall x,y\in E\quad f(x,y)=-f(y,x)}
Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.
Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2. 
